И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5 4. Процесс восстановления В общих чертах процесс восстановления может быть описан следующим образом. Рассматривается работающий прибор, который время от времени выходит из строя (отказывает). В момент отказа прибор немедленно заменяется новым. Будем считать, что продолжительность исправной работы п-го прибора т„ является случайной величиной, причем все величины т„, п = = 1, 2, ..., независимы и одинаково распределены.
Моменты времени, когда один из приборов выходит из строя, называют моментагш восстановления. При этом считают, что 0 является моментом восстановления. Положим $„=т, +т,+ ... +т„, и=!,2, ..., $ь=О. Величина $„является моментом п-го восстановления, а всего промежуток времени (О, в„) имеет п 4-1 восстановление (счи- тая восстановление в момент времеви О). Пусть Р(х) = Р(т, ( х) (в настоящем параграфе удобней пользоваться таким определением функции распределения слу- чайной величины вместо обычного г(х) = Р(т„( х)). Тогда Р(х)= 0 при х(0, р(0)) О. Будем считать, что р(0)(1. Тогда Мт„) О.
Л ем м а 1. С вероятностью 1 $„- оо при и- оо, л (-х, Действительно, Р ($„( с) = Р ~,е ' ) е-' . Используя не- равенство Чебышева, получим Р($„(с) е'у", где у=Ма ' . Таким образом, Р(1пп Ц„( с) = 1пп Р(ц„( с) = О. ~ [ГЛ. 1П СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Из леммы 1 следует, что для любого 1= 0 найдется такое т = т(Г), что Е, 1 - 1( $,.
Величину у(1) называем числом восстановлений на промежутке времени (О, 1). Так как (у(1) = = и) = (В„1 < Г) ~, (К„< г), то Р(. (1) =и) =Р(~.,(а) — Рй.==(). При этом $„— сумма и независимых одинаково распределенных величин. Следовательно, Р('„( 1) = Р'(' )(Г), где Р'оо(()— л-кратная свертка функции распределения Р(х): Ю Р"~"'(1)= ~ Р*'" о(1 — з)йР(з) = ~ Р'" ~(г — з)йР(з), причем Р'О*>(1) = 0 при 1( О, Р'('>(1) = ((1) (г'(1) = 1 при А' ) 0 и ((1) = 0 при Г ( 0), РМН = Р. Положим НЯ = Му(1), 1)0, Н(1) =0 при 1< 0. Функция НЯ играет в дальнейшем важную роль. Ее называют функцией восстановления.
Она монотонно не убывает и непрерывна справа. Покажем, что она конечна чг ~ О. Пусть )1„(Г)— индикатор события ($„( г). Тогда н(1) =мт(1) =м Е х.(г) = Е Рй.<1). Таким образом, н(1)=ХР ~ ~(г), и в силу неравенства (1) ряд в правой части равенства сходится равномерно в любом конечном отрезке 1~ [О, Т). Из равномерл а р (2) ау ЕР "'М=г (К Р' н)а я ! л ! =Ра Н(1), где Р л 6 обозначает свертку двух функций Р и 6, обращающихся в 0 для отрицательных значений аргумента: Р * 6 (х) = ~ 6 (х — з) йР (з) = ~ 6 (х — з) йР (з).
Следовательно, функция Н(1) является решением уравнения Н(1) =1 (1) + ~ Н(1 — з) йР(з). о ПРОПЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 4 4! Более того, если г(Г) — произвольная измеримая ограниченная функция на каждом компакте «О, Т1л (г) = ~ г(8 — а) 44Н(з) = о = Наг(Ф), то 2 (4) = г (Г) + ~ 2 (( — з) 41Р (з), 4~ )О. о (4) НР +~) <Н(4!)+ Н®. ,Доказательство. Имеем Н(й+й) — Нт-К Р(4, <й„«,+(,)= л-О л Е Е РВА-4<4! <Ь<~4+(м $л<(4+(з) ° 4 4 А! так как $„-й» не зависит от $А и йа 4, то йзВА-4<Г! < Аьь<44+(м $А4й:44+4з)= =МРВА — Ь:~А+~а-$а]ЫХ(Ь-!и=4! <Ь<~4+(а)е ! При этом следует иметь в виду, что под интегралом ] г44Р мы о н настоящем параграфе будем понимать интеграл по замкнутому Отрезку [О, г] и в нем нужно учитывать значение меры, порождаемой функцией Р, сосредоточенной в точках 0 и Уравнение (4) называют уравнением восстановления.
Оно имеет решение для любой измеримой локально ограниченной функции г(!) (т. е. ограниченной на всех конечных отрезках). Нетрудно убедиться, что в классе локально ограниченных функций решение уравнения (4) единственно. действительно, разность у(!) между двумя решениями уравнения (4) (при заданных г(!) и Р(4)) удовлетворяет уравнению Р = Р я К Следовательно, для любого и У = Р'"!» $г, Но "тогда шах $'(~)( шах Р(~)Р*! ~(Т)-~0 при и- оо, так что !~44,г! 4~4кг! Ъ'(1) — О.
Исследуем асимптотическое поведение функции НЯ при г -4 ОО. Л е м м а 2. Функция Н(г) полуаддитивна, т. е. СЛУЧАИНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 166 [ГЛ. П1 где )((А) обозначает индикатор события А. Далее, ~ Р($л ЕА~(!1+!2 — ЕА)62)ячН(1!+12 Ы~ л А Д Х Ъ-1 «1 < ВА < 11 + !2) < 1, поэтому Н (11+ 12) — Н(!1) < М Е Н (1 + ! — $2) Х (62- < ! < 62 < !1 + 12) л Н (1 ) а А 1 Л е м м а 3. Для произвольной неотрицательной локально ограниченной полуаддитивной функции НЯ предел ! = 1пп— и (1) с+- существует. Доказательство.
Пусть с ~ О, 1 = йс + И, й ы [О, с) и й— целое число. Тогда Н(1) Н(ьс+ а) АН (с) + Н (а) — Ьс+а < Ас+а откуда — н(1) н(с) —. НОО . Н[с) Ип[ — < — и 1пп — ч"!Нп —. И 1 с Найдем значение предела Ив[ — . НО) Теорем а 1 (элементарная теорема теории восстановления). нн([[ ( 1пп — с- = — 1 — = О, если Мт[ оо) . (5) Доказательство. Рассмотрим преобразовз и Л; [ [аса Н(з) функции Н(1): Н(а) „л $ е-мН(1) й[ о Имеем ( н®~! з2Й (в) е-" — и с(и. М ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ !ат Так как при е-+О и Н( — )( — ) -Р1 при з-РО и любом и~~О, то вв Ит з'Й(з)= ! е н1ийи 1. в.+ 0 С другой стороны, переходя к преобразованиям Лапласа в ра. венстве (3), будем иметь Н(з) = ~е-в'Ж+ ~ ~ Н(1 — 1)е-вп-'!-ни НР(!')Ж= о о о + ~ з-и в(Р(1в) ~ Н(и)з-ви )и= — -)-Н(з) Р(з) о о где Р(з) — преобразование Лапласа — Стилтьеса функции Р(1) Р(з) = ~ з-"в(Р(1).
о Таким образом, для функции Н(з) имеем следующее выражение: Й(з) = (У) Если величина Мт~ конечна, то Ю Ш Игп = ~ в(Р (1)-Р $1г(Р(1). О о В атом случае 1= Итзвй(з) = !Пп А— в.вс ввО 1 — Р (в! Мтв Если же 1в(Р(1)=СО, то, как нетрудно видеть, Ит () =со. И вес 3 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ !гл. Пг щв Полученный результат можно было предвидеть: среднее число восстановлений в единицу времени равно величине, обратной среднему времени непрерывной работы прибора. Более точные результаты в теории восстановления зависят от п ироды функции распределения г" (1).
Р редположим, что продолжительность работы прибора может иметь только значение вида т = пй, и = О, 1, ... В этом случае говорят, что величины ть имеют решетчатое распределение. Не умаляя общности, можно считать й = 1. Пусть р,=— = Р(ТА = и). Положим 6 (и) = 1 + Р (т, = и) + ... + Р (т, + ... ТА —— п) + ... Из предыдущего следует, что 6(п)( оо (если ть ) 0 с вероятностью 1, то 6(п) ( 2). Пусть й — наибольший общий делитель тех и, для которых р„) О. Если й = 1, будем называть процесс восстановления апериодическим; если й 1 — периодическим, а й — периодом восстановления. В случае апериодического процесса восстановления 6(п) ) 0 для всех п, начиная с некоторого и = пь. Если же й ) 1, то при всех достаточно, больших й, й = йы 6(Ы) ) О. Эти утверждения вытекают из следующей элементарной теоретико-числовой леммы.
Л ем ма 4. Пусть й — наибольший общий делитель последовательности положительных целых чисел пр, пм ..., и,. Существует такое число ть О, что для всех целых т ) т, неопределенное уравнение пи1= 2, сгп, ! ! имеет решение в целых неотрицательных числах се Доказательство. Пусть А — множество всех чисел, представимых в виде х =Ха!пп где а! — целые (положительные, от! рицательные или О).
Каждое х делится на а'. Пусть с(ь — наименьшее положительное число из А. Так как х — Ы„ен А при любом целом й, то, каково бы ни было х, найдется такое й, что х = Ы, (в противном случае нашлось бы такое йь что х! = = х — йрс(в удовлетворял бы неравенствам 0 < х, ( с(о, чтв противоречит определению йв). Итак, с(ь есть наибольший обв .в ° - -в. пр ° *.,р. в-(,:,=Х рв,) „ ! ! где Ь! — целые неотрицательные числа, и с(! = ~ и!.
Число й! ! ! можно представить в виде йв = Жэ — ррРр, где Ф! Ее В. Пусть, с — наибольший из целочисленных коэффициентов при п,, вхо- 169 пьопасс восст«новления $4! дящих в й(«. Для любого целого и ) О.положим т = Ы! + гп„ аде О ( гп! ( й!. Тогда подо = ййо й!+ Гп!йо ен В, если ййо ) - гп!с, что наверное будет выполнено, когда й > — или когда с!с во во!с > — '+й ° во Рассмотрим апериодический процесс восстановления и докажем существование предела 0 =!пп 0(п). л.+ Л е м м а 5.
Пусть т — случайная величина, принимающая значение и (п=О,.+1, +2, ...) с вероятностью р„, ф(и) — характеристическая функция величины т. Если й = 1, то ф(и) чь 1 при и) ( 2п, и Ф О. оказательство. Имеем ф(и) = Ме!от = ~ р„е!"". Пусть <р (и ) = 1, ! и ! < 2п, ио чь О. И меем 0=1 — Кеф(ио) = ~, (1 — созна,) р„. Поэтому соз пио — — 1 для всех тех п, для которых р„) О, или лио = 2пй.
Выберем последовательность целых чисел п„по,... ..., п„для которых р„,) О и наибольший общий делитель которых равен единице. Тогда п„ио — — 2пй, (г = 1, 2, ..., з). С другой стороны, уравнение 2, а„п, = 1 имеет решение в цег 1 лых числах а„. Следовательно, ио ~', а,п,ио — — 2п 3' а,й,=2пй„ с-о где йо — целое число, что противоречит условию 1ио) 2п. И Л ем м а б. Если восстановление апериодично, то предел 0 = Вгп 0(п) существует. о-о Доказательство. Положим 0(г, и) = ~„з"р„(Й), п~О, О~а(1, «-о где Ро(й) = Р(а« = и), $« = т, +'... + тж Из теоремы Абеля о степенных рядах следует, что 0(п)=11ш0(г, п). сь! )гл, !и СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ )то Так как характеристическая функция случайной величины $» равна [!р(и)]», Ю [р()1"-Хр.(Ь)~', в ! где <р (и) = Ме'"'», то л Р (Ь) = — ~ е евв !ер (и)!» е»и.
Поэтому При и ( 0 интеграл в правой части последней формулы равен нулю. Следовательно, 1 1 505»и е!и и 3 1 — В!р(и)' — Л Положим Ь(г, и)= — йе(! — Еер(и)) '. Так как О(г, Ь) — вещественная функция, то О (г, и) = ~ Ь (г, и) соз пи гри. Ядро Ь(г, и) (г ~ [О, !), 0 < (и[» 2п) положительно и непрерывно в силу апериодичности восстановления и леммы б. Поэтому при любом е ) 0 в 6(п) =!Пп ~ Ь(г, и) сов пи е(и+ ~ Ь(1, и) созпи е!и. (8) ВФ! — В е< !В)~в Полагая здесь п - .О, видим, что существует предел Ь, !Пп ~ Ь(г, и)е(и е»! -в и Ь, н~ 0(0). Так как Ь, убывает при е 1 О, то предел !ПпЬВ=ЬВ В.ВО также существует.
Следовательно, существует е 1!т Пп! Ь(г, и) сов пи Ври = Ь. ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ Возвращаясь к формуле (8), видим, что Ь(1, и) является ин- тегрируемой (в смысле Коши) функцией на отрезке ( — и, и) и 0(п)=Ь+ ~ Ь(1, и)совпис(и. Так как Ь(1, и) интегрируема, то по теореме Римана — Лебега л 1пп ~ Ь(1, и)созпи«(и=О. л.+ л -л Таким образом, доказано, что !пп 0(п) =Ь существует. 1й л.+ л Теорем а 2. Если восстановление апериодично, то 1пп 0 (и) = —, гп = Мты ! гл ' причем если МТА= оо, то Вт 0(п) =О. л.+ « Доказательство. Так как предел !Нп 0(п)=Ь существует л.+ .'ю в силу предыдущей леммы, то, используя теорему Абеля о сте- пенных рядах, получим « - и (««- й *' !л «л - л л — ««!) = «В«~ л ! = Вт ~, гл (1 — г) 0 (и) = 1пп (1 — г) Ф (г), 2Ь!Л О лт! где Ф(г) = ~ г"0(п) — производящая функция последовательл-О ности (0(п),п = 0,1, ...), Из независимости и равнораспре- деленности величин ТА следует, что 0(п) удовлетворяет урав- нению 0(п)=6(п)+ 2: 0(п — Ь)ры п)0 (9) (6(п) = 0 при п ) О, 6(0) = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
