И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если же они существуют, то условные математические ожидания выражаются через них с помощью интегрирования. Теорема 4, Если р(А, гь) =Ра(А, гь) — регулярная условная вероятность, то йй (я ! б) = ~ ! (ы') Р (йы', ы). (! 2) Доказательство. Класс случайных величин $, для которых эта формула справедлива, линеен, замкнут Относительно предельного перехода по монотонно возрастающим последовательностям неотрицательных случайных величин (в силу теоремы об интегрировании монотонных последовательностей) и содержит индикаторы у(А), А ~ З. Отсюда формула (12) следует для всех $, для которых )ч)$ конечно. и) Поскольку регулярные условные распределения не всегда существуют, введем видоизменение этого понятия, достаточное для решения ряда задач, возника~ощих в приложениях.
Пусть (Х, 8) — измеримое пространство, ь — случайный элемент в (Х, 8), 6 — о-алгебра, 9 г: 6. О п р е д е л е н и е. Если существует функция 1г(В, ы), определенная на 8 Х 11 и такая, что а) при фиксированном В е„=8 !г(В, ы) В-измерима, б) с вероятностью 1 чг(В, ы) при фиксированном ы является вероятностной мерой на 8, в) при каждом В ~ 6 9(В, ст) = Р((ь ен 8) )5) (пюс1 Р), то Тч(В, ы) называют регулярным условным распределением случайного элемента Ь относительно о-алгебры 9. Условие в) эквивалентно требованию: для всякого т ~ 1т $О(В, ») Р(й ) =Р((В~В) ПР). Те о р е м а 5. 11усть Х вЂ” полное сепарабсльное метрическое пространство, 8 — о-алгебра борелесских множеств Х, Ь вЂ” случайный элемент в (Х, 8).
Тогда ь обладает регулярным условным распределением относительно проиэсольной о-алгебры 5 (8 с 6). Докаэательстео, Пусть д — распределение случайного элемента ь. Можно построить монотонно возрастающую последо- услОВные Вегоятности 12! вательиость компактов К„в Х такую, что (см. теорему 6 2 2) д(Х ' Кх)< ех и еи +О.
Пространство всех ограниченных непрерывных функций на метрическом пространстве Х обозначим через в. (Х) и введем в $'(Х) метрику р(1, я), положив г(1, д) = = 1~1 — к ~~, 1(11= зпр ~1(х) ~. Пространство Ю(Кх) является хя К сепарабельиым. Пусть Ц„х(х), А = 1, 2, ...) — счетная всюду плотная сеть в Ю(К,). Продолжим ~„„(х) на все Х так, чтобы 5ПР ~ )лх (Х) ! 5ПР ~ (хх (Х) ~.
хек хх:К Положим хх = х„(ь), х„(х) = х(Кх, х). Из свойств условных математических ожиданий вытекает, что можно найти такое 17ы что Р(Т1я) = О и при ы И Р, выполняются следуюшие соотношения: если )„е )~ О, то МУ ь(РХ !Ю~>11, М И~х(ЬХ~|Я= гМ (У ь(1)2 $6): если ~(„ь — („~ ~ < г, то ~ М(((„~ — ~„~)",~х ~11) ~- г, М(() е(ьх)+Гю(хх))Х ~Ю=МУм(хх)К ~6)+МУхл(хх)жх~Я для всех п, й, 1' и рациональных г. С другой стороны, так что если |~хх(( — ~ел) ~1- О, то М (1'(~) Х„~ Я =!'Нп М (~„» (Ь) Х„~ б) (шой Р), (13) причем предел справа не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
Так как условное математическое ожидание не определено на множествах вероятности О, то можно воспользоваться соотношением (13) для определенна М(1(ДХ„(5) в случае произвольной 1, непрерывной на К„, где ~,~ — некоторая последовательность элементов всюду плотной сети такая, что ~~(1' — ~хь,.)хх~~ — ~О. При таком определении условных математических ожиданий для всех ге Й РВ и для всех непрерывных на К„функций 1"(х), д(х) и любых действительных с и г( М(1(ь)Хх)6) = О, если 1 ) О, МИйх.+йаВ)Х.!5) х.аМИ(~)К.!6)+йМ(а(1)Х.!Я, АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ [гл.
и 122 т. е. с вероятностью 1 М(1(!",))1„)5) оказывается положительным линейным функционалом на %'(К„). Согласно одной теореме из теории меры такой функционал допускает представление М (У Я) х„1Я = ~ ~ (х) д„(дх, а), а Й В,ь к„ где д„(В, !А) — меры определяемые иа борелевских подмножествах К„однозначно. Для произвольного В ~ 6 положим о(В, »в)=1(пт!тв(ВПКА, ев), !»ИВА, д(В, а) =д(В), ы ~Во Нетрудно проверить, что при фиксированном е! д(В, ев) яв.
ляется мерой. Действительно, во-первых, !1(В, вв) конечно аддитивна (это вытекает из аддитивности !т„). Далее, если В = =Ц В„, В„ПВ„= 8 при и! Фи,, то (взИ.Ов) в ! Хв[в.. )=в(!!в,, )~в(!!в., )- = 1пп д„(Ц В», а) =!Ип ~, д,(В» ПК„,е!)(~, д(В», а). в-в ' ! / в.+ ! к 'Заставляя !У вЂ” ~ со, получим д ~ Ц В», а) = ~ д(В», а), т. е. !т(В, а) ! счетно аддитивна. Из равенства ~ !'(х)д„(дх, е!)= ~ ~(х)д(о!х, ев), а!айра, Кв следует (ев И Ов) $ !'(х)д(в(х, в)= $ ~(х)д(а!х, вв)=!!!и $ 1(х)д„(а!х, вв) х к„ () к.
! для любой 3-измеримой неотрицательной функции ~. Поэтому, если ( — непрерывная и ограниченная, то М (11Я = 1пп М (~Х„)Я = ~ ~ (х) д (в(х, «!) (п!Об Р). (14) х Так как произвольную ограниченную 6-измеримую функцию т(х) можно аппроксимировать последовательностью ограничен. УСЛОВНЬ>Е ВЕРОЯТНОСТИ ных непрерывных функций 1„(х) так, чтобы)11(х) — >м(х) >д(е(х)-м о, ** ° „р ---. ((м<))р))г)о — <м<).<р))г)ор)м < $! 7(х) — >„(х)1д(е(х) вытекает, что равенство (14) имеет место и для произвольной 6-измеримой ограниченной функции.
В частности, Р(В)>й)= У(В, ы) (п>од Р) ° И Рассмотрим случайные злементы ~) и ьг в (У),6)) и (У2,62) соответственно, где (Уь 6<) удовлетворяют условиям теоремы 5. Положим Уп 2>= У, )<', Уг, 6" "= а(Зы |2 = 1, 2). Последовательность ~<) 2> =(~), ~2) можно рассматривать как случайный элемент в (Ун ", З<) '>), а Ун '> — как полное метрическое сепарабельное пространство.
Пусть д< обозначает распределение (< = 1, 2), <>о 2> — распределение <"."2>, а ди)'> — регулярное условное распределение ьг относительно о-алгебры 5<,, порожденной случайным элементом ~). Так как дн) '> является 5ц-измеримой функцией, то У<2 п(В„е>) = д(В„~)), где Вгее 62, и функция д(Вм у) 6иизмерима. Из определения условных вероятностей следует <> (В„~)) е(Р = дп '> (В, Х В,), ,—,) <в,> где В, — произвольное множество из 6) и ь< = д)(ь>).
В соответствии с правилом замены переменной это равенство можно записать в виде ц'"(В ХВ ) = ~ у(В<ь у)е(у в, или цп'~> (В) Х Вг) = ~ Х<о (В) у<) ~ Х<2> (Вм уг) ц(<(уг у)) у<(е(у)), (15) где Х<'> — индикаторы множеств в пространстве Уь Из последней формулы вытекает Теорема 6. 1 )ь,,р)ори"-1<1)<>ир)р<гг„р))р)ор) <)о> <), 2) >) ~~о для любых 6<'2>-измеримь<х неотрицательных функций. Действительно, класс функций 1, для которых формула (16) верна, линеен и замкнут относительно предельного перехода по монотонным последовательностям.
Так как он в силу (15) со- АКСИОМАТИКА ТГОРИИ ВВРОЯТНОСТЕИ 124 !Гл. и применяя соотношение (17), получим , ~.)!6с,)= (1 в (л! У2в ° ' Ул) Ч (в"Ул ь! У2 ' ' ' в Ул !)) Х гл-в гл ХЧ!л И(22Ул-! ь! Увь ° ° У -2) ° ° ° Ч~ 2(Г)У2 ь!) (16) , 1.) = ... ! (! !!в„н.... в.вв' (вв., в,.в.... в.,в) х ч~ !(в"ул-! у! ' ул-2) Ч~ (в(узв у!) ввв! (вву!) (1О) повторно М (~(~! М()Ф г, $4, Независимость Пусть (!1, !6, Р) — фиксированное вероятностное пространство. Под событиями будем понимать, если не оговорено иное, !б-измеримые подмножества Й.
Два события А и В называются независимыми, если Р(А ПВ) = Р(А) Р(В). В случае Р(В) ) 0 это условие эквива- держит функции вида т<в>к<2!, то он содержит и пх линейные комбинации. С другой стороны, произвольную 6!"2-измеримую функцию можно аппроксимировать монотонно возрастающими последовательностями линейных комбинаций функций вида х"2х"! й Заметим, что формула (16) верна и для знакопеременных функций ), если только одна из сторон равенства (16) имеет смысл.
Из формулы (16) вытекает Следствие. М (! (Ь! Ь2) ! ЗС ) ~ ! (Ь2в у2) Ч(Вву2в Ь!)' (!7) гв Полученным результатам можно придать следующую более общую форму. Пусть ~А — случайные элементы в (Уж 6А), УА— полные сепарабельные метрические пространства. Положим уо' ! = П уА вВ!' ! = о(еА, й = 1, ° ° ° з) А-! т),=(ьв, ь2, ..., !„), уА — распределение элемента ~А в (уы еА), д!е =ч!'!(Ввл ьв, ..., ь,-!) — регулярное условное распределение элемента ь, относительно о-алгебРы бч =$(с с с ).
Из формулы М(~1~;,) = М(... (М(~1З„„,) ~~!Я„,)...1ДЯ,), НЕЗАВИСИМОСТЬ % а1 125 лентно следующему: Р (А ) В) = Р (А), Из определения непосредственно следует: а) й и Л, где А — произвольное событие, независимы; б) если Р(йг) = О, А — любое, то й1 и А независимы; в) если А и В; (1= 1, 2) независимы, В,:>Вы то А н В1~,ВА независимы. В частности, А и В1 независимы; г) если А и В; независимы, 1 = 1, 2, ..., и, причем Вь В„... л ..., В„попарно несовместимы, то А и ЦВ; также независимы. Заметим, что без оговорки о попарной несовместимости событий В, последнее утверждение, вообще говоря, не имеет места. д) А не зависит от А тогда и только тогда, когда Р(А) = О или Р(А) = !.
Пусть 1 — некоторое множество, (Иь 1~ 1) — множество классов событий. О яре делен не. Классы событий (йи 1ен 1) называются независимыми (или независимыми в совокупности), если для произвольных попарно неравных 1Ь ..., 1„(1А в=1) и произвольных А,„, А;„е=й;, й=1, 2, ..., и, Р (Аг, () Аю, П ... П Аю„) = Р (Л;,) Р (А ~,) ... Р (Аю„). Заметим, что для бесконечного множества классов событий определение независимости эквивалентно требованию, чтобы произвольное конечное подмножество классов событий состояло из независимых классов событий.
Назовем класс событий п-классом, если он замкнут относительно операпии пересечения событий (т. е. если из А ен й, В я И следует Л П В ен И). Т е о р е м а 1, Пусть (Иь с ен 1) — совокупность незавлсимых и-классов событий, Тогда минимальные о-алгебры о(й;), 1ен 1, независимы. Доказательство. 1(омутно ограничиться конечным числом классов Иь ..., Ил. Достаточно показать, что если один нз классов, например Йь заменить на в(И1), то новая последовательность классов событий также независима. Обозначим через а класс всех событий, не зависящих от йь ..., Ил.
По определеншо й, с: 6 и 6 обладает свойствами: он замкнут относительно суммирования счетной последовательности непересекающихся событий и образования разности ВА~,В, при условии, что Вз ~ Вь Теорема 1 теперь вытекает из следующего предложения. Те о р ем а 2, Если класс событий 5 содержит и-класс й и обладает свойствами: а) из А1 с Ам А~ я 6, 1= 1, 2, следует Аз",А, я а; АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕП 32з игл. ц б) из А» я 6,п = 1, 2,, А„ПА = 3 при и Ф лт следует () А„еи 6, то 6 содержит о(%). Доказательство. Обозначим 6, минимальный класс событий, содержащин % и обладающий свойствами а) и б) (6, есть пересе~1ение всех классов, содержащих % и обладающих свойствами а) и б)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
