И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если Š— субмартингал, то при р ) 1 1 "Р В.'!1,~4Ф, у= —,', (11) мАРтннгклы !зз (12) (13) так что СР(Ч~2С)» (~ Ь((Р. 1(„~ с) эпр К„+(/,:к-2(1+ М$„+(!пф ). Доказательство. Пусть 6(х), х ) О, — произвольная моно- тонно неубывающая непрерывная функция и 6(0) = О, т) — не- которая неотрицательная случайная величина с функцией рас- пределения г'(х). В силу формулы интегрирования по частям М6())) = ~ 6(х)((г" (х)= ~ (1 — г" (х)) а'6(х).
о 0 Пусть г) = шах $„+. В силу (8) )~л~к хР(т))х)( 1 $ а)Р Ух>0. (ч > х) Поэтому 1 — г'(х) = Р (г) «~х) ~ — ~ $х аР и 1 (» ~ х) М6(П)«~ — „'( ~ й,а ~ (6()~~ М)((0 — )~,',— "'„", о ч(на х) l ь где )((х) =1 при х аО и )((х) = О при х с. О. Таким образом, М6(0) < Мй,' 1 —" Полагая здесь 6(х) =!х)я и воспользовавшись неравенством Гельдера, получим 1~0 1,'(,", Мй+и' '())(~+~),101~,' ', отк да и вытекает неравенство (11). ерейдем к случаю р = 1.
Снова воспользуемся неравен- ством (8), Имеем 2СР()) )2С) ( ~ $к((Р( ~ $к((Р+ (ч > зс) (( ~с) + ~ $)(()(Р( ~ $)(а(Р+ СР ()) ) 2С), (1, < с, ч ~ зс) ((к > с) случлпные послвдовлтвльности |гл. пг !40 Воспользуемся равенством (1З) для величины — ". Так как 2 ' я этом случае 1 — Р(х) = Р ( — "«х~( ! ($н ~ ч! то Мб( — ")(1 Мв+х(в+ — х) в" ! 1 о Положим 6(х) =(х — 1)+. Получаем $й и' М( — — !) (~М$,, ~ — — Мфн(!па, ) .
Так как М(2 — 1) >Мф — 1, то Мг)~(2(1+ М$~(!п$~)) Определен не. Числом пересечений т[а, Ь) полуинтервала (а, Ь) (а ч Ь) сверху вниз семейством случайных величин (в(!), Т) называется точная верхняя граница чисел з таких, что существует последовательность (!и ! = 1, ..., 2з), 1; ( 1;+ь Г; ~ Т, для которой . ~(11) > Ь, $йт)~(а, $(1г) > Ь, ... ь(!м)ч а. Теорем а 7 (неравенство Дуба).
Если $„, л = 1, ..., Л',— субмартингал, то М (, ( Ь)1~ ) ~ м ((1!и! - Ь)' !(),) (14) ь — а Доказательство. Без умаления общности можно предположить, что а=О и $„>О. Действительно, общий случай сводится к этому, если заменить в„на (в„— а)+. Определим последовательность марковских моментов времени тп тм ... (т| (те < ... ( тн) следующим образом: т~ — это наименьшее ! такое, что $(!) > Ь, если такое ! существует, н т1 = Л~, если такого 1' нет. Далее, тг — наименьшее такое 1, что 1 т, и $, = О, если такое ! существует, н тг = Л', если такого нет; тг равно наименьшемУ 1, длЯ котоРого $, > Ь, 1> тп или та = Л', если такого 1 нет, и т. д.
В силу теоремы 1 М ((ь (тз) ь(т~)) + (ь (т4) ь (тз)) + ! 5~) «О С другой стороны, сумма, стоян4ая под знаком математического ожидания, содержит т(а, Ь) слагаемых, меньших чем — Ь, и, быть мльтиигхлы % н Полученные неравенства легко обобшаются на бесконечные последовательности. Так, если и = 1, 2, ..., неравенство (6) принимает вид звр М$+ (л! ~(п)--С)«»' " с (15) 1<л< Доказательство вытекает из того, что зпр е„= !! т зпр ьл, !Мл< нч !<л<н и поэтому Р( зпр Е„~~С) = !пп Р( зпр ~„) С).
!<л< н+ !<лмн Аналогично, если чн(а, Ь] обозначает число пересечений сверху вниз полуинтервала (а, Ь] урезанной последовательностью $(1), ..., в(У), а ч (а, Ь] — всей последовательностью, то из того, что тн(а, Ь] при возрастании й! монотонно не убывают и ч (а, Ь]=1!ш ч„(а, Ь], следует (Ь вЂ” а) Мч (а, Ь] » «епр М ($„— Ь)+. !<л< Несколько иначе обстоит дело, если последовательность значений и не имеет наименьшего, но имеет наибольшее значение.
Пусть п = ... — й, — й + 1, ..., — 1 (й ) 0). Правые части рассматриваемых неравенств достигают максимума при и = — 1. Таким образом, МЬ+! Р( зпр $„~)С) « л " С (16) М'-(" ']«ь'. м($ ! — ь)+ (17) Существование предела. Важную роль в дальнейшем играют теоремы о существовании предела субмартингала. Нам понадобится следующая лемма. Л е м м а 1. Для того чтобы ограниченная числовая иоследовательногть (с„, и = 1, 2,,) сходилась к некоторому пределу, необходимо и достаточно, чтобы для любой пары рациональных чисел а и Ь (а «Ь) число пересечений сверху вниз отрезка (а, Ь] атой последовательностью было конечным.
может, только одно, не превосходящее величины Я(У) — Ь)+. Таким образом, — ЬМ( (б, Ь]!б)+М(а(А) — Ь)']й,]>6. ~ ггл ги СЛУЧАИНЬГЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Обозначим соответствующее число пересечений через ч(а, Ь). Если для какой-либо пары (а, Ь) ч(а„Ь) = со, то последовательность с„не может удовлетворять критерию сходимости. С другой стороны, если г„не имеет предела, то с=!нпс„>!Ппс„=с. Если а и Ь рациональны, с(а( Ь <с, то найдется бесконечно много п и и'„для которых с„<а, г с,'ч ) Ь, т. е. ч (а, Ь) = со .
р Теорема 8. Пусть (В„, п = 1, 2,,) — гуомартингал. Тогда: а) если зпрМВ„+ < со, то '„=1!гни„существует с вероятностью 1 и М~5 ~ ( со; б) если последовательность Д„, п = 1, 2, ...) равномерно интегрируема, то е = !пп е„существует с вероятностью 1 и вЯ'г и $„~(Мй 15„), а=1, 2, Доказательство. Покажем сначала, что последовательность (е ) ограничена снизу. С этой целью заметим, что Д, > Ь, !П15,= — со) с= Д (ч( — Аг, Ь) > О). С другой стороны, и ! прн Аг- со.
Следовательно, с вероятностью 1 Вгп ч( — Аг, Ь) = О, а так как ч(а, Ь) — целочисленная величина, то ч( — А1, Ь) = 0 с вероятностью 1 при достаточно большом Аг. Таким образом, прн любом Ь РД,,= Ь, 1п1$„= — со) = О. Поэтому Р (1п1 с„= = — оо) ( г~' Р(п > — й, !и! с„= — ос) = О. Ограниченность А-~ снизу последовательности $„ доказана. Аналогично устанавливается, что она ограничена сверху. Последнее вытекает также вз неравенства Колмогорова Р ~енр з„+ > С) ( в силу которого Р(зпрс„=+ со) = !нп Р(зпрк„+ ) С) =О. Таким образом, последовательность (В„, и = 1, 2,,) ограничена с вероятностью 1. Из неравенства Дуба вытекает, что Мч(а, Ь) ( со для любых а и Ь, так что Р (Л,ь) = О, где Л,ь = (ы: ч(а, Ь) = оо). Следовательно, если Л = () Л,ь, где суммирование распространяется иа все рациональные а и Ь, Ь ) а, то Р(Л) = О.
В силу леммы 1 мхгтингхлы при ы ь Л !них = $ существует. При этом )е„~ = 2~+ — ~„, М!й„!'= 2М$„+ — Мв„~(2епр М~„+ — Мв, < оо, так что М ! ~ ! = М Игп ! ~„! ( )пп М ! ь ! < оо, н утверждение а) теоремы доказано, Предположим теперь, что последовательность Д„, и = 1, 2,...) равномерно интегрируема. Тогда М)$„) ( С, с вероятностью 1 существует предел с =1пп3„и М)$„— $„)- О. Отсюда следует, что в неравенстве тп<п, Вен5, можно перейти к пределу при и — ьоо под знаком интеграла, так что ~ С„йР(1нп ~ ь„йР— ~ 8 йР. д в в Следствие. Если э„, п = 1, 2, ..., — неотрицательный супермартингал, то предел $ =!йп $„существует с вероятностью 1.
Теорема 9. Пусть Д„,!у„, и = 1, 2, ...) — мартингал и 5 — минимальная о-алгебра, содержащая все о-алгебры 5„. 1. Если ьпрМ)Е„!«оо, то !пиз„=$ существует с вероятностью 1. 2. Для того чтобы последовательность $„, п = 1,2, ..., была равномерно интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая интегрируемая случайная величина и, что ~.=М(ч !6.) !18) Если зто условие выполнено, то можно положить т! = $ и в классе !у -измеримых случайных величин т! определяется однозначно !щой Р).
Доказательство. Утверждение 1 вытекает нз теоремы 8. Если последовательность $„, п = 1,2, ..., равномерно интегрируема, то в силу теоремы 8 ~ = Ищ $„существует с вероятностью 1 и в Ы'1 и з„( МД )й ). Применяя это неравенство к последовательности — о„получпм э = МД !5„), и = 1, 2, ... ..., М!з !(оо, Пусть т! — произвольная интегрируемая случайная величина. Покажем, что последовательность $„= М(т!)5„) является равномерно интегрируемым мартингалом. Во-первых, !44 случхнные последовхтельности !Гл н! ~ пдР= ~~„дР (19) для любого множества А, принадлежащего какой-либо о-алгебре 5„.
Но класс множеств А, для которых имеет место равенство (19), является монотонным и содержит алгебру мной г., л ! Др - бп 0л). л ! !.л-!'л Таким образом, (19) выполнено для любого А ен 5 . Тем самым, если т! — 6„-измеримая величина, то т! =$ (гпод Р). !аа Следствие. Пусть 5„— поток о-алгебр, 5 =о(5„, и = = 1, 2, ...), т! — 5 -измеримая случийная величина, А ен 5 . Тогда с вероятностью 1 и в 2'! 11щ М (П ! 5„) = А1, 1!гп Р (А ! 5„) = 1!л (ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
