И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интегрируя последнее выражение по частям, найдем, что —,, р(»1 у)а(у) Уу — — ~)(Р, р(з,-, 1, у)а(1, у))+ + 2 ( р(' '~ ' -'» «~ у»)." (у) У. и для некоторого о > О ~ ! у — х |с+ Р(г, х, 1, г(у) =о(о1), лз (53) то он является диффузионным. Действительно, Р(з, х, 1, .ч,(х)) е-,,~„~ ~ ~ у — х)'+'Р(з, х, 1, 1(у), яз (у — х) Р (з, х, 1, оу) = и (з, х) (1 — з) + о (1 — з)— зк |к) — (у — х) Р(з, х, 1, 1(у), 8 |к) Учитывая провзвольность функции д(у), из последнего равенства получим уравнение (5О), йй 3 а м е ч а н и е.
Если марковский процесс 5(1) удовлетворяет условиям $ 1У вЂ” х) Р (з, х, 1, г(у) = а (з, х) (1 — з) + о (1 — з), и" ~ (х, у — х)зР(з, х, 1, 1(у)=(Ь(з, х)г, г)(1 — з)+о(1 — з) (52) Ж" чи пгоняссы, стхционлииыя в шигохом смысля (г, у — х)зР(б, х, 1, йу) = бв(м = — (Ь (б, х) г, г) (г — б) + о (т — б) — $ (г, у х)з Р (б, х, 1, йу), б,(м причем при а < 2+ б (у — х("Р(б, х, 1, йу)» (е „'1 (у — х(~~~Р(б, х, 1, йу). ееэь-а бе ~"( 3 (ю Таким образом, при любом фиксированном е ) 0 условия (43) — (45) выполняются и процесс $(1) — диффузионный. й б. Процессы, стационарные в широком смысле Важный класс случайных процессов образу(от стационарные процессы.
Так называют процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не меняются со временем. Можно еще сказать„что стационарные процессы — это процессы, протекающие в не изменяющихся во времени условиях. Более точно это означает следующее. Пусть Т вЂ” конечный или бесконечный отрезок времени. Определение. Случайнь!й процесс (в широком емь(еле) $((), 1 е= Т, ео зна(ениями в Я" называют стационарным, если для любого и и любых 1(, 1з, ..., 1„такй, что 1+ 6, ~ Т (й = = 1, ..., п), еовл(естное распределение случайных векторов э (1(+ () э (1 + 1) (1) ме зависит от й Условие независимости распределения последовательности (1) от 1 эквивалентно требованию, чтобы для любой ограничен- ной непрерывной функцан ('(х(, ..., х,), х, ~ яе, величина йй('(ьь (( + 1) ., $ (1.
+ ()) не зависела от й В частпостн, если компоненты я((г), 1 = 1, ... ..., й, вектора э(() обладают конечными моментами второго по- рядка, то величины т((г) = а((а(((), ) = 1, ..., й, не зависят от 1, и(((() =и(, а величины б'"(1, э)=ййй~(1)К (з), 1, п=1, ..., й, ( ) б, зависит только от разности 1 — б, бчх(1, б) = Ьчь(1 — б), Имеется обширный круг вопросов, относящихся к теории стационарных пропессов, решение которых может быть СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ~гл, ь 72 выражено через моменты первого и второго порядка рассматриваемых процессов. Поэтому целесообразно выделить класс процессов, моменты первого и второго порядка которых облада|от свойством стационарности.
Этот класс процессов был впервые определен и изучен Л. Я. Хинчниым [3). О п р е д е л е н и е. Случайный процесс й(7) = (х'(7), ..., $" (7)), т -- О, со значениями в я" называют процессом, стационарным в широком смысле, если М[$(() [з ( оо и М а (У) = т = сопз(, М [$ (1) — т) [е (э) — т)" = тт (У вЂ” э) (1 ) э), где )с(~) — непрерывная матричная функция. Функцию Й(1) называют корреляционной (матричной) функцией процесса $((). В некоторых случаях целесообразно рассматривать комплекснозначпые случайные векторные процессы ~(7) =ф(7), ..., ~г(7)), где ~А(7) = Р(7)+(цАЯ, ~А((), ць(7)— действительные случайные процессы. Чтобы задать процесс Ц(~), нужно задать 2й-мерный векторный процесс 0(7) =, = (е'(т), ..., е" (1), ц'(т), ..., цг(7)). Распределения всевозможных характеристик процесса Ц(7) тогда легко выражаются через совместные распределения векторов 0(7). В качестве примера стационарных в широком смысле процессов рассмотрим колебания со случайными параметрами.
Бу. дсм рассматривать скалярные процессы ~(7). Введем некоторые термины, оказывающиеся полезными при физической интерпретации случайных процессов. Если й(7) обозначает силу тока в момент нремени 1 и имеется в виду энергия, рассеиваемая этим током на единичном сопротивлении, то естественными являются следующие Определения. Энергией, переносимой случайным процессом $(7) в течение промежутка времени (гь 72), называется величина ~ 5'(т) йт' полной энергией, переносимой процессом 5(7) ( — ьо - 7 ( со), называется интеграл ~ й'(7)й7, если он существует. Средней мощностью случайного процесса называется предел т Вщ ~ 1 $2(() Ж. ~+ -т Если процесс $(() является комплексным, то вместо $т(() в пре- дыдущих выражениях следует писать [$(() ['.
$5! ПРОЦЕССЫ, С7АЦНОНАРНЫЕ В 1ННРОКОМ СМЫСЛЕ 73 В том случае, когда процесс имеет иную физическую интерпретацию, принятая терминология может ей не соответствовать. Все же в дальнейшем эта терминология будет использована. Во многих вопросах случайные процессы моделируются суммами гармоник с заданными частотами и случайными амплитудами и фазами. Иными словами, рассматриваются процессы вида В(1) = ~ ОА сов(нь1 + Арь), А 1 где иА — заданные числа, а величины с!А и Ч!А случайны.
Теоретико-вероятностная структура этого процесса полностью определяется совместным распределением случайных величин с!А, Ч11, (й = 1, 2, ..., п). Прн этом под процессом, определенным формулой (1), следует понимать случайный процесс, конечномериые распределения которого могут быть вычислены исходя из формулы (1) и совместного распределения величин а1, ..., а„, 1р! «!ри. Случайный процесс $(1) представляет собой сумму и гармоничных колебаний с амплитудами )ОА! и частотами иА.
Во многих случаях целесообразно рассматривать комплекснозначные случайные процессы колебательного характера (2) где комплексные амплитуды уА являются случайными величи- нами; уА =аз+ 1йА', аА, рА, й = 1, 2, ..., п, вещественны, При этом совокупность всех частот (иА), й = 1, 2, ..., и, рассматриваемая как множество точек на прямой ( — ОО - и ( ОО), называется спектром случайной функции ь(1). процесс ь(1) можно расщепить на вещественну1о и мнимую части: ь (1) а (1) + 1Ч (1), где $(1) = ~, аьсозиА1 — рьз!ПЦА1, А-1 Ч(1) = Х аь зщиь1+ рь созиа1. А-1 СЛУЧАИВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [Гл.
! Кетрудно вычислить среднюю мощность, переносимую про. цессбм ь(1). Имеем т т -АР- ~ )ь(!)!'!гг= — ~ ~~ уйу,е ("й ")ж= -т й,г-! -т й!и Т (ий — и,) Е уйу' Т(и — и) йг! "* "г л =~~,)уй й ! Прн Т -+ со ПОЛуЧаЕМ !!гп — ~ !й(1)!'й --" т л =~,)уй!'. й Таким образом, средняя мощность, переносимая колебательным случайным процессом Ь(1), равна сумме средних мощностей, переносимых каждой гармонической составляющей процесса.
Аналогично вычисляется среднее значение случайной функции ь(1) за бесконечный промежуток времени. Имеем г л 2Т ~ л(") Х уй Ти -г й ! причем если точка 0 есть точка спектра случайного процесса, то л!и и значение функции — в этой точке (и = О) считается рави ным 1. Таким образом, 1пп — ~ ~ (1) й = у„ 1 г» 2Т -т где уй — амплитуда, соответствующая частоте и О. Распределение величины ь(1) даже при специальных предположениях о распределении величин уй является весьма сложным. Все же простейшие характеристики распределения случайной величины Ь(!) получить нетрудно. Предположим, что комплексные амплитуды у„имеют математические ожидания, равные О, и между собой не коррелированы, т.
е. Муй = О, Муйу, = О, й чь г. Тогда Мь(1) =О. Заметим, что если 0 не есть точка спектра случайного процесса, то математическое ожидание функции ь(1), т.е. ее среднее значение в теоретико-вероятностном смысле, совпадает со средним $51 ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЪ|СЛЕ 75 значением по бесконечному отрезку времени ( — ОО, ОО)'. Если же О является точкой спектра процесса, то среднее значение выборочной функции по времени является случайной величиной.
для корреляционной функции процесса Ь(1) имеем следующее выражение: 25 (|!г ~2) М |ь ((!) ь (~2)) = М ~ 7 уьу,е'("А" "!~и)1= ~ с~ьеыь('! '), ! А,и=! Л А-! где с' = М)у )2. Таким образом, корреляционная функция процесса ь(!) зависит только от разности 1! — 12! Й (~! 72) Й (7! ~2) (4) 22(!) = ~~' сье 2 ! (5) иь < и Это означает, что г"(и) равна средней мощности, переносимой гармоническими составляющими процесса ~(О, частоты которых менее заданного значения и. Она полностью характеризует как среднюю мощность каждой гармонической составля|ощей процесса Ь(1), так и суммарную среднюю мощность гармонических составляющих процесса, частоты которых лежат в любом Следовательно, если в процессе (2) величины уд некоррелиронаны и имеют средние значения, равные О, то процесс |,(~) является стационарным процессом в широком смысле и его корреляционная функция дается формулой (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
