И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Процесс, определяемый формулой (1), называют ауо!1вссом скользящего суммировании ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 285 Предположим, что $(п) — некоррелированная последовательность случайных величин и Ма(п) =О, М3(п)В(т) =Ь„ы ( — оо < и, т < оо). Назовем ее стандартной, Она имеет постоянную спектральную плотность.
Для с. к. сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы- (2) и о Если это условие выполнено, то процесс о)(1) также стационарен и МТ1(1) =О, Р„(1) = Х а„+за„. (3) Какие же последовательности могут быть таким образом получены? Л е м м а 1. Для того чтобы стационарная последовательность о)(п) была реакцией физически осуществимого фильтра на стандартную последовательность случайных величин, необходимо и достаточно, чтобы последовательность Ч(п) имела абсолютно непрерывную спектральную меру и ее спектральная плотность ~(и) допускала представление 1(и)=! й(е") ~о, д(е' ) = Х Ь„е ", ~ ~ Ь„~о < оо.
(4) Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность представима в виде (1). Положим д (е") = = ~~ а„е'"'. Узп о-о Тогда по формуле Парсеваля 1сч(1) = ~ ао+,а„= $ еи" ~ д(е") 1ойи, -о — н т. е. последовательность о1(п) имеет абсолютно непрерывный спектр с плотностью 1(и) ° ) д(е'") ) о. Достаточность. Пусть Т1(п) — последовательность с корреляционной функцией Яч(1) = ~ еи"1(и) йи -я 2ЗБ ЛИНЕПНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАННЯ СЛУЧАПНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ.
T Н 1'(и) =)Л(Е[") (', ГДЕ Л(Е[л) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СООТНОШЕНИЯМИ (4). Последовательность т)(л) имеет спектральное представление т[(л) = ~ е[~(,(ди). На о-алгебре борелевских множеств отрезка [ — п, и) построим стохастнческую меру л $ (А) = ~ )(А (и) ь (ди). "„)12л Р (еы) Тогда МБ(А)Б(В)= )(А(и))(а(и) ',„, 1'(и) ди= — ' ') ди, 2л)Е(е'") Р 2л т. е. Б(А) является ортогональной мерой со структурной функцией 1(АПВ), где 1 — мера Лебега. Используя леммы 2 н 1 5 2, получим л л "(") = ~е 1(дп)= ~ е~" )/2п л(ем)$(ди) л 'Ь[2п ЬА ~ е[ [" А) лй (дп) — ~х~~л ~ ( й) А О л А-О где 'Ъ~2п о $(л) = ~ е[л~(ди) -л МВ (л)$ ([л) е[(л в[и ди б 2л [ Такнм образом, $ (л) является стандартной последовательностью.
° Доказанная лемма дает простой ответ на поставленный вопрос, Но этот ответ в общем случае недостаточно эффективен, так как остается неясным, когда спектральная плотность может быть представлена формулой (4). Найдем условия, при которых 1(и) допускает представление (4). Обозначим через Н, множество всех функций 1(г), Физически ОсущестВимые Фильтоы 2вт аналитических в круге 0 = (г: )г~ с. 1) и таких, что !)) (г)!)о=!ИП ~ !)'(ге'В) ГбО ( оо. ль! ЕСЛИ )(г)= ~ а„г", тО )(ГЕ!О)= ~„алтлЕ!".В, т.
Е. а„Г" яВЛяЮтСя л о л о коэффициентами Фурье функции )(ге!о). В силу равенства Пар- севаля ~ ))(ге!В))об0=2и~~ )а„)огы. и л-о Отсюда видно, что 1(г)~ Но тогда и только тогда, когда л Е)а„)ЗС оо. Следовательно, для каждой функции )(г)ее Но можно определить ряд 1(еоо)= ~, а„е'"В, сходящийся в .Уо(1), где 1 — лебел-о гова мера на ( — и, и). Функция 1(г) (~г~ < 1) восстанавливается через функцию ) (е!В) по формуле Пуассона 1(ге!В) = — ~ )' (е!") Р (г, О, и) с1и, ! (6) где Р(г, О, и)= — г! л !Е!л !В-и! ! — Ег соо ( — и) + г' Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает из равенства Парсеваля.
В теории функций доказывается (см. И. И. Привалов (1)), что если в формуле (6) функция )(е'о) интегрируема по Лебегу, то почти для всех О существует Вгп ) (ге'В) = 1 (е'В). лО! Функцию 1(еоо) называют граничным значением функции 1(г) (1г!С 1). Т е о р е м а 1. Пусть )*(и) — неотрицательная и интегрируемая но Лебегу функция на ( — н, н).
Для того чтобы существовала функция д(г)~ Но такая, что 1(и) =) у (еы) )', (7) 2ЕЕ линейные ЛРеОБРАВОВАния случАйных пРОцессоВ [гл, у необходимо и достаточно, чтобы ~ ! !п ~ (и) ! (2и < оо, (8) Доказательство. Необходимость. Пусть и (е) = ~ а„г" ен О в О н (7) имеет место.
Можно считать, что А((0) Ф 0 (в противном случае вместо д(г) можно рассмотреть г д(з), где т — кратность нуля г = 0 функции д(г), и положить !д(0) ! = 1). Пусть 0 ( г ~ 1 и А = (и: !гг(ге(") )( !), В =(и; !д(ге(") !) 1), Тогда ~ ! 1п !8(ге( 1!!((и = ~1п! Р(ге'") !(!ив — () в — ~ 1п ! 8 (ге(") ! ди = 2 ~ 1п ! б (ге(") ! (2и — ~ !п ! д (ге' ) ! ((и. л в )( Из формулы Иенсена вытекает, что при 1(0) = 1 — 1 1п!1(ге(") !да= !п Ц вЂ” )О, 2л ! «! -)) «-1 где з« вЂ” нули функции 1(г) внутри круга ! г ! г.
Следова- тельно, ! )) )д(Р)))4 <2!1 )д( "))а Ч)(д(Р))а < )( в ( ~ ! 8(геы) !«(2и(2п~~ !а„!«. Применяя лемму Фату, получим ~ ! !п !8 (е(") ! ! ди = ~ !ни ! !п ! д (ге'") ! ! Е(и ( в ()г т) (1!1п) ~ ! 1п !д(ге(«) !!йс(2п ~~ !а„!", гМ в в ') что и доказывает необходимость условия (8).
Достаточность. Пусть условие (8) выполнено. Функция о (г, 8) = — „$ 1п1(и)Р(г, 8, и)йи ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 289 является гармонической в круге Р = (»: )г) ( Ц. Из неравен- ства Иенсена следует Обозначим через р(г) аналитическую функцию в Р с дей- 1 — Ф (2) ствительной частью о(г, О).
Положим д(г) =г' . Тогда ! д(тг'6) )6 гкечы) — гчьч 6) < ~ ! (и) р(т О и) аи 1 и ч Я ~ )у(тг'6)!'д8»- ~ )1(и))да < ьь. пичи, 6) Таким образом, у(г) ен Н, и !!|и! д(ггг) ! =г'+' =) (О) ~61 почти всюду. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Как вытекает из доказательства теоремы, функция д(г) может быть выбрана так, чтобы при г = О она была положительной и не имела нулей в Р. 3 а м е ч а н и е 2. Функция д(г), существование которой установлено теоремой 1, определяется не единственным образом, Но если д(г) удовлетворяет условиям а) д(г) Ф О, г чн Р, б) д(О) =- О„ то она единственна и, следовательно, совпадает с найденной нами. Действительно, если д;(г) (! = 1, 2) — две такие функции, то ф(г) = аналитична в Р, не обращается в нуль и на г, (г) г (г) границе Р по модулю равна единице.
Функция 1п ф(г) является аналитической в Р, и па границе Р ее действительная часть равна нулю. Следовательно, !пф(г)= й, где й вещественно. Так как 1п ф(О) вещественно, то !п ф(г) = О. Сопоставляя лемму 1 и теорему 1, получим следующее ут. верждение. Т е о р е м а 2. Для того чтобы последовательность ч) (1) могла бь1ть представлена в виде О(1) = Е а,! (1 — и), Х ! а, !' < 6-6 л 0 гдг $(н) — нгкоррглированная последовательность, необходимо и достаточно, чтобы т)(1) имела абсолютно непрерывную спектральную меру, а гг спектральная плотность 1(и) удовлгтворнла 290 ЛИНЕИНЫВ ПГВОВГЯЗОВХНИЯ СЛКЧКННЫХ ПГОПГСГОВ 1ГЛ Ч требованию ~ ! и ) (и) аи ) — со, Пусть 91 (х), с, (х), х е=- Л', — две гнльбертовы случайные функции. Через Ыз(91) обозначим замкнутую линейную оболочку системы случайных величин Д1(х), х е= Х) в Ж.
О пр еде л е н не. Если Ыз(91) с: Ыз(91), то случайная функция 91(х) называется подчиненной 91(х). Если еке 2'з(91) = = 21(ьз), то ь1(х) и ьз(х) назьеваются эквивалентными, 3 а м е ч а н и е. Как вытекает из доказательства леммы 1, последовательности 9(п) и 11(п) эквивалентны. Покажем, как можно выразить коэффициенты а„ в операции скользящего суммирования через спектральную плотность 1(и) последовательности т1(!). Введенная при доказательстве теоремы 1 функция гс(г) является аналитической функцией в Р, действительная часть ко« торой имеет граничные значения !п )(и), Следовательно, по формуле Шварца 1р (х) = — ) 1п 1" (и) аи. Г е1и+ е (9) Разлагая функцию у(г) = ехр1 — 91(г) ~ в степенной ряд г 1 й(г) = х, о„г", получим следующие значения для коэффп-о циентов а„: а„ = ~/2я 5„.
еи 2 е — = 1 +,„= 1+ 2 ~ г'е-ези, еги — г ! — ее Ь 1 то где аз = ~ е ее!п)(и) 1(и. С другой стороны, выражение для у(г) можно преобразовать следующим образом. Так как оизпчески остпгвствимые оильтгы 29! Полагая получим йй(е) = Р ~ с гь. е-о Таким образом, а„= ч~ЖРс„. (10) Перейдем к процессам с непрерывным временем. Обобщением операции скользящего суммирования на случайные процессы с непрерывным временем может служить операция, ставящая в соответствие случайному процессу 9(!) процесс т)(!), ! ~( — оо, оо), по формуле (11) Будем называть процесс с ортогональными приращениями $(!) стандартным, если М9(!) =(), М19(!+ а) — $(!) )з =й. В соответствии с тем, что было сказано в 9 4 о стохастическом интеграле Стилтьеса, процессу 9(т) соответствует некоторая стохастическая ортогональная мера 9(А) на о-алгебре множеств, измеримых по Лебегу. Эту меру также будем называть стандартной стохасгичесной мерой, Для существования интеграла (11) необходимо и достаточно, чтобы а(!) была измерима по Лебегу и ~ ) а (!) )з й! ( со.
Заметим, что стандартный процесс 9(!) не с.к. дифференцируем Однако отношения ,~ г1, ьг ()е ь1+ а) — $ ()е) ~ьз.! ы при всех !ь и сколь угодно малых ст ортогональны. Таким образом, фиктивную производную 9'(!) следовало бы рассматривать как процесс, значения которого в любые два момента времени ортогональны, а их дисперсия бесконечна. Этот фиктивный процесс часто вводят в рассуждения и называют белым идмом.
292 линвиныв пввовелзовлния слзчлиных пгоцассов 1гл. ч Точное определение белого шума дается в рамках теории обобщенных случайных процессов (И. М. Гельфанд и Н, Я. Виленкин (1)). Символически формулу (11) можно записать в виде т) (1) = ~ а (т — з) $ (з) аз и интерпретировать т1(!) как реакцию физически осуществимого фильтра на белый шум. Импульсная переходная функция этого фильтра равна нулю при ! ( 0 н а(1) при ! ) О. Отметим, что все допустимые для процесса $'(!) физически осуществимые фильтры исчерпываются формулой (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
