И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Семейство случайных величин (~~(Г), Ген Т) называют подчиненным потоку (5ь Г~ Т), если «(() при любом 1~ Т Впизмеримо. Определение. Семейство (К(1), 5п (еи Т), в котором случайные величины ~(О подчинены потоку о-алгебр Яь Ге= Т) и М~$(г) ( ( со, 1~ Т, называют мартингалом, если при з ( 1, з, (сТ М(в(г) ~6«) =$(з), (1) МАРТИНГАЛЫ 1ЗЗ $ и ,субмартпнгалом, если М(ь(0 ~6.) >$(з), (2) и суперл~артингало,и, если М й(1) )6.) ~~(.). (3) Из определения следует, что о-алгебра оД(з), з < Е з еи Т) содержится в 5~ В ряде случаев можно считать, что 5с = = о(ь1е), з ( Е з е= Т), ио часто под 5~ следует понимать более широкую о-алгебру.
В тех случаях, когда понятно, о каком потоке о-алгебр идет речь, мартингалом (или субмартингалом) будем называть семейство Д(1), 1~ Т). Так как при умножении на — 1 супермартингал переходит в субмартингал, то свойства, установленные для субмартингала, легко переформулировать для супермартингала. Из определения условных математических ожиданий вытекает, что семейство К(1),5Н1~ Т) будет мартингалом (субмартннгалом) тогда и только тогда, когда оно подчинено потоку 5и ( е;: Т, М ~ $ (1) ) < со и для любых з, Е А еп 5, (з < Е з, 1 я Т) ~ ч (з) с(Р = ~ $ (1) с1Р (4) А А (' 1,;м~Рк(~и~Р).
(б) А А В частности, в случае мартингала МВ(1) = сопз(, а для субмартингала Мс(з) -= М',(1) при з ( Е Очевидно, что если ~(1), т1(1) — два субмартингала, а > О, о ) О, то а~ь(1) + бт1(1) также является субмартингалом. С другой стороны, линейная комбинация двух мартингалов всегда является мартипгалом. Теор ем а 1.
а) Если (ь,(1), 5и 1~ Т) — мартингал, 1(х)— непрерывная выпуклая функция и М)1Я(1)) ) ( со, то Ц(~(1)), Вь 1~ Т) — субмартингал. б) Если же (З(1), еь 1~ Т) — субмартингал, а 1'(л) — непрерывная монотонно неубываюй1ая выпуклая функция, М)1(з(1)) ) < со, то (1(з(г)), 5ь 1я Т) — также субмартингал. в) Если $(1), т1(1), 1еи(О, Т), — субмартингалы, то е(Г) '/ П(1) — также субмартингал. Зтн утверждения легко вытекают из неравенства Иенсена.
Действительно, если функция 1 выпукла, а „"(1) — мартингал, в<Его М (Т(Ь(1)) $6,).=.- Р(М й(1) ~Ы) = Р(В(з)), т. е. ~Я(1)) — субмартингал. Если $(1) — субмартингал, а функция )(х) выпукла и монотонно не убывает, то М () й(1)) ~6.) =-1(М й(1)!6.)) >16(в)) слюыппые последовлтельности [гл. га 1З! Пусть с(1) = ~(1) '/п(1). Пронесс ~(1) подчинен потоку 5~ и интегрируем. Для любого А я в„где э ен Т, в ( 1, учитывая, что события А~ =А й (~(э) (т1(в)) и Аз=А П Я(з)' э~)(в)) 5визмеримы, имеем ~ ~ (э) ЫР = ~ т1 (э) ИР + ~ ~ (э) НР ( л А~ л1 « (~ и (1) б Р + ~ ~ (() д Р ( ~ ~ (1) с(Р.
л, л. А Следовательно, ь(1) — субмартингал. ~ Следств не. 1) Если $(1), 1~Т,— субмартингал, то и а ~I $(1), 1~ Т, — также субмартингал, где а — постоянная. 2) Если $(1), 1~ Т,— мартингал, то ~$(1) ~ — субмартингал и М1$(1) ) —.монотонно неубывающая функция. Если р ) 1 и М)В(1) ~1э ( оо, то 1В(1) )т — субмартингал, Если же В(1) — субмартингал, то В+(1) — также субмартингал. При этом, если р. 1 и М(В+)г ( оо, то Я+)я — также субмартингал.
Примеры. а) Пусть ~ы я=О, 1, ..., и, ..., — независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, 5„= а(ьь ..., ь„), $„= ~~+ си+ ... + ь„. Если Мь„= О (М~~„~ О) Уп, то (с, 6», п = 1, 2, ...) является мартингалом (субмартннгалом). Действительно, при пт ( и Аналогично, если Мь = 1 (Мс„ ) 1) Уп, то последовательность и (6л, 5л, и = 1, 2, ...), где $„= Ц ~ы является мартингалом ь-1 (субмартингалом). Действительно (сп «и), М(г 15 )=с М Пьг~5 =ь ПМьь сиз+ ~ ~ ы+1 б) Пусть (5„, п = 1, 2, .
) — некоторый поток а-алгебр, 5„~ б, б — о-алгебра подмножеств множества 11, Р и С) — две вероятностные меры на Я, Р„н С), — сужения мер Р и Я на 6„. Предположим, что Я„абсолютно непрерывна относительно Р Чп. На вероятностном пространстве (1г, Я, Р) рассмотрим последовательность случайных величин $: $ =д иО„ л лр (ЗВ МАРТИН ГАЛЫ $ и где — „— производная Радона — Никодима меры О„по Р„.
ло. н л Тогда при А ~5, Гп < и ~$„с(Р= О„(А)= О (А) = ~~„с(Р, т. е. ($„, 5„, Р) — мартингал. ос™ пуст~ ти ..., П~ .. — последова сел~ иост~ ел у. чайных вектоРов со значениЯми в Я", 1 (хьхм ..., х,), хА~ еи Яг, й = 1...,, и, — совместная плотность распределения векторов (т(ь ..., т(ч) относительно некоторой о-конечной меры о„, определенной на борелевских множествах Я"". Предположим, что д(хь ., х ) — некоторая другая плотность относительно д„ такая, что из ~ )ч 4д„= О следует ~ д„с(д„= и. л л Тогда последовательность еи (ч~ " ч«) (ч(ЧР" Ч.) ' является мартингалом относительно потока В„где 5, = = о(ПН ..., Г„).
Марковские моменты времени. Пусть (5ь г ~ Т) — некоторый поток о-алгебр. О п р е д е л е н и е. Марковским моментом времени т на потоке а-алгебр (5ь Г е= Т) называют случайную величину, принимающую значения из Т или значение + со и такую, что при каждом Ген Т (т < Т) я6ь Если т — марковский момент времени, то и'Ген Т события (т ~ Т), (т ( Т), (с = Т) 5иизмеримы, Каждому марковскому моменту времени т сопоставим о-алгебру событий 5п о которых можно сказать, произошли ли онн до момента времени т или нет.
Будем называть ее о-алгеброй, порожденной марковским моментом времени т. Формальное определение следующее. О п р е д е л е н н е. о-алгеброй е„порожденной марковским моментом времени т, называют а-алгебру всех Ж-измеримых событий В, удовлетворяющих условию: для каждого ( ~ Т В П (т ~ О) ~ 5ь Пример. Величина т= Гы где Гс не зависит от случая, го~ Т, является марковским моментом времени, а порожденная им а-алгебра Ь =бп [Гл. Пг СЛУЧАННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Действительно, в рассматриваемом случае (т < 1) = Ы ~ 6ь если 1< 1,, и (т < 1)= йен6Ь если 12 < 1, так что т = 12— марковский момент времени.
Далее, В П (т < 1) я 6~ У1я Т тогда и только тогда, когда В ~5и. Отметим два простых свойства марковских моментов вре- мени (на одном и том же потоке О-алгебр (6Ь 1ен Т)). Теорема 2. а) Если т1 <тя то 5,,с:5,, б) Если т~ и т2 — два марковских момента времени, то т1~I тт и т1 Л т2 — также марковские моменты времени. Действительно, пусть Вен 622 Тогда ВП(т1 < 1) ~6Ь По- этому П (т2 ~~0) =(В П (21~~6))п (т2~~6) е= Оь 2ег Следовательно, Венб„. Зто доказывает утверждение а), Да- лее, пусть т* = т, Ъ' т2. Тогда (т* < 1) = (т1 < г) П (т2 < 1) ~ 6ь Если с, = т~ Л т2, то (т, ~~1) = (т| < т) () (т2 <1) е 52 Й е= Т. Ю Марковские моменты времени вводятся для того, чтобьг иметь возможность рассматривать значения случайного процес- са в эти моменты времени.
Предположим, что Т вЂ” счетное мно- жество, Д(1), 1я Т) — процесс, подчиненный (6Ь тя Т), и с-мар- ковский момент времени со значениями в Т. Теорема 3. Случаиная величина $, 6,-измерима, Действительно, для любого а (Б, < а) () (т ~ 0 = Ц (((з) < а) П (т = в). 2 т Так как при з <1 (з(з) с а)ен6„с:6Ь (т = з)еп6,с:.6„то (з, <а) П (т < 2)енбь у Рассмотрим конечную последовательность (ЕО1 = 1,2,..., 2У) и предположим, что она является 6нсубмартингалом, Введем монотонно неубывающую последовательность 6пмарковских моментов времени т~ < т2 < ... < тр и положим 212= ~, „ 5*2-6,„. Теорема 4. Последовательность (212, $", й= 1, ..., р) яв- ляется субмартингалом.
Доказательство. Мы уже знаем, что величины 212 5"-изме- римы. Кроме того, М~21А) < ОО. В самом деле, М!п,! М 2. и (1) ~ Остается показать, что М(21 ь, ~5"):ьт12, Можно ограничиться тем случаем, когда ТА+2 — ть принимает два значения: 0 и 1. МАРТИН ГАЛЫ 1зт действительно, если это не так, то введем новую последова- тельность марковских времен о~ = см о« = т»~.~ Л (о~+1), ... ..., он = т»чч =т»н Л (он-1-»-1).
Тогда (оый = 1, ..., ЛГ) об- разуют монотонно неубывающую последовательность марков- ских времен, для которых разности а»ы — а» принимают только значения 0 или 1. Если показать, что последовательность (эь», 1,, Ж) является субмартингалом, то отсюда будет сле- довать, что М(т»»„,~5«)=М($ ~5")>»„=Г»«, и тем самым теорема будет доказана. Итак, пусть т«+, — т« —— 0 или 1. Тогда для любого В си б« ~ (г»«+~ — т»«) с(Р = ~ (г»»»1 — т»») с(Р = в в о (т«+, — «- 1» (лн- ! «лт) В» -~ вп(т«-,»П(т«+, л ы» Но событие ВП(т«=г) ~5„(т«+1=г+ 1) =(т«.»~ > г) ~5,.
Поэтому ВП(т«=г) П(т».», =г»-1) ~5, и (Р,„, — ~,) дР >О. во (л«Г» я (л«+~ Г+» Следовательно, ~ (П»», — П«) дР > О ЧВ еи 5«', в что эквивалентно неравенству М (т»», ~ б») >11 . 9 Следствие. Вели (сн 5ь 7=1, ..., У) — мартингал, т,( ... ~~тр — последовательность 3ммарновспих мо,кентов времени, то (л,», 5,, 7«=1, 2, ..., р) — мартингал. Некоторые неравенства. Теорем а 5. 77усть (эл, 6„п = 1, ..., У) — субмартингал. Tогда М" + Р( эир $„>С) ( — '~, С>0.
(6) Вели же (Э„, 5„п = 1,, й7) — супермартингал, то 2 ьчр М»3л» Р( епр ~„>С)<; (7) Доказательство. а) Пусть т=й, если $«-= С, 7'= = 1, ..., 7« — 1, а $» > С. Если же $» ( С для 7« = 1, ..., »»7, то полагаем т = Х Величина т является марковским моментом )зв СЛУЧАИИЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬИОСТИ !гл, и! времени и т(Ж. Следовательно, пара ($„вн) образует субмартингал. Позтому СР( знр ~„)С) = ~ ~,с(Р< ~ ~нс(Р(М$н. (8) пг э с) (т, ~ с) б) Если последовательность $ — супермартингал, то М5, ) Ме,)» СР (знр е„) »С) + + ~ йн а Р » ~СР (знр ~„) »С) — Ме„, (гор $„< С) откуда следует СР (знр ~„) С) --'2 знр М1$„!. ° ! ~ гг ~ Н Следствие 1.
Если е„— мартингал и р .- 1, то Р( знр 1$А1»)с)» (— и М1~н 1е !<А<и С~ Следствие 2 (неравенство Колмогорова). Если ~г, ~г, ... ..., сн — независимые случайные величины, МЬА = О, й = 1, ... ...,Л', то Р( знр 11г+гтг+ +4А1>С)~ <~г ~ ЖА (8) !~А~в Неравенство (6) часто называют неравенством Колмогорова для субмартингалов. Далее, если $„ — произвольный супермартингал, то в силу неравенства (6) СР(1п1~„( — С)~М~$н1, что вместе с неравенством (6) дает 3 гар М)$„1 Р( зир ~1„1> С)( '~"~~ (10) !~ч<н В пространстве случайных величин, заданных на (Я, 6, Р), введем нормы, соответствующие пространствам Я'р — — ~с (11,!8, Р). Положим ! т 1 У 1~Ц,=(М~;1) =~~~Ц )1Л1 Теорем а 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
