И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Покажем, что 6,=о(%). Пусть 6,(В) обозначает класс всех событий А из 6И для которых АДВ~ 6,. Легко проверить, что 6, (В) обладает свойствами а) и б). Далее, если В евИ, то 6, (В):э И, так как % — и-класс. Поэтому 6,(В)=6, (если В~И). Но это означает, что 61(А).:эИ для любого А еи6„т. е. 6, (А) = 6, теперь уже для любого А ~6,.
Таким образом, 61 является и-классом. Но я-класс событий, одновременно обладающий свойствами а) и б), очевидно является о-алгеброй. Итак, 61= о(%) и 6:э о(И). м) Теорем а 3. Пусть (%1, 1~ !) — множество независимых и-классов событий, 1 = 1, 0 1» (1, П1» = 8), 6» — — о(%ь 1'ен 1»), й = 1, 2. Тогда 61 и 6» независимь1. В силу теоремы 1 можно ограничиться предположением, что %; — о-алгебры. Рассмотрим классы 6» (й = 1, 2), состоящие из всевозможных событий вида А1,() А;,() ... () А1, и — любое, 1„~ !». Оии замкнуты относительно пересечений, 6» содержит все Иь »ЕЕ !м и 61 и 6» независимы. В силу теоремы 2 о(61) = = о(%ь 1ее11) и о(6») = о(%ь 1~ 1») независимы. ® С л е д с т в и е. Если 1 разбить на произвольную совокупность подмножеств, 1= () !» попарно бгз общих точек, то » о о-алггбры 6» = о(%1,1я1»), lг еи Я, независимь1 в совокупности.
Независимые случайные элементы. Пусть ~1 = 11(в) — случайный элемент в (Хь 6,), 1 ~ 1. Определен и е. Случайные элементы (Ь1, 1Е-=1) называ»отса независимыми (независимыми в совокупности), если для любого и и произвольных В» еп 61 1» еи 1, Более общим является определение независимости семейства множеств случайных элементов. Рассмотрим некоторое семейство множеств (ьч1, ! ее!„~, р ~М, случайных элементов со значениями в 1!ХИ 611т. незлвиснмость 127 О пред елен не.
Множества случайных элементов (с",», сев я с' ) (1с еи М) называются независимыми (взаимно независимьсми), если независимьс классы событий (И»,1с сиМ), где И» состоит из всевозможных событий вида П»."' В" 1, =1, 2,, 1 (, В» 6". , 1 се 'ь1' ' ' ' ' ' ь »' сь сь' Пусть оДссс, с'еи с„) = 5„обозначает о-алгебру, порожденную множеством случайных элементов г»с, ! еи1», т. е. минимальную о-алгебру, относительно которой измеримы все случайные величины г»с, ! си У», 1с фиксировано. Теор е м а 4. Множества случайных элементов (~», с ы1») (1с ~ М) незавигилсы тогда и только тогда, когда нгзависимьс а-алгебры 5„, 1с ~ М. Доказательство вытекает из замечания, что классы событий, введенные в определении независимости множеств случайных элементов, являются п-классами, и из теоремы 1.
С лед ств не. Пусть (с,»с, ..., ~»), р е= М, — множество независимых лоследовательностей случайных элементов, д (х„... ..., х, ) — о(6„", й= 1, ..., э„)-измеримьсе функции (1с е= М). Тогда случайные величины ("» ... Р) 1сеиМ взаимно независимы. 3 а меч а н не. Случайные величины Д„, 1с ев М) взаимно независимы тогда и только тогда, когда для любого н, любых 1сс, 1см ..., 1с„из М н любых действительных а» ..., а„ Р Д», < а» ..., 72» < а„) =- Ц Р Д»ь < аь).
ь ! Необходимость тривиальна, а достаточность вытекает из того, что о-алгебра, порождаемая событиями вида Д» < а), совпадает с о-алгеброй Д» еи В, В еи 6'), 6' — о-алгебра боре- левских множеств на прямой. Пусть ьь й = 1, 2, ..., и, — последовательность независимых случайных элементов (на (Хы 6ь) соответственно), дев распределение вь на 6м с)с»"! — совместное распределение по- следовательности (ь» ..., ь,) в ~ЦХы о(6ы й=1 и) ' хь ! лксиомктикл твоьии ве»оятностви ~гл. н 1ЗВ Из определения независимости следует, что л 4'"'(В~ХВз Х .
ХВ,) =П у (В ), Вь ев~к' (1) ь-1 Очевидно и обратное: если выполняется (1) для всех Вк ~ Эы то величины ф„й = 1,..., и) независимы. Пусть д(хь хт) — о(6ь 1= 1, 2)-измеримая функция, ~, и ~з — независимые случайные элементы и Мд(~ь ст)( оо, Из правила замены переменной и теоремы гйубини тогда следует, что Мд(хь ьз) является 6кизмеримой функцией, конечной для дкпочти всех хь и Мй (1ь М = $ у («х ) $ а (х, х ) уз (дх ). к, х, В качестве следствия отсюда вытекает формула Мук,) б(~,) =Мб(:,) МВВ,), справедливая, если Мд(~к) конечны.
Следующее предложение можно рассматривать как усиление предыдущего. Т е о р е м а 5. Если случайная величина и с конечными математическими ожиданиями и о-алгебра 8 независимьб то М(~(Я= М$. Доказательство. Независимость случайной величины с от о-алгебры 5 означает, что независимы о-алгебры 5 н 5ь — — о(В). Поэтому для любого Р ~ 5 случайные величины й и 11(Г) независимы.
Следовательно, $ с(Р Мх (Е) М» ~ (Мв) с(Р Так как М« — постоянная, то она 5-измерима. Поэтому Мз = М (е1Я Я Закон «О или 1». Пусть А„, я=1, 2, ...,— некоторая последовательность событий. ТеоР ем а б (теоРема БоРелЯ вЂ” Кантелли). Если 2, Р(А») < к < со, то событие 1ппА„= (А, бесконечно часто) имеет вероятность О. Если же события А„, п = 1, 2, ..., независимы, то вероятность события !пи А„равна О или 1 в зависимости от того, сходится ли ряд 2, 'Р(А„) или расходится. !29 НЕЗАВИСИМОСТЬ и Доказательство.
а) Так как !пи А„= П () А», то и 1» и Р(Л„б. ч.) = 1нп Р ( ! ) А»)~ (1пп ~ Р(А») =О, и-и 'и» и l и-»» и что доказывает первую часть утверждения. б) Пусть теперь события Л„независимы. Нужно доказать только, что если ~ Р(А„)=со, то Р(!НпЛ„)=1. Пусть Л"=- =!Нп А„, тогда а',Л"= () П (а"А») и-1»=и Р (Я '; А') = ! Нп Р ( П (г! '' Л») ) = !пи П Р (Я" А») = и-ию '»=и У и+» и = !Ип Ц (1 — Р(Л»)) =О и+о» и в силу расходимостн ряда 2', Р(А»). И Рассмотрим теперь произвольную последовательность независимых о-алгебр 5„, и = 1, 2, ... В силу теоремы Бореля— Кантелли событие А'=1пп А„, где А„— произвольная последо.
вательность такая, что А„~ 6„, имеет вероятность О или 1. Этот результат может быть обобщен на произвольные события, порождаемые совокупностью всех а-алгебр 5„, и = 1, 2, ..., и не зависящих от произвольной конечной последовательности о-алгебр 5Н 5», ..., 5„. Уточним это утверждение. Пусть 6» =о9ь)=/г,й+ 1, ), 6» образуют монотонно убывающую последовательность а-алгебр.
Их пересечение З = П 8» есть снова о-алгебра. Положим по определению »-~ 3=1!щ5„= П о(бр 1=й, /г+1, ...). Очевидно, что о-алгебра 1пп5„не изменится при замене любого конечного числа о-алгебр еь 5»,..., В„другими. Теорем а У (общий закон «О или 1» Колмогорова). Если 5„, и = 1, 2, ..., — взаимно независимые о-алгебры, го всякое событие из !Нп Я„имеет вероятность О или 1. !зо [гл. и АКСИОМЛТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЯ Действительно, пусть А е=)пичул.
Тогда А ен 8А прн любом lг, следовательно, А и оЯ1, ..., 6ь 1) независимы. Поэтому независимы А и о(51, ..., 5„, ...). Так как А я о(6ь й = 1, 2, ...). то А не зависит от А. Это возможно только тогда, когда Р (А) = О или Р (А) = 1. И Т е о р е м а 8. Пусть (ь„, и = 1, 2,...) — последовательность независимых случайных элементов в фиксированном метрическом пространстве (Х, 8), 5« — о-алгебра, порожденная ь, и 8„= о((УА, й = п, и + 1,...).
Тогда а) предел последовательности (1",„, п = 1, 2, ...) существует с вероятностью 1 или с вероятностью О; б) если Х сепарабельно и полно, то предел последовательности (ь„, и = 1, 2, ...), если он существует, с вероятностью 1 постоянен; в) если г = 1(х1, хь ..., х„, ...) — функиия бесконечного числа аргументов х„~ Х, и = 1, 2... и )(Б1,, 'ь«, ) 8„-измерима, каково бы ни было п, то она с вероятностью 1 постоянна. Доказательство.
а). Если р(х, у) — расстояние в Х, то множество точек, в которых ~„ сходится, можно записать в виде Ь Ю 0= ! ! (] ! ! (гь: !ь„— 1".,«!л.— ~. Так как события Ал= ! ! А 1л !«',«Вл 1! П (~ ~„— ~„- ! < — ) монотонно возрастают, то ( ] А„~8 л 1 л', «" л."л при любом гп, так что и В ~ 8«л при любом гп и можно применить общий закон О или 1. б) Пусть Р— замкнутое множество, г" с: Х; через Гь обо! ! значим открытое множество Рь=(х: р(х, г') ( — „!. Тогда событие Р П (1 пи ",„~ Р) можно представить в виде что принадлежит 8, гп = 1, 2, ..., в силу тех же соображений, что и при доказательстве а). Таким образом, для любого замкнутого г" выполняется соотношение Р (1!гп ~„~ г) = О или 1.
Но класс множеств 8, для которых аналогичное заключение имеет место, является о-алгеброй. Следовательно, Р (!Нп1;„ен В) = О или 1 для любого Вен 8. В случае сепарабельного и полного пространства Х отсюда нетрудно получить, что мера д, индуцируемая на 8 случайным элементом !!гп~„сосредоточена на одном атоме. Действительно, так как д(Х) = 1, то найдется сфера 81 радиуса 1 такая, что д(51) = 1 (если бы такой сферы незхвиснмость 1З! $41 не нашлось, то все сферы в Х радиуса 1 имели бы меру О, что невозможно, так как Х покрывается счетным числом та! ких сфер). Аналогично, найдется сфера Ю, радиуса -„-.
Яз с: 8! и д(5з) =1. Продолжая это рассуждение, получим послеаова- 1 тельность вложенных друг в друга сфер Ю„радиуса — „, мера которых равна 1. Эти сферы имеют только одну общую точку х и !!(х) = !нп ~у(5„) = 1. в) События А = (ьн )К4, ьз, ..., ~„) ( а) ен8„по условию. Поэтому А еп!1ш!й„и А имеет вероятность О или 1. Таким образом, функция распределения случайной величины = Г(ь4, ..., с„, ...) принимает толька два значения О илн 1 и величина ~ с вероятностью 1 постоянна.
° ГЛАВА !П СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 5 1. Мартингалы Определение н простейшие свойства. Мартингалом называют семейство случайных величин «(1), (я Т (Т вЂ” множество действительных чпсел), обладающих некоторым «безразлнчием к прошлому». Это «безразличие» состоит в том, что условные математические ожидания вриращеннй «(гг) — $(г~) (1г ( гг) при заданных значениях;(з), з ( й независимо от этих значений равны нулю. Если предположить, что эти условные математические ожидания неотрицательны (неположительны), то ~(1) называют субмартингалом (супермартнпгалом). Перейдем к точным определениям. В настоящем параграфе в основном рассматриваются последовательности случайных величин.
Но сначала мы приведем общее определение. Пусть (й, Я, Р) — фиксированное вероятностное пространство, Т— множество действительных чисел. Будем интерпретировать значения 1«и Т как моменты времени проведения некоторых экспериментов. Совокупность событий, наблюдаемых до момента времени Г, обозначим через 5ь Естественно, что 5п с:.5п, если 1, С Гг.
РассмотРим семейство слУчайных величин «(г), 1~ Т, обладающих тем свойством, что значения ь«(г) точно определяются совокупностью экспериментов, производимых в моменты времени з, з ~ й Это означает, что величины ~(г) должны быть Воизмеримы при любом (ев Т. Чтобы описать эту ситуацию формально, введем следующие определения. О п р е д е л е н и е. Монотонно неубываюи1ее семейство о-алгебр (5ь Г ~ Т) Яь с:. Яь, если (, ( 1«, 5, ~ Я) назовем потоком о-алгебр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
