Часть 2 (1133435), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В результате, для описания процесса распространениятепла мы получаем квазилинейное уравнение теплопроводности:c u u  u   k u    ft x x ,где c  u  и k  u   0 . Это уравнениеuзаменой v   c  u  du сводится к уравнению0u  u   k u    ft x x Дляквазилинейных(1)уравненийнецелесообразно, если функцияиспользованиеявныхсхемk  u  является быстроменяющейся28(например,степенной).Вэтомслучаеусловиеустойчивостиh2требует очень мелкого шага по времени.

(Кроме того, в2max k  u неоднородной среде функции k и c могут зависеть от пространственныхпеременных и быть разрывными). Поэтому желательно применениенеявных схем. В случае нелинейных уравнений для этого приходитсяиспользовать итерационные методы.Рассмотрим неявную схему для решения квазилинейного уравнениятеплопроводности (1):v m  vm   1 a v v m1  v m  am v v m  v m1   f m2  m1h Здесь v - это значение сеточной функции на s -м временном слое, v - vi 1  vi . 2 на  s  1 -ом, а ai  v   k Приведенная разностная схема является нелинейной, поэтомунепосредственное использование метода прогонки невозможно.

Для того,чтобы в этой ситуации применить прогонку используют итерационныйметод. Он заключается в том, что переход с s -го на  s  1 -ый временнойслой совершается путем нескольких повторений расчета, при каждом изкоторых значения am  y  фиксируются («замораживаются»), на основерезультатов предыдущей итерации. С помощью такого приема при каждойитерации разностное уравнение становиться линейным. 0В качестве нулевого приближения vна  s  1 -ом временном слоеобычно берут v - значение сеточной функции на s -м слое.

Первое1приближение vопределяют, решая линейное уравнение:291vm vm1 1 1 11  2  am1  v   v m1  v m   am  v   v m  v m1    f mh  k Последующие приближения vk vm vmk  2,3,..находят из уравнений:k  k  k 1  k  k 1  k 1  2  am1  vvvavvvm1mmm1 m  fmh  Решение получившегося уравнения для каждой итерации находятметодом прогонки.

Условием окончания итерационного процесса служитусловие малости изменения нормыv k 1vk  k 1 max v m0m Nk  vm  Можно также задавать фиксированное число итераций. Обычно ужедве-три итерации заметно повышают точность по сравнению с первымприближением. Итерационные методы для обеспечения заданной точностипозволяют использовать более крупный шаг по времени по сравнению сбезитерационными схемами, что зачастую приводит к значительномууменьшению объема вычислительной работы.§7. Разностные схемы для решения уравнение переноса.Рассмотрим следующую задачу:u uc f txu x0    t u t 0    x (1)Как и раньше, введем равномерную сетку30wh  xm  hm; m  0,1,...w  tn   n; n  0,1,...wx  wx  wДля данной задачи можно написать несколько различныхразностных схем, которые называются схемами бегущего счета.Рассмотрим следующие 4 аппроксимации верхнего уравнения системы (1)и соответствующие шаблоны:vm, n1  vm, nvm,n1  vm,nvm,n1  vm,nc f m, n ,(2)vm1,n1  vm,n1 f m,n1 ,h(3)cvm,n1  vm1,n1 f m,n1 ,h(4)vm,n1  vm,nhcvm1,n1  vm1,nvm, n  vm1, nvm1,n  vm ,nh(5)vm1,n1  vm ,n1c f m1,n  f m,n1hcВычисления по схемам бегущего счета очень простыалгоритмически.

Зная из условий задачи (1) значения разностной функциина нулевом по времени слое и в левой точке на первом слое,последовательно слева направо определяем значения на всем первом слое.Затем повторяем операцию на следующем временном слое и т.д.31Можно показать, что точность аппроксимации разностных схем (2)(4) – первого порядка, (5) - второго порядка точности.Схемы (2) и (3) являются условно устойчивыми, а схемы (4) и (5)абсолютно устойчивыми. Получим условия устойчивости для схемы (2),рассматривая для простоты задачу на бесконечном участке по x .Вначале спектральным методом исследуем необходимые условияустойчивости схемы (2). Для этого рассмотрим разностную задачу соднородным уравнением:vm,n  vm1,n vm,n1  vm,nc0hi m vm,0  en i mИщем ее решение в виде: vm,n   e. Подставляем такой видрешения в разностное уравнение и сокращаем на vm ,n . Получаем:  1 1  eic 0.hмодуль  , получаем:  1 42Иначе,c  c sin 2 1  h2hЛегко видеть, что приа при 0   1c1  cos   i sin   .

Вычисляяh(6)c 1 и sin 2  0 правая часть (6) больше 1,h2c 1 меньше 1. Схема (2) будет устойчивой, если   1 приhлюбом  . Значит, необходимым условием устойчивости является условиеc 1.hТеперь проверим, что полученное необходимое условие насоотношение шагов  и h является также и достаточным для устойчивости32схемы. Итак, пустьc 1 . По-другому записав разностное уравнение,hимеем задачу: cv m,n1 1 hv  m m,0cvvm1,n   f m,n m ,nhМажорантно оценим левую часть уравнения, учитывая, что c1 h  0 .

Получаем: cvm , n 1   1 h vn   fcc c vm 1, n   f m , n   1   vn vn   f  vm , n hh hгде,ранее,какиf  max f m , n ,m, nаvn  max vm , n .mОтсюдаvn1  vn   f . Следовательно, vn  v0  n f    T f , где T величина интервала времени, на котором мы ищем решение. Эта оценка,по определению, означает устойчивость решения задачи по начальнымданным и правой части. Схема (2) является условно устойчивой.Аналогичные рассуждения для схемы (3) приводят к условиюустойчивостиc 1.hУсловия сходимости схем (2) и (3) называют условиями Куранта. 11  eiДля схемы (4): c 0 .

При этомh 1c  c1  4 1 hh 2 sin2 1, поэтому схема (4) безусловно устойчива.33Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счетаИмеется простой геометрический критерий, позволяющийустановить условия устойчивости той или иной схемы бегущего счета повиду шаблона. А именно, на каждом шаге вычисления по любой израссматриваемых схем, в одной из точек шаблона разностная функцияищется, а в остальных уже известна. Проведем характеристику уравнения(1) из точки, где решение ищется.

(Характеристикой является прямаяx  ct  const ). Если шаги  и h выбраны так, что эта характеристикапересекает отрезок соединяющий точки шаблона, в которых решениеизвестно, то схема будет устойчивой. Если же характеристика проходитмимо такого отрезка, то неустойчивой.На левом рис. А показан случай, когда схема (2) устойчива. Направом рис. А – когда неустойчива. Светлым маркером помечена точкашаблона, в которой решение ищется, темными – где известно, пунктиром –характеристика.Рис.

АНа рис. Б то же самое для схемы (3).Рис.БДля схем (4) и (5) характеристика всегда пересекает отрезок,соединяющий точки, в которых решение известно. На рисунках В и Г этототрезок изображен точками.34Рис. ВРис. ГКак говорилось выше, четырехточечная схема (5) имеет болеевысокий порядок аппроксимации, чем трехточечные, и безусловноустойчивая. Однако она имеет недостаток, по сравнению с трехточечными,- она не является монотонной.Разностная схема называется монотонной, если она обладаетследующим свойством:из того, что разностная функция vm , n на n-ном временном слое монотонноменяется с изменением номера m, следует, что она будет также монотонноменяться и на (n+1) –ом слое.Можно показать, что линейная монотонная разностная схема дляуравнения переноса не может иметь второй или более высокий порядокточности.В качестве иллюстрации сказанного, рассмотрим задачу: u u0( x  0, t  0) txu  0 , u  1t 0 x 0(7)Ниже на первом рисунке показано точное решение этой задачи нанекоторый момент времени, на втором - получаемое с помощьюмонотонной схемы (4), на третьем - с помощью немонотонной схемы (5).35Точное решение задачи (7)Решение задачи (7), полученное по схеме (4)Решение задачи (7), полученное по схеме (5)При быстропеременных решениях обычно используют схемыпервого порядка точности.36II.

Вариационные и проекционные методы решения краевых задач.§1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной. Метод РитцаЧасто решения дифференциальной задачи может быть сведено квариационной. Рассмотрим в области D задачу Lu  fu   0(1)Пусть L:а) Линейный самосопряженный оператор, т.е. ( Lu, v)  (u, Lv) длялюбых u   v   0 .б) Отрицательно определенный оператор, т.е. для любого uвыполнено: ( Lu, u )   u , где   const  02В качестве примерадифференциальный оператор:такогооператораAu  div  k gradu   quможетслужить(2)где k  0 и q  0 .

Действительно, легко проверить, что в этом случае( Au, u )   k 2u  qu 2  dV  min q  uDD2Рассмотрим следующий функционал:J u   2  f , u    Lu, u (3)Для этого функционала рассмотрим следующую вариационнуюзадачу: J u   minu   0(4)Имеем37J u   u   J u   2( f ,  u )  ( Lu,  u )  ( L u , u )  ( L u,  u )  2  f  Lu,  u   ( L u,  u )(5)Вариация функционала, то есть линейная часть приращения, равнанулю при Lu  f  0 . Следовательно, экстремаль функционала в задаче (4)является решением задачи (1).

На этой экстремали достигается сильныйминимум, поскольку ( L u,  u )    u .2Наоборот, пусть u решение задачи (1). Тогда соотношение (5)показывает, чтоJ u   u   J u   ( L u, u )  0длялюбой(u   u) .функцииСледовательно, решение задачи (1) является решением и задачи (4).Обратимся к изложению метода Ритца. Пусть функционал J u  ,заданный выражением (3), определен на множестве u U . Выберемнекоторую систему линейно-независимых функцийn  ,таких, чтоn U . Фиксируем произвольное натуральное число N.

Характеристики

Список файлов книги