И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Умножая зто соотношение на гл и суммируя по всем и ) О, получим Ф(г) =1+ Р(г)Ф(г), [г| < 1, где Р(г) = ~„р„г". Таким образом, л Ф(г) =[1 — Р(г)[ ! н ~ 1 — Р (2) ~ слтчаиныа последовательности ггл. пг 172 Если т = оо, то для любого й! ) О у н 11Щ -и!!ПГ ~Ч Рл — ' = ~~ Рла, л ! л ! откуда следует, что Ь = О. Если же т ( оо, то, учитывая пел равенство ~ — ) < п прн (а) ( 1, получим л 1 — г„гл~ "1 — г л ! С л е д с т в и е. Если восстановление имеет период й, то 1! гп 0 (пй) = —, т = М ты (10) л+ гл ' Действительно, если данное восстановление периоднчно и д — его период, то новое восстановление, в котором длительность восстановления т'„= — ", является апериодичным.
Если л б'(и) — его функция восстановления, то 0'(и) = ц(пй). С друМтл ы гой стороны, Мт„= — = —. Из доказанной теоремы теперь л следует (10). И Рассмотрим функцию восстановления в нерешетчатом случае. Исследование будет основано на уравнении, восстановления (4). Нам понадобятся следующие леммы. Л ем м а 7. !Тусть $г, $з, ... — одинаково распределенные независимые случайные величины, ~„= 1„($г, ..., й„), где 1, (хг, ..., х„) — симметрическая функция своих аргументов (!(х! ° ° ° хл) = 1(хг,, ..., х! ) для любой перестановки (г!, ..., г„) индексов (1,2, ..., а)). Если ь = Р.(пиь„, то величина г,не зависит от случая.
Доказате льство. Можно предположить, что !7„1л 1 (если бы это было не так, то можно было бы заменить 2 2 величины ь и ь„величинами — агс!дь, — „агс1яь„). Тогда М1~ы — ь„!'-«О. Но величина ~,„— ь„имеет то же распределение, что и ~ „— ь'„, где ь'„=)„($„+г, ..., $ л). Поэтому !пп М(Ьы — ь'„)2=0 и, как следствие, !1гп М(ь„— ь„')а=О. Из л+ л.+ независимости величин ь„и ь'„вытекает М (ь„— ь'„)а = = (М~„— Мь„')'+ Оь„+ 0~'„-«О. Отсюда следует гль = =1пп 0~л=О. И п»опвсс Восстхховлеиия !тз Л е м и а 8. Если функция 0(1) непрерывна, ограни«ена и удовлетворяет уравнению 0 (1) = ~ 0 (! — з) др (з), о (11) '(при т = ьо полагаем с/т = О). Доказательство.
Пусть г(г) — непрерывная функция, равная О вне некоторого отрезка, и Е(Г) = Н з(!). Функция г,(1) ограничена. Действительно, если я(!) = О при !1~ =в А и ]г(() ] < С, то /Я(!) ] < С(Н(1 + А) — Н(1 — А)]. С другой стороны, в силу полуаддитивности функции Н(() Н(!+А)— — Н(1 — А)( Й(2А). Очевидно, что функция 2(!) непрерывна. Таким образом, она является единственным решением уравнения (4).
Рассмотрим семейство (Н(г+ 1) — Н(з), з ) О) моно. то 0(Г) = — сопя(. Доказательство. Уравнение (11) можно записать в виде О(!) = МВ(1 — тк). Пусть 6„— о-алгебра, порожденная случайными величинами ть ..., т„. Тогда М(0(1 — ~„)!$„,)= = М(О(à — 5„-1 — т„) !5„-~) = МО(! — у — т ) !» ! = 0(! — ф„-1).
Следовательно, последовательность О(à — $„) является ограниченным мартингалом. Поэтому с вероятностью 1 и в Ы, существует предел !пи 0(1 — $„) = 0(!). Так как О(!) является преде».» л лом симметрических функций от одинаково распределенных случайных величин, то О(!) не зависит от случая (лемма 7). ПоэтомуО(() = !!шМО(! — К„) = 0(1). Итак, 0(1)=!ппВ(1 — ~„) для любого б Так как !!ш9(! — й„) =!!шВ(1 — т, — (т,+... + т„))= ».+ =О(! — т,), то О(Г) = 0(1 — т,) с вероятностью 1.
Из непрерывности функции О(!) следует, что Р(зпр]О(à — 5,) — 0(г) !) О)= ~ с = О. Таким образом, можно найти такое множество А (А с( — ьо, ьо)), что О(!) = В(1 — х) для всех !я( — со, оо) и всех к ~ А. Так как распределение величины т1 нерешетчато, то в А содержатся либо две несоизмеримые точки, либо пары точек со сколь угодно малым расстоянием. Следовательно, непрерывная функция 0(г) либо имеет два несоизмеримых периода, либо обладает сколь угодно малыми периодами. В обоих случаях оно константа. ® Следующая теорема носит название основной теоремы теории восстановления.
Теор ем а 3. Если распределение величин т» нерешетчато, то для любого с ) О 1!ш]Н(!+с) — Н(!)) =с/гп, т=Мта !.» слячхпныв послвдовхтвльности 174 сгл, гп тонно неубывающих функций аргумента И Из равномерной ограниченности этого семейства (Н(я + 1) — Н(я) ( Н(1) ) на произвольных отрезках 1~ [ — А, А) вытекает, что из любой последовательности значений я можно выбрать подпоследовательность я„- оо такую, что Н(яь+ 1) — Н(ял) сходятся па всюду плотном множестве значений 1 к некоторому пределу о(1). Но тогда Е(яь+1)= ~ г(1 — я)с(Н(яс+я) — с ~ г(1 — я)до(я)„(12) так как г(1) отлична от нуля только на конечном интервале. Положим О(1)= ~ г(1 — я)с1о(я).
Перейдем в равенстве ~(я + 1) = г(я + 1) + с ~ (я +1 — я) гСг' (я) о к пределу при яь — оо. Учитывая, что Вт г(яд+ 1) = О, полу- чим Я (яь+ 1)- а ~ г(1 — я) с(я. При этом константа а не зависит от выбора последовательности яю ни от функции г(1), Так как в последнем соотношении я„— подпоследовательность любой последовательности чисел я'„— ~ оо, то мы видим, что предел Е(1) при 1-» оо существует и 1нп2(1) =а ~ г(я) с1я. с.+ (13) О (1) = ~ О (с — я) сУ'(я). о В силу леммы 8 О(1) = сопз1.
Таким образом, для любой непрерывной функции г(1) (г(с) = О при (1() А для некоторого с А) функция О(1) = ~г(1 — я)с(о(я) не зависит от И С помощью о предельного перехода получаем, что п(1с) — п(1с) зависит только от разности 14 — 1с. Положим о(1+ я) — о(я) = й(С). Тогда й(1с + (з) =о(1с + (з+ Я) — п(1с + Я)+ о(1с + Я) — п(Я) =й(1,)+' + й(1,). Функция й(1) монотонно не убывает, поэтому решения уравнения й(Ес + 1,) = й(1,)+ й(1с) (1с, сс ) 0) имеют вид И(1) = ай с"1ы получили, что о(1+ я) — о(Е) = сся. Таким абра.
эом, пгоцесс восстлновлспия 175 $4] С другой стороны, из предыдущих соображений вытекает, что ! нп [Н (з + г) — Н (!)] = аз (14) для счетного всюду плотного множества значений к Из непрерывности правой части равенства (14) следует, что равенство (14) выполняется для всех значений з. Напомним, что (13) доказано для всех непрерывных функций г((), отличных от О на конечном отрезке, а равенство (14) можно рассматривать как частный случай (13) при г(з), равном индикатору полуинтервала (Г, 1+ з). Отсюда вытекает, что равеяство (13) имеет место, например, для функции г(() = 1 — Е(() при ( ~ О, г(!) = О при ! = О, если т = ~ (1 — Е (!)) Ж = М т, < оо. 0 В этом случае с (!) =Наг(!) = ) (1 — Е(! з))ДН(з) =1 н ра з венство (13) дает 1 = ат, а = 1~т. Тем самым, для случая т оо теорема доказана.
Пусть теперь т = оо, Тогда 1 = ~ (1 — Е (! — з)) с(Н (з) ) 1пп ~ [! — Е (з)[ г(Н (г — з). о При (- оо получим для любого с ~ О 1 ) а ~ (1 — Е (з)) с!з. о Но интеграл справа стремится к оо при с- оо. Следовательно, а=О. И 3 а м е чан и е. При доказательстве теоремы формула (13) была применена к функции г(!) = 1 — ЕЯ, г ) О, в то время как непосредственно она была доказана для непрерывных функций, равных О вне некоторого компакта. Введем следующее условие. Пусть й ) О и с., с, обозначают минимум и максимум функции а(!) на интервале (п — 1)й = х ( пй. Условие А: ряды о, = й ~~',с.„о" = й ~ с'"сходятся абсолютно и о' — о„- О при й - О. Нетрудно проверить, что если функция г(() удовлетворяет условию А, то к ней применима формула (13). Покажем это. Пусть сначала функция г(!) ступенчатая, г(!) =Х ппг (!) а (!) = 1 при й(п — 1) ~ ! ( йп и г„(!) = О при других зна- слтч»пныя последов»тяльности 1гл.
гн 176 чениях 1, й' = И г„. В силу (14) Л„(1)= Н(1 — (и — 1)й)— — Н(1 — пй)- ий, причем Е„(1) ( М» для всех п, где М» — некоторая постоянная. Пусть а„'>О, ~ а < со. Тогда » и О (Я=Н»г) ~„а»2»(1)(Л(1)(~„а»2»(1)+М» ~ а». Переходя здесь к пределу при 1- ио, получим О 1пп У (1) = аЬ ~~ а» = а 1 г (х) Их. С.»а 1 Пусть теперь г(1) — произвольная функция, удовлетворяющая условию А. Применяя полученный выше результат к ступенчатым функциям ~ с.,г„(1) и ~„,с г„(1) получим, что все предельные точки 2(1) (при 1 — св) лежат между ао, и ао'.
Поэтому (13) верно для любых г(1), удовлетворяющих условию А. Очевидно, что г(1) = 1 — г'(1), 1=» О, удовлетворяет условию А, если т = Мт~ ( со. И Введем теперь еще две важные характеристики процесса восстановления. Если я» ~ ( 1( 5», то положим уФ=$» Процессы у+, т-, кусочно линейны. Процесс у+ убывает на каждом промежутке времени ($» и $») от т» до О, а т; — возрастает от О до тм Величина у+ показывает, сколько еще времени будет работать прибор, если он работает в момент времени 1, а у; — сколько он уже проработал.
В некоторых вопросах представляет интерес величина у, = у~+ + т,, равная общей продолжительности работы прибора, работающего в момент времени 1. Так как величина у~ совпадает с одной из величин тм то может показаться, что распределение величины у, совпадает с распределением величины тм На самом деле это не так. Дело в том, что у, совпадает с величиной т», взятой в случайный момент времени й = т(1)+ 1, у(1) = т,ин.ь где т(1) — число восстановлений в момент времени 1. Поэтому распределение у, может не совпадать с распределением т». Это обстоятельство известно под названием парадокса теории восстановления, Найдем предельное распределение величин у„ у+ и у;. Введем функцию )', (х) = Р (т~+ > х).
Событие (у, > у) П(т~+ > х) происходит тогда и только тогда, когда в промежутке времени (1 — у, 1+ к) нет ни одного вос- ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 1тт При этом Р(Ь(1, $ „>1+х)= = М1((~» ~ г) Р (т»+ > Г+ — ~»1~») = ~ (1 — р (1+ х з)) др (,) 0 где г»(в) — функция распределения величины $», р»(з) = = Р(е» ~ в), й ~ 1 и Р»(е) — распределение, сосредоточенное Ю в точке в = О.
Так как ~ г» (в) = Н (в), то У,(х) = ~ (1 — Р(Г+ х — в)) дН (в). О (15) Теорема 4, Если величинсч т» имеют нерешетчагое распределение и Мт» ( сю, то 1(ш У» (х) = — $ 1! — г (е + х)) с(в. 1 Мт, о (16) Доказательство теоремы непосредственно вытекает из соот- ношения (13), если положить г(1) = 1 — г (Г + х), г > О и за- метить, что так как г(с) удовлетворяет условию А замечания к теореме 3, то формула (13) к ней применима.
И Аналогично в решетчатом случае получим следующее утверждение. Теор ем а 5. Если т» имеют решетчатое распределение, о, (й) = Р (у, = й), р (й) = Р (т, = й), го 1пп о, (й) = — ~ р (й + (). г-о (17) становления, т. е. когда т+ „> х + у. Поэтому Р(у >у, у >х) У (х+и). Таким образом, совместное распределение величин у~+ и у; (а следовательно, и распределение величин у++ у,, у, ) выражается через функцию У,(х). Заметим, что (у»+ > х) = 0 Й»-1 < 1) П (е» > Г + х) Следовательно, У»(х) = Х Р (~» <- 1 т»,», > 1 1 х) 1гл. гп случхйныв последовхтельности 178 Рассмотрим теперь совместное распределение величин ун у;!.
Имеем (у, = 0 () (у, = й) = (.) ь. =1 — 1') () (1, = г+ й) = !! О = () и. =1 — 1) () (т.+! — — й+ 1). Поэтому Р(у;=1, у,"- = й) = ~ рс,(и) р(й+ 1). На основании !! ! теоремы 2 получаем 11ш Р (у; = Л у!! = ~) = ~ р (й+ /). ~т! Отсюда также следует, что 1пп Р ( у, = 1) = — . гг (й Мт! (18) В формуле (18) отражается парадокс теории восстановления: вообще говоря, Р(у! =1) чь р(1). 5 5. Цепи Маркова Общее понятие процесса Маркова в широком смысле было введено в ~ 4 гл. !. В настоящем параграфе рассматриваются цепи Маркова — процессы Маркова с дискретным временем. Речь идет о стохастической системе, состояния которой описываются точками некоторого измеримого пространства (Х, 6), называемого 4азовым пространством системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
