Часть 2 (1133435), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Обозначим, какu N функции видаNu N   ckk(6)k 1Их совокупность образует множество U N . Значение функционалаJ u N зависитотвыборакоэффициентовck .ТакимобразомJ uN     c1 ,..., cN  .Обозначим точное решение задачи (4) как u , а минимальноезначениефункционалаmin J u   J u    .МинимумuUJ u N намножестве U N обозначим как  N , а функцию, на которой этот минимумдостигается,какuN .(  N  J uN   min J u N  ).Поскольку,UN38U N U N 1 U , то    N 1   N . Нужно выяснить вопрос: сходится ли?uN  u ?N k  такова, что для   0J uN   J u    .

Тогда  N   иN Лемма. Пусть система функцийсуществуют N ( ) и u N такие, чтоuN  u 0 .N Доказательство. В соответствие с условиями леммы можно выбрать , по нему N ( ) и u N так, что  J uN   J u   J uN   J u   N   . Следовательно, при N  N ( )справедливо 0   N     .Далее,согласно(5)имеем: N    J u N   J u  ( L N , N )    N , где  N  uN  u .2Следовательно,  NВыбрав2N    .последовательностьположительныхn  0исоответствующую последовательность возрастающих N, получаем, чтоuN  u 0 .N Утверждение доказано.В условиях леммы фигурирует функция u , которая заранее намнеизвестна. Рассмотрим, при каких достаточных условиях будутвыполнены условия леммы. Используя (5) и неравенство Коши –Буняковского, имеем:J uN   J u   ( L ,  )  L   , где   uN  u . Получаем, что длявыполнения условий леммы достаточно, чтобыL 0 .

ПоэтомуN достаточные условия можно выбрать в следующей форме:39система функцийk любого   0 существуюттакова, что для любой функции u U иN ( ) и u N такие, чтоL(u  uN )   ,u  uN  1.В случае примера (2) достаточно, чтобы k  была такова, что любоеu U может быть приближено соответствующим u N одновременно спроизводной: u  uN   и u  uN   . ТогдаJ u N   J u   ( A ,  ) 22  k ( )  q  dV   max k  max q  DD D2 2  CАлгоритм поиска u N .Согласно (3) и (6):J u N   2  f , u N    Lu N , u N  N N  N2  f ,  ckk    L( ckk ),  ckk     c1 ,..., cN k 1 k 1  k 1(7)Для поиска минимума функции  решаем систему уравнений:0ck(k  1,..., N ) .Дифференцируя(7)поck ,имеем:2  f ,k    LuN ,k    Lk , uN   2  f  LuN ,k   0Для определения коэффициентов ck получаем систему уравнений: LuN  f ,k   0(k  1,..., N )(8)Заметим, что интеграл J u  в выражении (8) не фигурирует.

Можнонепосредственно искать приближенное решение задачи (1) в форме (6). Вэтом случае для определения коэффициентов ck также получим уравнения(8). Это будет являться методом Ритца в дифференциальной форме. Мы40вводили интеграл J u  и рассматривали интегральные соотношения длядоказательства сходимости u N к точному решению.Исследуемуравнения(8).самосопряженность оператора L,Этиможноуравнения,используяпредставить в виде N  ckk , Lm    f ,m  .

Отсюда получаем систему уравнений k 1Nk 1c  m(m  1,..., N )k ,m k(9)где  k ,m  (k , Lm ) , m  (m , f )(10)Докажем единственность решения системы (9). Для этого, как известно,нужно доказать, что однородная системаNk 1k ,mck  0(11)имеет только тривиальное решение. Умножим (11) на c m и просуммируемпо m. Имеем:NNNNNm 1k 1k 1m 1k 10   c m  k ,m c k   c k  c m (m , Lk )   c k (u N , Lk ) Nck 1k(k , Lu N )  (u N , Lu N )Используемзнакоопределенность20  (u N , Lu N )   u N .СледовательнооператораuN  0,L.чтоИмеем:доказываетединственность решения (9).Итак,задачапоискаuNсводитсякрешениюлинейнойалгебраической системы уравнений (9), имеющей единственное решение.41Для примера (2) коэффициенты n ,m     k  n  m  q n m  dV , аD n   n fdVDРассмотренный метод Ритца относится к так называемымпроекционным методам.

Соотношению (8) можно придать следующийгеометрический смысл. В качестве приближенного решения задачи (1)ищется функцияuNтакая, что проекция вектора( LuN  f ) на«плоскость», образованную векторами (1 ,..., N ) , равна нулю.§2. Проекционные методыКратко, на уровне знакомства с терминологией, укажем некоторыепроекционные методы решения задачи (1) §1.Метод Галеркина.Так называется метод нахождения приближенного решения задачи(1)§1 в случае, когда оператор L не является самосопряженным изнакоопределенным. Алгоритм аналогичен методу Ритца. ПриближенноеNрешение ищется в виде разложения по базисным функциям u N   ckk ,k 1гдекоэффициентыопределяютсяизсистемы LuN  f ,k   0 ,(k  1,..., N ) .Метод наименьших квадратов.Если в задаче (1)§1 малые изменения функции f приводят к малымизменениям решения u, то есть обратный оператор L1 ограничен, торешение задачи можно искать из условия минимизации функционаланевязки:L u   f242NИщем приближенное решение задачи в виде u N   ckk .

Условиеk 1минимумаL uN   fcm2N  N N L ck k , L ck k   2  L ck k , fcm   k 1k 1 k 1(f,f) N 2  L ck k  f , L m   0 k 1Приводит к следующей системой уравнений для определениякоэффициентов ck : LuN , Lk    f , Lk (k  1,..., N )Метод моментовМетод Галеркина для интегральных уравнений называют методоммоментов.Пустьданоинтегральноеуравнениеby  x     K  x, s  y  s  ds  f  x aЕго приближенное решение ищут в виде разложения по некоторойбазисной системе функций k  , т.е.NyN  x     ckk  f  x k 1Подставляя указанный вид решения в уравнение, получаем: N  ckk  x     K  x, s     ckk  s   f  s   dsk 1 k 1aNbСкалярно умножая последнее уравнение на  m , приходим к линейнойсистеме алгебраических уравнений:43Nk 1c  mk ,m kbb baa aгде  n ,m    n  x  m  x  dx     K  x, s  n  s  m  x  dxds , аb m   K  x, s m  x  f  s  ds .aЕсли система k  - ортонормированная, то данный метод эквивалентенNзамене ядра K  x, s  на вырожденное: K  x, s   k  x k  s  , гдеk 1bk  s    K  x, s k  x  dx .

При этом значения cm определяются изaNсистемы уравнений:cm   k ,mck   m ,k 1bbгде  k ,m  k ( x)m  x  dx , а  m  m ( s) f  s  ds .aaОбобщенный метод моментовМетод Галеркина имеет разновидности и обобщения. В качестветакого можно упомянуть обобщенный метод моментов.Если существует оператор B, такой что оператор L представим в видеL  L1  L2 , где ( L1u, Bu )   1 u , ( L2u, Bu )   2 Bu , то решение ищут в22виде (6), где коэффициенты ck определяются из системы уравнений LuN  f , Bk   0(k  1,..., N )§3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,основанные на вариационных принципах.

Метод конечных элементов.В последние годы происходит поиск новых методов построенияразностных уравнений на основе вариационных принципов. Одной изцентральных при этом является идея использования в качестве базисныхфункций - функций с конечным носителем, т.е.

таких, которые только в44сравнительно небольшой (порядка шага сетки) окрестности отличны отнуля, а вне этой окрестности равны нулю. Решение задачи ищутся в виделинейной комбинации функций с конечным носителем (конечнымэлементов) при неизвестных коэффициентах, которые выбираются наоснове минимума того или иного функционала, связанного свариационным принципом. Такие алгоритмы называются вариационноразностными, проекционно-сеточными или методом конечных элементов.Рассмотрим способ построения консервативной разностной схемы,использующий метод конечных элементов, для краевой задачи: u px  q  xu  f  x  x x u 0  0  u 1  00  x  1(1)где p  x   p0  0 и q  x   0 .Согласно результатам §1 эта задача эквивалентна задаче: J u   minu  0   0 , u 1  0(2)  u 22где J u     p    qu  2 fu  dx0  x 1Будем решать последнюю задачу, используя метод конечных1hразностей.

Вводим равномерную сетку wh   xi  hi, i  0,1,..., N   .hАппроксимируем функцию u  x  непрерывной ломаной линией u  x  ,линейной на каждом отрезке xk  x  xk 1 :45uh  x гдеxk 1  xx  xkvk vk 1hhнекоторые,vk -(3)подлежащиеследующие обозначения:w1k  x  определениюзначения.Введемx  xkx x, w2 k  x   k 1.Тогдаhhhформула (3) перепишется в виде: u  x   w2 k ( x )vk  w1k ( x )vk 1 . При этомhсеточная функция u  x  на всем отрезке 0  x  1 представима в видесуммы:Nu h  x    vkkh  x (4)k 0где функции ih x  определяются следующим образом: x  xk 1 h , x   xk 1 , xk  xk 1  x , x   x , x kh  x   kk 1h0, x   xk 1 , xk 1 k  1,2,..., N  1 x1  x, x  0, x1  0h  x    h0,x  0, x1 1  x, x   xN 1 ,1 Nh  x    h0,x   xN 1 ,1Теперь подставим полученную аппроксимацию (4) функции u  x  вфункционал J u  :  u h 2h 2hJ u     p   q  u   2 fu  dxx0 1h46w1k  x  1w2 k  x 1и  , меняя суммированиеxhxhУчитывая, чтои интегрирование местами, получим:xk 1vk21  2vk 1vk  vk2J u      pdx 2hk 0  xkN 1hxk 1xk q  w12k vk21  2w1k w2 k vk 1vk  w22k vk2   2 f  w1k vk 1  w2k vk  dx  Условием минимума этого функционала является следующая системаравенств:J u h vk 0 для k  1,2,..., N  1 .Учитывая вид функций w1k и w2k , приходим к системе уравненийдля определения vk : Ak vk 1  Bk vk  Ck vk 1   Fkv0  vN  0гдеFk Ak  p1k2xk q1,2 1 ,k2fw1k dx xk 1(5) q1,2 1 ,k2Bk  p1k2Ck  p1k2p1k2 q1,2 1k2 q1,2 1 ,k2xk 1fw2 k dxxkПри этом pk121 2hxk 1 p  x  dx , а qxki , j k12xk 1wi ,kw j ,k qdx , где i, j  1,2 .xkЗадача (5) может быть решена методом прогонки.

Определив vk , изh(4) получаем приближенное решение u  x  задачи (1).47Решение искалось в виде непрерывной кусочно-линейной функции,обеспечивающей аппроксимацию точного решения. Вариационный методпостроения разностного уравнения можно использовать для полученияприближенного решения любого порядка точности.

Характеристики

Список файлов книги