Часть 2 (1133435), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Хелге фон Кох рассмотрел необычную кривую. Часто ееприводят в курсе математического анализа как пример непрерывной, нонедифференцируемой кривой. Рассмотрим отрезок единичной длины.78Удалим из него среднюю треть и дополним двумя отрезками длиной 1/3.Отрезок превратиться в ломанную из 4 звеньев. Применим ту же самуюпроцедуру к каждому из отрезков ломанной. Будем повторять этупроцедуру бесконечное число раз.Этапы построения кривой Коха.Можно также построить снежинку Коха или остров Коха, используяв качестве начального объекта равносторонний треугольник. Легко понять,что такая снежинка будет иметь бесконечный периметр, но ограничиватьбудет при этом конечную площадь.В 1915 г. Вацлав Серпинский придумал несколько интересныхконструкций, названных впоследствии его именем.

ПрокладкаСерпинского или салфетка Серпинского получается из равностороннеготреугольника. Проведем в треугольнике средние линии и удалимограниченную ими центральную часть треугольника. Повторим этупроцедуру по отношению к каждому из полученных треугольников и такдо бесконечности.79Этапы построения прокладки Серпинского.Подобным же образом можно получить ковер Серпинского,используя в качестве исходного объекта квадрат. Можно построить итрехмерные аналоги этих объектов.

Их часто называют губками.Таких примеров можно привести довольно много.Если разделить единичный отрезок на N равных частей длиной l , тоочевидно, что длина исходного отрезка будет равна 1  Nl . Если разбитьединичный квадрат на N равных квадратов со стороной l 1, тоNплощадь исходного квадрата будет равна 1  Nl 2 . Если разбить единичныйкуб на N равных кубов со стороной l 1, то площадь исходного3Nквадрата будет равна 1  Nl 3 . Во всех случаях выполнялось соотношениеNl d  1, где d – размерность самоподобия. В рассмотренных случаях онавыражалась целым числом и совпадала с Евклидовой размерностью. Вобщем случае размерность самоподобия может быть вычислена поформуле:d ln Nln lНайдемd размерностьсамоподобиядлямножестваКантора.ln 2 ln 2 0.6309 . Размерность самоподобия оказалась дробной.1 ln 3ln380Аналогичноd получаем,чтодлясалфеткиСерпинскогоln 3 ln 3ln 4 ln 4 1.5850 и для кривой Коха d   1.2618 .1 ln 21 ln 3lnln23Самоподобныефракталами.структурыдробнойразмерностиназываютсяМножество физических объектов имеют фракталоподобнуюструктуру.

Типичные природные фракталы – деревья, реки, облака,береговая линия. Фракталами являются дендриты (от греч. дендрон –дерево). Дендритоподобные структуры возникают в различных областяхфизики, например, при кристаллизации металлов. Дендритоподобнуюструктуру имеет обыкновенная снежинка.К фрактальным структурам можно отнести также так называемыеаэрогели – твердые тела, состоящие из связанных между собоймикрочастиц, составляющих жесткий каркас, который занимает лишьмалую часть общего объема.В человеческом организме множество фрактальных образований вструктуре дыхательной, кровеносной и нервной систем, губчатойструктуре костей.При моделировании физических процессов с объектами, имеющимифрактальную структуру, чаще всего встает вопрос о соотношении междуплощадями поверхности и объемами фрактальной структуры и ее частейпри различной подробности описания объекта.§3.

Детерминированный хаос.Не было гвоздя - подкова пропала.Не было подковы – лошадь захромала.Лошадь захромала – командир убит.Конница разбита – армия бежит.Враг вступает в город, пленных не щадя,Оттого, что в кузнице не было гвоздя.С.Я.Маршак81Мы привыкли к тому, что задание начальных условий — координати импульсов — однозначно определяет последующую эволюциюмеханической системы. Известно изречение Лапласа: "Дайте мненачальные условия, и я предскажу будущее мира".

В сознаниибольшинства естествоиспытателей, вплоть до недавнего времени,сохранялась эта уверенность в предсказуемости поведения систем,описываемых классической механикой. Однако исследования последних50 лет показали, что не все так просто. Встречаются задачи, в которыхпроцесс подчинен определенным законам, но выглядит, какбеспорядочный. Уверенность в возможности предсказания поведениядетерминированной системы зиждется на интуитивном представлении отом, что малые изменения начальных условий ведут к малому изменениюрешения. Если это не так и малые флуктуации начальных условийприводят к существенному изменению решения, то создается впечатлениео том, что решение хаотично.Еще в конце XIX века фpанцузский математик А. Пуанкареобнаружил, что в некоторых механических системах, эволюция которыхопределяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемоеповедение решения.

Впоследствии было показано, чтотакихсистемвмеханике,названныхнеинтегpиpуемыми, много.Пpимеp — это двойной плоский маятник сточечными массами m1 и m2, изображенный нарисунке. Две степени свободы — это два угла φ1 и φ2.Если отклонение от положенияравновесия мало, то система, как и вслучае простого маятника, совершаетрегулярные гармонические колебания.Однако при увеличении полной энергиинаступаеттакоймомент,когдаколебания становятся хаотическими.82.Два близких начальных условия приводят, в конце концов, к совершенноразличной динамике этой системы с двумя степенями свободы.Другойклассическийпримернеинтегpиpуемой системы — этоизвестная задача трех тел.

Частнымслучаем последней является движениечастицы в гравитационном поле двухнеподвижных точечных масс. Даже еслидвижениепроисходитводнойплоскости, траектория частицы выглядитчрезвычайно сложной и запутанной. Онато обвивается вокруг одной из масс, то неожиданно перескакивает кдругой. На рисунке вверху показана начальная часть траектории, а внизуее продолжение. Первоначально близкие траектории очень быстрорасходятся.Открытие, сделанное Пуанкаре, осталось незамеченным. Спустя 70лет его повторил метеоролог Э.Лоренц, решая совершенно другую задачуо тепловой конвекции жидкости.

Слой жидкости конечной толщиныподогревается снизу так, что между верхней — холодной и нижней —горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур.Нагретая жидкость вблизи дна, расширяясь, стремится подняться вверх. Инаоборот, холодная вблизи верха жидкость — опуститься вниз.Максимально упрощая уравнения Hавье-Стокса, описывающие этоявление, Лоренц случайно наткнулся на то, что даже сравнительно простаясистема из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений 1-гопорядка может иметь решением совершенно хаотические траектории.Эта система уравнений, ставшая теперь классической, имеет вид:dx   y  x ,dtdy  x  xz  y,dtdz xy   zdtЗдесь переменнаяx пропорциональна скорости конвективногопотока; y описывает разность температур для потоков вверх и вниз; z —83характеризует отклонение профиля температуры от линейного впродольном направлении, вдоль приложенного градиента температуры; ,  и  параметры.

Решение этих уравнений — функции x  t  , y  t  иz  t  — определяют траекторию системы в трехмерном фазовомпространстве x, y, z . Ввиду однозначности функций, стоящих в правыхчастях этих уравнений, траектория себя никогда не пересекает.Лоренц исследовал вид этихтраекторий при разных начальныхусловиях для некоторого наборапараметров ,  ,  .Онобнаружил,чтотраекторияхаотическим образом блуждает изx0вполупространство x  0 , формируяполупространствадве почти плоских, перепутанных сложным образом спирали.На рисунке показана проекция этих спиралей на плоскость xz длянекоторого начального условия.

Траектория сначала делает 1 оборотсправа, затем 20 слева, затем опять 1 справа, затем 4 — слева и так далее.Похожее поведение было найдено и при других значениях параметров.Изначально близкие кривые сильно расходятся. Создается впечатление,что процесс носит произвольный непредсказуемый характер, в то время,как на самом деле он детерминирован.Подобные проявления детерминированного хаоса встречаются вомногих задачах математики, физики, биологии, информатики, экономики,финансов. Исследование вопросов, связанных с этими задачами являетсяодним из новых направлений математического моделирования.84§4. Синергетика.Процессы, влияющие друг на друга, называются синергетическими(от греческого «совместные»).

Классические модели, описывающие такиепроцессы, выглядят следующим образом: x2 x t  P  x, y   Dx z 22 y  Q  x, y   D  xy tz 2Например, система уравнений x2 x2 a  yx   b  1 x  Dx 2 tz2 y   yx 2  bx  D  xyz 2 tимеющая рассматриваемую структуру была названа «брюсселятором».Можно показать, что при разных значениях коэффициентов a и bмогут возникать бегущие импульсы, стоячие волны, автоколебания истационарные структуры.

Исследование подобных процессов являетсяотносительно новым направлением моделирования.В нашем курсе мы сталкивались с явлением взаимного влияниянелинейных процессов друг на друга с образованием устойчивыхколебаний. Это было в задаче «хищник-жертва».§5. Метод обратной задачи рассеянияУравнение Кортевега - де ФризаУравнением Кортевега - де Фриза называется уравнениеut  6uux  uxxx  0(1)85Это уравнение, во-первых, описывает процесс распространения волнна «мелкой воде», когда длина волн сопоставима с толщиной слоя воды.(Габов «Введение в теорию нелинейных волн»); во-вторых, оно удобно,как модельное уравнение нелинейного переноса, поскольку учитывает рядфакторов.

Характеристики

Список файлов книги