И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, вероятностное пространство (Х, 6, Р1) яв- ляется естественным представлением процесса Д(1), 1ен Т). Через (Хт, 6, Рь) обозначим пространство с пополненной ме- рой. В Хт введем операцию сдвига времеви 5: и' = 5и, если х„' = х„„„п ен Т, где и = (х„, и ~ Т), и' = (х'„, и ен Т'). Опера- ция 5 имеет обратную 5-', причем если и" = 5-'и, и" = = (х,",,и ен Т), то х'„' = х„ ,. Условие стационарности последова- тельности $(1) означает, что для произвольного цилиндрического множества С Рт (С) = Р1(5С).
(1)" Поскольку мера на цилиндрических множествах однозначно оп- ределяет меру на 6 и на ее пополнении бм то равенство (1) со- храняется для произвольного А ен 6~.. Рз (А) = Рь (5А), А ~ 6м (2) О п р е д е л е н и е. Пусть (У, й, и) — некоторое пространство с мерой, 5 — измеримое отображение (У, 8) в ((Т, Я. Преобразо- вание 5 называется сохраняющим меру, если для любого А ~ (т. р (5 'А) = р (А), где 5-'А — полный прообраз множества А. 1гл. Н| сль чьпныв последовательности Преобразование В называется обратимым, если существует такое измеримое преобразование Я-', что ВВ ' = Я 'Я =1, !в тождественное преобразование.
Б этом случае преобразование В ' называется обратным к Я. Определение стационарной последовазельности эквивалентно следующему: последовательность (о((), ( е- :Т) стационарна, если оператор сдвига времени В в Х" сохраняет меру Рв Задача изучения стационарных последовательностей является частным случаем задачи изучения сохраняющих меру обратимых преобразованпй (автоморфизмов) некоторого пространства с мерой.
Рассмотрим вопрос об асимптотическом поведении при п -~.оо среднего «-! — 1(В~и), (3) где Ва — й-я степень преобразования Я, г"(и) — произвольная 5-измеримая функция, (У, й, р) — некоторое пространство с мерой и и р(У) ~ со. Чтобы понять смысл этой задачи, рассмотрим тот случай, когда (У, 5, р) совпадает с (Х", 6, Рх), а 8— оператор сдвига времени. Пусть $ь = $(К и) = хм ~(и) = Хе(хо) где те(х) — индикатор множества В ен 6. Тогда 1(5«и) = = Х, (В" и) = Х й (й) ) «-! ~)(В« ) т«(о, «) ь-ь ) (Яи) р (аи) = ~ 1(и) р (аи).
(5) з-Ъ Если положить ~(и) =Хл(и), то фоРмУла (5) пеРейдет в Равенство а(Я-'(А ПВ)) = р(А П0), что верно для любых А и где т«(В, и) — число членов последовательности й(0), с(1), ... ..., ь(п — !), значения которых попадают в множество В, т. е. т„(В, и) является частотой попадания в множество В первых и чтенов последовательности $(!) (Г =О,1, ...,п — 1). Таким образом, поставленный вопрос, в частности, является вопросом о поведении частоты попадания значения случайной величины $(() в произвольное множество В.
Докажем прежде всего, что предел при и-ь со величины (3) существует с вероятностью 1. Это предложение составляет содержание известной теоремы Бнркхофа — Хинчина. Л ем м а 1. Если В сохраняет меру р, Р ~ й и ~(и) — 5-измеримая неотрицательная и-интегрируемая функция, то ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ р ~ 1у, Отсюда следует, что формула (5) верна для произвольных $-измеримых неотрицательных и и-интегрируемых функций. И Докажем сейчас одну лемму арифметического характера.
Пусть аь а„..., а, — последовательность действительных чисел, р — целое число. Назовем член последовательности аь р-отмеченным, если в последовательности сумм а„а, + а„еь ..., аь+ а,.„+ ... + аь„. по крайней мере одна неотрицательна (аь 1-отмечен тогда и только тогда, когда он неотрицателен). Л е м м а 2. Сумма всех р-от чеченных элементов неотрицательна. Пусть а„ вЂ” р-отмеченный элемент последовательности с наименьшим номером и ам + ам~~ + ... + аь э, (г( р — 1)— неотрицательная сумма с наименьшим числог слагаемых. При й ( г аь + аь„.
+ ... + ае Рь ( О, следовательно, ам+я.ь~ + ... + амэ,- О, т. е. все члены последовательности аь„ам+О ..., аьч., р-отмечены и их сумма неотрицательпа. Можно продолжить это рассуждение, рассматривая последовательность, начиная с члена ам~,+, Таким образом, вся последовательность разбивается на части, каждая из которых кончается группой р-отмеченных членов, н сумма р-отмеченных элементов каждой части неотрнцательна. Множество р-отмеченных элементов всей последовательности совпадает с суммой множеств р-отмеченных элементов таких ее частей, что н доказывает лемму. В Следующая лемма является основным этапом в доказательстве теоремы Биркхофа — Хинчина.
Л ем м а 3. Пусть 1(и) — р-интегрируемая функция, 5 — измеримое, сохраняющее меру 1с отображение ((/,5) в (Кв) и е Ц(: ь~(я '))О). Тогда ~ 1(и) 1ь(с(и)' - О. Б (6) Доказательство. Рассмотрим последовательность 1(и), )(Яи), ...,1(5нч.т-'и) и обозначим через з(и) сумму всех р-отмеченных элементов этой последовательности. В силу леммы 2 з(и) ) О. Пусть 0ь — — (и:1(5" и) есть р-отмеченный элемент), ть(и) — индикатор множества Т1м Заметим, что .(),=(и: зпр 1'(5 '(и)) ЪО) и йь = 8 '.()ь, при тй(А', 1~акр СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ча4 !ГЛ. П! откуда Р» — — Б Ро (й «(!)(). Отсюда и+р-! О ~ ($ з (и) р (Ки) = ~ ~~ 1(Б»и) Х» (и) 1» (йи) = и+о-! ~1(Б и) р(йи).
»-о о» .В силу леммы 1 $ о!(Б"и)1»(йи)= ~ )(Б~и)1»(с(и) = $ ~(и)1»(с$и), о» з-»о, оо Следовательно, К+р-! 11! ~ ! (и)1» (ди)+ ~~ ~ ИБ~и)1»(с(и)'= О. о, »-нь! о„ й(!у. (7) Так как ! $ ! (Б и) 1» (йи) ~ !о- $ ! ! (Б~и) 1 1» (йи) = $ ~ !' (и) 11» (!(и) ( оо, о» и о л Е, 'О (: — „С,!(Ю )Ь1~. о-!»-! Тогда ~ ! (и) 4! (с(и) ~~ 1! 1» (Е»).
(О) Доказательство получим, если к функции )(и) — )о применим лемму 3. Теор ем а 1 (теорема Биркхофа — Хинчина). Пусть (Р, 5, !!)— пространство с мерой, Б — измеримое, сохраняющее меру .то, разделив неравенство (7) на 1у' и устремив 1у' к оо, получим ~)(и) р(с(и))~0. (8) ов Множества Ро = Ро(р) (р = 1, 2, ...) образуют монотонно возрастаюц»ую последовательность, и 1пп Ро (р) = ( ) Ро (р) = Е. р + р ! Переходя в (8) к пределу при р-!.Оо, получим (6). И Л е м м а 4 (максимальная эргодическая теорема). Пусть 4(и) 1»-интегрируема, 1о — действительное число и этгодичвскив твотвмы Во! р отображение (0,5) в (У, 5) и 1(и) — произвольная р-интегрируемая функция.
Тогда р-почти всюду в У существует предел л-) 1!гп — ~~ 1(К~и) = )" (и) (гпод р), "+ ь-о (10) функция )'(и) о-инвариантна, т. е. 1 (Яи) =1'(и) (гпод р), и интегрируема. Если р(с)') ( оо, то ~ Г(и) р (ди) = ~ ) (и) р (Ыи). (11) (12) Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что функция 1(и) конечна и неотрицательна. Положим л-) о-) д*(и) = !!ш — „~~ )(5 и), д,(и) = !нп — ~~(З'и). Нужно установить, что д*(и) = д,(и) (шод р). Пусть К, =(и: 0'(и) > р, у,(и) < а), О(а < р. Достаточно показать, что р(К в) = О. (Действительно, (и: й'(и) ) й.(и)) = Д К,в, где Й вЂ” множество неотрипатель<в .в ных рациональных чисел.) Заметим, что о')о )-)) ( —, „~, г.'))о' ) — ™ )=о') ) ь-о и, аналогично, д„(Яи) =д„(и).
Это означает, в частности, что 8 'К„в = К в. Поэтому можно применить лемму 4 к пространству с мерой (К„в, 5йК„в, р). Отсюда следует, что ~ ! (и) р (ди) ~~ Рр (К, ). (13) «ав Применяя лемму 4 к функции — !" (и), получим ~ 1(и) р (ди) ~ (ар (К„). (14в «ав 1ак как р ~ О, то из (13) следует, что р(К„в) < оо, но тогда (14) возможно лишь, когда р(к в) = О. итак, существование ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ !67 ц силу неравенства Иенсена и леммы 1 "-.'Х~~( ")-.( ")1~~ = и-в !~р ) р 1 ! л-1 !р 1 ир = ~ — „ХУ(5'и) —,р (5'-'н)) ((а) ~ л-1 )ир «( ~ $ — ~! 11 (5иа) — !ра (5~и) !р р (йи) ~ ьи ь=о п — 1 !М =(-„' ~ 1!1!.! — 1,1.1!,1ац! =!.
ь-в и Используя лемму Фату, получим ()~„() -~'»~'„= л-1 р ,19 =1 ~ 11 и — „~~', У(5~и) — 1р(5ен)) 11(г(а) ~ < хи ь-0 (11п1) — „у У(5 ) — ~'~(5 )) <б. ь-; р Далее, так как функция 1р(и) ограничсиа, то и в"з ее средине ограничены одной и той же константой. Поэгом ! в выражении л-1 и-1 гр ир ~+К!,1и"! — 1111 -(( — „' Е1,11"1-1!! !/ и! ! ь-о р и р-р при н-э. со можно перейти к пределу под знаком интеграла в силу теоремы Лебега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
