Часть 2 (1133435), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В данноматтрактором для интегральных кривых уравнения Ван-дер-Поля вприближении является окружность радиуса 2 с центром вкоординат.к себеслучаепервомначалеНе прибегая к точному решению (22), стационарную амплитудуможно найти как точки покоя уравнения (21), т.е. как решения уравненияa1  a12 1 024 Таких решения два: a1  0 и a1  2 .Для первой точки имеем: X 1  a1 a1a1  2 X 1  a1 a1a1 01 0 . Для второй:21 3 21 2    0.2 82Следовательно, стационарная точка a1  0неустойчива,аточкаa1  2-устойчива.Интегральные кривые удаляются от началакоординат фазовой плоскости и притягиваются кокружности радиуса 2.68Рассмотрим теперь первое улучшенное приближение. Оно имеет вид(14), где координаты 1 определяются формулами (22), а уравнения для u1a u1    выглядят так: u1 u1 X1  X1t a1a13cos 4  t  1   cos 2  t  1  283  1  a12 a11sin2tsin4t 1 8 1    24Интегрируя по t правые части, получаем:a13asin 4  t  1   1 sin 2  t  1  u1a  324u    22a11 a  1 cos 4  t  1   1  1  cos 2  t  1  44  32(23)Второе приближение вычисляется, исходя из системы (15).

В связи стем, что выкладки получаются довольно громоздкими, выпишем сразуполучающиеся уравнения для определения a2 и  2 :2aa22 a 2    1 24 24    2  1  a2  7a2  2256 8 8Второеa2  t   a2   u1a ,приближение,(24)согласно(16),имеетвид2  t   2   u1 , где a2 и  2 определяются системой(24), а компоненты u1 указаны в (23).Уравнение для a2 в (24) не изменилось по сравнению с первымприближением, поэтому с течением времени и a2  2 . При этом69уравнение для  2 принимает вид:  2  1 21 .

Отсюда,  2    2t  0 .1616Получаем стационарное решение:a2стац  t   2  sin 2 t  0   sin 4 t   0 242  стац 2  t    0  t   cos 2 t   0   cos 4 t   0 16  48где   1 216(25).Подставляяформулы(25)ввыражениеy стац  t   a стац  t  cos  t   стац  и удерживая слагаемые порядка  ,получаем второе приближение стационарного колебательного решенияуравнения Ван-дер-Поля:y  t  yt стац  2    2  t   2cos  1   t  0   sin 3 1   t  0   16  4  16 На фазовой плоскости аттрактор представляетсобой окружность с центром в нуле и радиусом,равным 2, «помятую» на величину ~  .Таким образом, уточняется вид аттрактора.70§3.

Метод ВКБ (Венцеля, Крамерса и Бриллюэна)Пустьуравнениятребуетсянайтифундаментальнуюсистемуd 2 y  x2Qx y  x  0dx 2решений2(1)на отрезке a  x  b , при этом  - некоторое малое число, а Q  x   0 заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Такиеуравнения возникают, например, в квантовой механике, когда требуетсярешить уравнение Шредингера, при условии что E  U  x  :d 2  x   E  U  x    x   02m dx 22Решение вырожденного уравнения (1) (при   0 ) тождественноравно нулю. Поэтому, прежде всего, нужно так преобразовать (1), чтобыможно было выделить основную часть решения, вокруг которой строятсядополнительные асимптотически малые добавки. Для этого в уравнении(1) сделаем замену искомой функции:y  x   xQ x(2)Тогдаy xx  xxQ x QxQ 3/2Qxx2Q 3/23Qx2Q 5/2 .(3)Теперь сделаем замену аргумента:t1x aQ   d(4)71При этом:2Q Q x  t xx  tt    t xиQ(5)Подставляя формулы (2) – (5) в уравнение (1), преобразуем его к виду:tt  1   2 P  x    0(6)где переменные x и t связаны соотношением (4), а P  x  - представляетсобой известную непрерывную функцию:QxxQx2P x 3 42Q3QВырожденным решением уравнения (6) (при условии, что   0 )будет функция   t   A sin t  B cos t .

Сравним   t  и   t  такие, что  a     a  ,  a    a Рассмотримразностьr t    t    t  .(7)Подставляяr t вуравнение (6), с учетом граничных условий (7), получим следующуюзадачу Коши:2rtt  r   P  r   r  0   r   0   0Ее решение дается формулой:r t   t2 r   sin t    P   d  F t (8)0где F  t   t2    sin  t    P   d072Обозначимsup P  x   P0 ,sup  P  C1 ,a  x b(b  a ) sup Q  C2 ,a  x ba  x bsup r  x   r0 .a  x bИз формулы (4) следует t C2. С учетом этого, из (8) получаемr (t )   2tr0 P0   2tC1   r0 P0C2  C1C2 .

Эта оценка выполнена длялюбогоr0 r (t ) ,следовательно,идляr0 .Получаем,чтоC1C2 O(  ) .1   P0C2Таким образом, с точностью до членов порядка  фундаментальнаясистема решений уравнения (1) будет выглядеть так:1 x1 xA sin   Q   d   B cos   Q   d   O    a ay  x Q xДействуя аналогичным образом, можно получить, что для уравнения 2xx  x   Q2  x   x   0фундаментальная система решений будет иметь вид1 x 1 xA exp   Q   d   B exp   Q   d   O    a a  x Q x73Глава 4.

Некоторые новые объекты математического моделирования§1. Вейвлет-анализ.Рассмотрим пример,изкоторойпонятносодержаниеисмыслвейвлет-анализа. С начала17 века по настоящеевремя астрономы ведутнаблюдения за изменениемсолнечнойактивности,изучая пятна на солнце,порожденными выбросами плазмы.Рис. 1Обозначим среднегодовое количество пятен как f (t ) .

Характер этойфункции изображен на рисунке. Солнечная активность меняется, спериодом примерно в 11 лет. Но это изменение не является строгопериодичным.Возникает вопрос – имеются ли колебания других периодов?Наиболее простой путь поиска ответа на поставленный вопрос – этоприменить разложение в спектр Фурье:t2F     f  t  ei t dt(1)t1где t1 начало наблюдений -1610 год, когда Галилей направил на Солнцесвою подзорную трубу, а t2 настоящее время. Однако такой путь имеетсущественные недостатки. Первый из них состоит в том, что разложение(1) может давать искаженные результаты. Как известно, преобразованиеФурье будет строгим, если брать интеграл по всей действительной прямой:F   i t f  t  e dt74В связи с отсутствием данных приходится брать интеграл по отрезку( t1 , t2 ), а не по всей числовой прямой, что эквивалентно внесениюискажениявf (t ) .ПосколькупреобразованиеФурьеявляетсянекорректной задачей, то это может приводить к большим погрешностям вопределении F   , в том числе к появлению лишних пиков, не имеющихпод собой физического содержания.Второй недостаток состоит в том, что функция F   характеризуетспектральный состав сразу за весь период наблюдения, как бы в среднем, ана рис.1 видно, что интенсивность колебаний f (t ) менялась от века квеку.

Представляет интерес вопрос о том, как меняются частотныехарактеристики с течением времени.В 1980 году Морле предложил следующее преобразование:t2F , t0    f  t  , t0 , t  dt(2)t1которое стало называться вейвлет-преобразованием. Морле использовал2i t t a t tядро  , t0 , t   e  0 e  0  . Функция   , t0 , t  представляет собойволновой пакет с огибающей e a t t0 2, которая убывает при отклонении tот t0 . Поэтому функция F  , t0  дает представление о частотныхсоставляющих функции f (t ) в окрестности t0 .

Кроме того, отсутствиеинформации об f (t ) при t   t1 , t2  несказываетсянаF  , t0  , придалекихотконцовинтегрирования.t0интервалаНа рисунке приведен примерныйвидполучаемогорезультата.Затемнениеопределяетвеличину75F  , t0  . Видно, что кроме периода в 11 лет в солнечной активностиприсутствуют и другие периоды, самый существенный из них порядка 100лет. Амплитуда спектральных характеристик меняется.

Например, заметнопадение, приходящееся на минимум Маундера.Сильной стороной преобразования Фурье является простота егообратного преобразования. Можно показать, что для вейвлетпреобразования также существует обратное, если  , t0 , t  dt  0(3)У Морле условие (3) строго невыполняется, но при малых значенияхкоэффициента a выполняется приближенно.Условие (3) строго выполняется, например,для следующей функции, прозванной заформу графика «мексиканской шляпой»:   , t0 , t   1    t  t 0  e2222 t t0 2При выполнении (3) обратное преобразование существует, но вид егодостаточно сложный.

Пусть     (t  t0 )  и известна функцияW   , t0  1 f t   (t  t )  dt .* 0Тогда обратное преобразованиеимеет вид:15/ 2f  t        (t  t0 )  W  , t0  dt0  dc 0где c   dt , а        t  eit dt .76Таким образом, достоинством рассматриваемого подхода являетсяименно прямое вейвлет-преобразование, дающее большую информацию оспектральных характеристиках, чем преобразование Фурье. В то же время,корректность преобразования (2) позволяет использовать функциюF  , t0  для получения дополнительной информации. Рассмотрим это наследующем примере.Для центральной Англии имеются данные наблюденийсреднегодовой температуры, начиная с 1659 года.

Они имеют примернотакой же вид, какой изображен на рисунке 1.Подвергнув имеющуюся зависимость вейвлет-преобразованию былаполучена функция F  , t0  . Длявейвлет-преобразованияаналогом Фурье-образабудетt2функция:A     F  , t0  dt0 .t1В рассматриваемом примере онаимеет вид, показанный нарисунке. Обнуляя функцию A   левее пунктира на рисунке (отсекая темсамым колебания высокой частоты - порядка 10 лет) и совершая обратноепреобразованиедляоставшейсячастифункцииA   , получаемпредставления о медленных изменениях климата.Былополучено,чтопотепление началось до началаинтенсивнойиндустриальнойдеятельности человечества, азначит оно не связано сзагрязнениемокружающейсреды.77§2. Фракталы.Фракталы – это структуры, состоящие из частей, которые в каком-тосмысле подобны целому.

Еще в 1883 г. Георг Кантор описал множество,которое теперь называют множеством Кантора или пылью Кантора.Рассмотрим отрезок единичной длины. Разделим его на три части иудалим из него открытую среднюю часть, оставив ее концевые точки.Получим два отрезка длиной по 1/3 каждый. Вырежем среднюю треть изкаждого отрезка и будем повторять эту процедуру с вновь полученнымиотрезками до бесконечности.Этапы построения множества КантораПолученное в бесконечном пределе множество называютмножеством Кантора. Оно обладает рядом необычных свойств. Этомножество имеет мощность континуума, в то время как его мера равнанулю. Каждый из фрагментов множества Кантора выглядит, как всемножество в целом.

Говорят, что такое множество самоподобно.В 1886 г. Карл Вейерштрасс построил непрерывную функцию, неимеющую производной ни в одной точке: y  x    An cos B n xn 0где0  A  1 , а произведение AB достаточно велико. График этой функции –бесконечно изломанная линия. При увеличении любой участок этойкривой выглядит подобно всей кривой. Можно построить множестворазнообразных функций, подобных функции Вейерштрасса.В 1904 г.

Характеристики

Список файлов книги