Часть 2 (1133435), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ее видпоказан на рисунке.Исключая из приведенных выше уравнений Q , I a и I , получаемUCL  MS '(U )U  U  0 . Вводя обозначенияS1U  y, t S0LCиMS0  и считая  достаточно малым, вследствие малости индуктивнойLCсвязи получаем уравнения Ван-дер-Поля, описывающее колебания вгенераторе:58 y   1  y 2  y  y  00 y t 0  yy  0 t 0(1)Здесь штрих означает производную по t . Задача рассматривается на1 большом промежутке времени 0  t  T ~ O   .Попытаемся решать эту задачу путем разложения в ряд по методу,изложенному в предыдущем параграфе.

Согласно общей схеме, ищемрешение в виде:y  t   y0  t    y1  t   ...(2)Решением вырожденной задачи (при   0 ) являются гармоническиеколебания:y0  t   y 0 cos t(3)Подставляя (2) и (3) в уравнение (1) и приравнивая члены смножителем  , получаем уравнение для определения y1  t  :y1  y1  1  y0 2  y0  y 0 sin t 1   y 0  cos2 t 22  y 0 2 y0  sin t  1 sin 3t4 4(4)Так как частота первого слагаемого вынуждающей силы совпадает схарактеристическим числом уравнения, то имеет место резонансныйслучай. Как известно при этом y1  t  содержит слагаемое, неограниченновозрастающее по времени. Решением (4) является функция:59 23y1  t   1   y 160 29 sin t   y160 2  y 0 2  t cos tsin 3t  1 4 1 Видно, что второе слагаемое в (2) за время t ~ O   становится немалым по сравнению с первым и метод разложения решения в ряд (2) постепеням (иначе говоря, регулярный метод малого параметра)неприменим.Этотслучайявляетсятипичнымдляуравнений,описывающих колебания со слабой нелинейностью на большом интервалевремени.Возникающие затруднения, преодолеваются различными методами,одним из которых является метод осреднения.

В физике его частоназывают методом медленно меняющихся амплитуд. Существенный вкладв его развитие внесли Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов.Формализм метода.Рассмотрим систему в так называемой стандартной форме:dx  X  x, t , dt(5)где x - искомый вектор, а X - заданная вектор-функция. Относительно Xпредполагается, что она достаточно гладкая и допускает осреднение по t,то есть существует функцияобразом:X  x,  X  x ,   , определяемая следующимT1 lim  X  x , t ,   dt . Интеграл берется по явноT  T0входящей переменной t при фиксированном параметре x . Если X 2 периодическая функция переменной t, то осредненная функция X  x ,  определяется из соотношения:60X  x,  Задача122 X  x, t ,   dt(6)0заключаетсявтом,чтобыполучитьравномерноеасимптотическое приближение решение x  t  системы (5) на большихинтервалах времени T 1 .Разложим правую часть (5) по степеням параметра  :X  x, t ,    X1  x, t    X 2  x , t   ...(7)Функции X i  t  будем в дальнейшем считать 2π-периодическими попеременной t и соответственно пользоваться средними вида (6).Рассмотрим замену:  x     u1  , t   2u2  , t  ...Здесь (t )медленно(8)меняющаясяфункцияпеременнойt,удовлетворяющая системе вида:d  A1    2 A2   ...dt  (9)Систему (9) называют усредненной системой для системы (1).Система (9) проще исходной системы (5) благодаря тому, что являетсяавтономной, т.е.

ее правая часть не зависит от t .Функциипредставление ui  , t ,(8) Ai моглоподлежатьслужитьопределению.источникомЧтобыравномерных  должныасимптотических приближений переменной x , функции ui  , tбыть ограниченными.61 Для определения функций ui  , t и Ai подставляем (8) всистему (5). Учитывая (7) и (9), получаем:  u  , t   ...

  X A1    A2    ...  22323t1  u1  , tt , t   2X2 Au1  , t    ... X  , t  , t     u  , t    ...2312131Приравнивая члены при  и  2 , имеем: X u1  , t  u2  , tA1  A2  t1 , t (10) t  X 2  ,t  uX 1  , t1 , t   A u1  , t1(11)     , t 2 Для определения из одного соотношения (10) двух функций u1  , tпредставимправую X     X  , t   X    ,A1  ,11X1  x,  121частьгде(10)среднеевивиде:значение2 X  x, t  dt1не зависит явно от t .0После этого приравниваем друг другу функции, не зависящие от t изависящие от t :  A1   X 1  , t Xu1  , tt1 , t   X1 62Отсюда   dt    tu1  , t   X 1  , t  X 1 (12)0(при интегрировании переменная рассматривается как параметр).Интегрирование по t 2 -периодической функции с нулевым средним дает ограниченную функцию u1  , t .  равенство (11) приобретает туже структуру, что и (10) с известной правой частью   ,t  .

Приравнивая После определения ui  , t и Ai 2опять члены, не зависящие от t и зависящие от t функции, получаем:  A2    2  , t  u2  , tt2 , t   2  Отсюда находится ограниченная функция u2  , t и т.д.Первое приближение:Отбрасывая в (8) члены порядка  и следующие и обозначая через1 решение системыd 1  A1 dt получаем:T1d  d 1dtdt(13) 2 . Можно ожидать, что на большом интервалебудет справедлива оценка  1  . Так как при подстановке 1вместо  в (8) погрешность порядка  возникает уже в первом слагаемом,то удерживать член  u1 и следующие не имеет смысла. Функцию x   ,1163дляx  x1  x  1которой,естественноназыватьпервымприближением для x , систему (13) – усредненной системой первогоприближения, а соответствующую теорему, в которой приводитсяобоснование этой оценки, теоремой о первом приближении для систем встандартной форме.Улучшенное первое приближение:Этот несколько жаргонный термин относится к конструкции вида: x1  1   u1 1 , t ,(14) где u1 1 , t определяется формулой (12), то есть находится после решенияусредненной системы первого приближения (13).Понятно, что если x  1 , то иx  x1  , т.е.

x1не даетбольшую точность для x . Но с физической точки зрения бывает полезноне пренебрегать быстрой поправкой  u1 к медленной составляющейприближенного решения.Второе приближение:Отбрасывая в (8) члены порядка  2 и следующие и обозначая через 2 решение системы:d 2  A1 2   2 A2 2dt  (15)d d 2~  3 . Тогда можно ожидать, что на большомdtdt1интервале T ~ будет справедлива оценка  2 ~  2 . Теперь приполучаемподстановке  2 вместо  в (8) в первом слагаемом возникает погрешностьпорядка  2 .

Значит, удерживать член  2u2 и следующие не имеет смысла.64  Функцию x2  2   u1 2 , t , для которой x  x 2  x  2   u1 2 , t ~  2 ,естественно называть вторым приближением для x , а систему (15) –усредненной системой второго приближения.Улучшенное второе приближение:Улучшенным вторым приближением называется конструкция вида:  x2  2   u1 2 , t   2u2 2 , tОна, опять же, не повышает порядок погрешности x  x2 ~  2 , ноучитывает функцию u2 , которую можно найти после решения осредненнойсистемы второго приближения (15).Построение дальнейших приближений просматривается уже вполнеотчетливо.ПримерВ задаче (1) метод осреднения может быть использован следующимобразом.

Сначала перепишем задачу (1) в виде системы уравнений первогопорядка: y  t   z  t 2 z    1  y  z  y0 y t 0  y z t 0  0При  0:y  t   a cos  t    ,(16)z  t   a sin  t    ,a  const ,  const .При   0 будем искать решение в виде:65 y  t   a  t  cos  t    t   z  t   a  t  sin  t    t  (17)Подставляя (17) в систему (16), после несложных преобразованийполучаем следующую систему дифференциальных уравнений первогопорядка: a  a2  aa3 a     1    cos2  t     cos4  t   4  282  1  a2 a3      1   sin 2  t     sin 4  t   4 82  a t 0  y 0 ,  t 0  0Обозначаяax   ,  y0 x0    ,0  a  a2  aa3 1    cos 2  t     cos 4  t    4 28 2X 3 1  a2  a  1   sin 2  t     sin 4  t      248 (18)получаем задачуdx  X  x , t  , x t 0  x0dt(19)Система, входящая в эту задачу, является системой в стандартнойформе, удобной для применения метода осреднения.66В рассматриваемом примере все X i для i  2 равны нулю.

ПоэтомуХ ( , t )  Х1( , t ) .Средними по t значениями правых частей (18) являются их нулевыегармоники. Обозначим координаты 1 как a ,  . Получаем осредненнуюсистему первого приближения: a1  a1 x1     1    1  1 d 1 d  a1      X 1 1dt dt  1   a  a2  1    2 4 0(20)В координатах система (20) имеет вид:a1  a12 a1   1 24 1  0(21)a1 t 0  y 0 , 1 t 0  0Интегрируя уравнение (21) разделением переменных получаемпервое приближение для x  t  - решение 1 осредненной системы первогоприближения (20):a1  t  2 y0y   4  y0  e202 t1  0,(22)Возвращаясь к исходной переменной y  t  уравнения Ван-дер-Поляи обозначая через y1  t   a1  t  cos t  1  t получаем,чтоприt ее первое приближение,y1  t   y1стац  t   2cos t ,67y1  t   y1стац  t   2sin t .Такимобразом,непосредственно видно, что на фазовой плоскостиизформулы y , y (22)интегральныекривые Ван-дер-Поля стремятся к окружности y 2  y2  4 .Множества точек на фазовой плоскости, притягивающиеинтегральные кривые, называются аттракторами.

Характеристики

Список файлов книги