И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если же скорость ветра измеряется не- прерывно в течение некоторого промежутка времени [йь г!) и предполагается, что соответствующая функция непрерывна, то в качестве Х можно взять пространство непрерывных функций Аксиомы ТГОРии ВеРОятностей вз '% и на отрезке (1а, )1) со значениями в трехмерном векторном пространстве. О п р е д е л е н не. Множество Х с выделеннои в пем О-алгеброй подмножеств З называется измеримым пространством (Х, 3). Точку х, характеризующую результат эксперимента, обозначим через Ь.
Предположим, что наблюдаемыми событиями являются события вида Д ен В), В ~З. Из исходных предположений следует, что событию (ь ~ В) соответствует в П некоторое множество 5 = Зв енЗ, Таким образом, рассматриваемый эксперимент определяет некоторое отображение д о-алгебры З в о-алгебру З. Это отображение обладает следующими свойствами: а) д(Х) = (); б) если В1 П Вг = О, В; ен З, то д (В,) Л й (В,) = О; в) й( 0 Ва) = 0 В(Ва), где 1 — произвольное множество ',а~1 / аале индексов, В АЗ, Из а) — в) легко вытекает, что г) д(З') = Я; д) д(В) =й(В); е) и(ВА',В,) = ц(Вд)'~и(В,); х) д( П В„)= Ц д(В„). Будем говорить, что отображение д о-алгебры З в З, обладающее свойствами а) — в), порождает в (Х, 3) некоторый случайный элемент Ь. Положим т(В) = Р(5) (В ен З).
Очевидно, что т(В) является вероятностной мерой и (Х,З, и) — вероятностным пространством, Меру и называют распределением случайного элемента ~. При этом Рл(В) = Р(ь ен В). В некоторых случаях удобно пользоваться обозначением т = Рв (Рь. (В) = Р(д(В))).
Если 3 содержит одноточечные множества (т. е. множества (х), состоящие из одной точки х, хенХ), то отображение д можно описать следующим образом. Пусть з(х) Ях. Заставляя х пробегать Х, получим разбиение пространства й на семейство З-измеримых множеств (Вх, х ен Х) попарно без общих точек: при х1Фхз, () Ях=й. Вх,ПВх = 0 ЛКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 1гл. И 94 Определим отображение ) множества й в Х, положив г(ьс) = = х, если ьс ~5 .
При этом Вв =д'(В) =(аи ((ес) енВ). Таким образом, у(В) является прообразом множества В при точечном отображении 1 пространства й в Х, у(В) =С'-с(В). С другой стороны, пусть ) — произвольное отображение й в Х. Тогда 1"-с(В) обладает свойствами а) — в), и если для любого В ~ 3 ' (В) = (св: с (сз) е= В) е= Е, (7) то )-с является случайным элементом в (Х, 3). Определение. Отображение 1" пространства й в Х, удовлетворяющее (7), называют измеримым отображением (й, З) в (Х, 3). Из предыдущего следует: произвольное измеримое точечное отображение с' (й, З) в (Х,З) определяет случайный элемент » =с(ес) в (Х, З).
Обратно, если одноточечные множества Х З-измеримы, то произвольный случайный элемент в (Х, 3) задается с помощью измеримого точечного отображения г: й-~Х. В частности, последнее имеет место, если Х вЂ” метрическое пространство, З вЂ” а-алгебра его борелевских множеств. Проверка выполнения условия измеримости (7) в ряде случаев облегчается следующим предложением. Теорем а 2. Пусть 3 = а(йй). Лля того чтобы Г бьсло измеримым отображением (й, З) в (Х, 3), достаточно, чтобы условие (7) выполнялось для произвольного В ~%, Действительно, класс множеств, для которых (7) имеет место, является в-алгеброй. Поэтому, если равенство (7) выполняется для всех В из зсс, то оно выполняется и для всех Вен ен а(йсс).
»в Пусть ь — произвольный случайный элемент в (Х„З), Из свойств а) — в) отображения д вытекает, что класс событий в(Д=,(В: В =у(В), В ЕЕЗ) (8) является а-алгеброй. Она называется а-алгеброй, порожденной случайным элементом т и является классом событий, наблюдаемых в том эксперименте, возможные исходы которого описываются случайным элементом с,. В дальнейшем рассматриваются главным образом случайные элементы, определяемые точечным отображением й в Х, т, е. элементы ь = ) (сь).
Пусть дана последовательность случайных элементов ь» = = Г»(сь), А = ), ..., и со значениями соответственно в (Хм 3„). Эту последовательность можно рассматривать как один случайный элемент Ь со значениями в измеримом пространстве (У, З), определяемый следующим образом. Пусть У вЂ” множество всех упорядоченных последовательностей у = (хь хт, ... ..., х„), где хаен Хм Пространство У называют произведением АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ 95 ли пространств Хь, Х и пишут У = П Х» или У = Х, Х »-1 Х Хг Х ...
Х Х„. В У рассмотрим класс множеств В вида В 3 П В», В» ы Зы т. е. »-! В =(у=(х1„»~, ..., х„): х» ен Вы й =1, ..., и). Множества этого вида будем называть кирпичами в У. Минимальную о-алгебру 3, содержащую все кирпичи, называют произведением а-алеебр 3» и пишут 3 = о(З», й = 1, 2, ..., п), а » измеримое пространство (У, З) = Д(Х», З») — прямым произ- »-1 ведением пространств (Х» 6»).
Рассмотрим отображение 1 11 в У, определяемое соотношением У = 1»(а») = (1»1(»э), »»г(а»), ..., („(Е») ). Если В = ЦВ», то »=1 » 1-: (В) = П 1-' (В,) (Б. Класс 6 множеств А, для которых 1-1(А) ~6, является талгеброй (в силу того, что прообраз суммы, пересечения и разности множеств равен, соответственно, сумме, пересечению и разности прообразов), Так как 6 содержит кирпичи, то он содержит и минимальную о-алгебру 6, порожденную кирпичами.
Итак, 1 есть измеримое отображение (11,6) в (У,6). Будем говорить, что случайный элемент ", =1(»э) является прямым произведением случайных элементов Г» = 1»(ы) (й =1, 2, ..., и). Случайный элемент ~=1(»э), принимающий действительные значения (Х = Я', 6 = 6' — о-алгебра борелевских множеств на действительнон осп), называют случайной величиной. Случайный элемент ~ со значениями в п-мерном действительном пространстве Я" называют случайным вектором (при этом З=З" — о-алгебра борелевскнх множеств и-мерного пространства). Случайные веллчипы. Произвольиая случайная величина ь задается некоторой действительной функцией 1(»э), обладающей свойством 1 — '(В) ен 6 для л1обого борелсвского множества В а=Я'.
Так как о-алгебра бОрелевскнх множеств на прямой порождается системой бесконечных интервалов (( — со, а), а ~ енЯ1)„то для измеримости 1 достаточно, чтобы при любом а 1 '( — СО, а) = (еп 1'(»э) ( а) ен 6. Последнее требование обычно фигурирует в определении действительной 6-измеримой функции, заданной на измеримом пространстве (0,6). Таким образом, понятие случайной величины совпадает с понятием действительной Ж-измеримой функции и общие свойства случайных АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ игл и величия совпадают с обшими свойствами действительных измеримых функций.
Заметим, что в некоторых случаях приходится рассматривать случайные элементы со значениями из расширенной числовой ПряМОй Я' = ( — со, + ОО]. ТаКИЕ СЛуЧайНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИаЗЫВаЮт обобщенными случайными величинами. При этом роль о-алгебры х) играет а-алгебра 6', состоящая из множеств вида В, В()( — -), В()(+ ), В()(+-)()( — -) (В =8').
Отметим некоторые свойства случайных величин. Теор е м а 3. Борелевская функция т1 = дДИ ..., с„) = = д((~(ы),...,1 (ьк)) случайных величин $А = 1А(гь), й = 1,... ..., и, также является случайной величиной, а $ЯИ зпр $,, ш( ьк„, 1пп ф„, 1пп ~„— обобщенными случайными величинами. При этом частное двух случайных величин условимся считать равным О, если числитель и знаменатель одновременно равны нулю. Указанные свойства случайных величин (измеримых функций) хорошо известны из теории меры.
Важным примером случайных величин являются индикаторы измеримых событий. Индикатор т(А) =т(А, ге) события А определяется следуюшим образом. Определение. т(А,ы) =1, если ге~А, и т(А,ы)=0, если гь йА. Алгебраическим действиям над событиями соответствуют аналогичные действия над их индикаторами. Действительно, к(ОА.) Пк~к.), х) ЦА„1 = х )г(А„), если А„ПА, И при и ~ г, Х(Л; В) = х(Л) — Х(В), если В с= А, Х(1пп А„) =1пп х(А„), т,(11ш А„) =)пп т(А„). Случайная величина, принимающая только конечное или счетное множество значений, называется дискретной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
