Часть 2 (1133435)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТТихонов Н.А., Токмачев М.Г.Курс лекций«ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ»ЧАСТЬ 2Москва, 20121ТИХОНОВ Н.А., ТОКМАЧЕВ М.Г.Основы математического моделирования / Учебное пособие.М.: Физический факультет МГУ, 2012.Пособие по курсу «основы математического моделирования»написано на основе курса лекций, читаемого в течение ряда последних летна физическом факультете МГУ.В пособии рассматриваются вопросы и методы математическогомоделирования, а также постановки и решения ряда классических и новыхзадач математической физики.Текст разбит на главы и параграфы.

Нумерация формул и рисунков вкаждом параграфе своя. Рисункам присвоены номера в тех случаях, когдана них имеются последующие ссылки. В остальных случаях рисункииллюстрируют рядом расположенный текст и не пронумерованы.Тихонов Николай АндреевичТокмачев Михаил ГеннадьевичОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯФизический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова,119991, Москва, ГСП-1, Воробьевы горы, д.1, стр.2© Физический факультет МГУим.

М.В.Ломоносова, 2012© Тихонов Н.А.,Токмачев М.Г., 20122ОглавлениеГлава 3. Методы решения задач.__________________________________5I. Метод конечных разностей. __________________________________5§1. Общие понятия. __________________________________________5§2.

Разностные задачи для уравнения теплопроводности. ___________7Устойчивость решения задачи теплопроводности на бесконечнойпрямой. __________________________________________________10Необходимые условия. Спектральный метод. _________________10Достаточные условия устойчивости. _______________________11§3. Метод прогонки для решения задачи теплопроводности на отрезке.__________________________________________________________14§4. Консервативные разностные схемы. ________________________16Пример неконсервативной схемы.

____________________________17Метод баланса при составлении разностных схем для уравнениятеплопроводности. _________________________________________20Консервативная разностная схема для решения задачи (1), (2). ____22§5.Экономичные разностные схемы.____________________________23Схема переменных направлений _____________________________23Локально-одномерная схема. ________________________________26§6. Итерационные методы при решении нелинейных уравнений. ____28§7. Разностные схемы для решения уравнение переноса. ___________30Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета ___34II.

Вариационные и проекционные методы решения краевых задач.____________________________________________________________37§1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной. Метод Ритца__________________________________________________________37§2. Проекционные методы ____________________________________42Метод Галеркина.__________________________________________42Метод наименьших квадратов. _______________________________42Метод моментов ___________________________________________43Обобщенный метод моментов _______________________________44§3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,основанные на вариационных принципах.

Метод конечных элементов.__________________________________________________________44§4. Вариационный подход к решению задачи Штурма-Лиувилля. ___48III. Асимптотические методы. _________________________________493§1. Метод малого параметра. _________________________________49Регулярный случай. ________________________________________50Случай сингулярного возмущения. ___________________________52Построение равномерной асимптотики.

_____________________54Формализм метода. ________________________________________60Первое приближение: _____________________________________63Улучшенное первое приближение: __________________________64Второе приближение: ____________________________________64Улучшенное второе приближение: __________________________65§3. Метод ВКБ (Венцеля, Крамерса и Бриллюэна) ________________71Глава 4. Некоторые новые объекты математического моделирования_____________________________________________________________74§1.

Вейвлет-анализ. _________________________________________74§2. Фракталы. ______________________________________________78§3. Детерминированный хаос._________________________________81§4. Синергетика. ____________________________________________85§5. Метод обратной задачи рассеяния __________________________85Уравнение Кортевега - де Фриза _____________________________85Схема метода обратной задачи рассеяния ______________________87Прямая задача рассеяния __________________________________87Обратная задача рассеяния _______________________________88Применение метода обратной задачи рассеяния к решению задачиКоши с уравнением Кортевега - де Фриза.

_____________________89Литература. __________________________________________________914Глава 3. Методы решения задач.I. Метод конечных разностей.§1. Общие понятия.Напомним некоторые понятия, которые рассматривались в курседифференциальных уравнений, и определим обозначения. Пусть требуетсячисленным методом найти решение следующей задачи:x   x1 , x2 ,..., xn   D Lu ( x)  f  x  , Ku ( x)    x  ,(1)x Здесь Г - граница области D, L - дифференциальный оператор, K оператор дополнительных (начальных или граничных) условий, f  x  и  x  - заданные функции.Введем в области D прямоугольнуюкоординатнуюсеткуw.Будемдляпростоты рассматривать равномернуюсетку, то есть такую, у которой шагизменения координаты хm (m  1,..., n)постоянный, равныйнаправлениямhm .

По разнымвеличина шага h может быть разной. Обозначим узлысетки, как x h . Совокупность точек x h внутри области D обозначим какwh , а совокупность точек x h , лежащих на границе области D обозначим икак  h . Обозначим f  f xhhh   xh  .Наряду с решением задачи (1) – дифференцируемой функцией u(x)будемрассматриватьтакназываемуюсеточнуюфункциюvh ,представляющую собой совокупность чисел – значений vi в узлах сетки.Для v h составим разностные алгебраические аналоги дифференциальныхоператоров, фигурирующих в (1). Например, производной Lu uв точкеx5хiпоставимвсоответствиедифференциальномуLh v разностныйоператоруLu  2ux 2операторпоставимвvvLh v  i  1 i ;hсоответствие1  vi  1  vi vi  vi  1  vi  1  2vi  vi - 1и т.

д.hhhh2Тогда, система уравнений для v h , соответствующая (1), будетвыглядеть следующим образом:hh Lh v  f ,hh Khv   ,x h  wh(2)xh   hСистему алгебраических уравнений (2) называют разностной схемойдля системы (1).Близость сеточных функций (также, как обычных функций) можнооценивать в различных нормах. Мы, для простоты, будем рассматриватьих в норме, соответствующей норме равномерного приближения, то естьбудем считать v h  max vi .iБудем говорить, что разностный оператор Lh аппроксимируетдифференциальныйоператорLсточностьюпорядкаk,еслиLu h  Lhu h  Chk , где константа С не зависит от величины шага сетки h.Если подставить решение u задачи (1) в разностные соотношения (2),то получим, что эти соотношения выполнены не точно:hhh Lhu  f   ,hhh K hu     ,x h  wh(3)xh   h h называется невязкой.

Будем говорить, что разностная схема (2)аппроксимирует задачу (1) с порядком k , если h Chk . Легко видеть,6что если Lh и K h аппроксимируют операторы L и K с точностью порядкаk , то и схема (2) аппроксимирует задачу (1) с тем же порядком точности.Рассмотрим решение v h задачи (2) и z h - решение такой же задачи смало измененной правой частьюLh z h  f h   h ,x h  whKh z h   h   h ,xh  hРазностная схема называется устойчивой, если найдутся такие числаMиN,чтодлялюбыхhиhбудетвыполненоzh  vh  M  h  N  h .Будем говорить, что решение (2) - функция v h - сходится к решению(1) - функции u h - с порядком k , если u  vhh Chk .В курсе дифференциальных уравнений было доказано, что изаппроксимации и устойчивости следует сходимость с порядком, равнымпорядку аппроксимации.Разностная задача называется корректной, если она однозначноразрешима и решение непрерывно зависит от дополнительных данныхравномерно по h (свойство устойчивости).§2.

Разностные задачи для уравнения теплопроводности.Рассмотрим задачу теплопроводности на отрезке 0  x  1:ut  u xx  f  x, t u  x,0     x u  0, t   0  t u 1, t     t 1(1)Будем интересоваться изменением решения за период времени0  t  T . В указанной области введем равномерную сетку с некоторым7шагом h по пространственной координате, и с шагом  - по временной,так чтоwh  xm  hm; m  0,1,..., N x ; hN x  1w  tn   n; n  0,1,..., Nt ;  Nt  T wx  wx  wСимволом vm , n обозначим значение сеточной функции в узле скоординатами  xm , tn  .

Будем помечать все переменные, относящиеся к n  1 -ому временному слою, «галочкой» сверху, напримерv или u , а кn -ому без «галочки». Таким образом, разностный аналог производнойut  xm , tn  будет иметь вид:vt v m  vm(Значок vt является символом, а не «настоящей» производной от v ,поскольку у сеточной функции v – набора чисел - не существуетпроизводной.)Разностный аналог второй производной будет:v  v  v  2vm  vm11 v vv   m1 m  m m1   m1hhhh2При составлении разностного аналога уравнения задачи (1) мыможем брать v на n -ом слое по времени, а можем на n  1 -ом.Впервом случае получаем так называемую явную разностную схемуv m  vmvm1  2vm  vm1 f mn2h(2)8Если вторую производною вычислять по значениям v на  n  1 -омслое, то получим неявную разностную схему:v m  vmv m1  2v m  v m1 f mn2h(3)Шаблоном называется совокупность узлов сетки, значения v вкоторых присутствуют в разностном уравнении.Шаблонявнойразностнойсхемыизображен на рис.1, ашаблон неявной схемыпоказан на рис.2.Рис.1Рис.2Можно также рассматривать схему с весами.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги