Часть 2 (1133435), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Точка xn1 будет точкой разбиения, ближайшейсправа к x  1/ 2 .Выберем разностную схему с аппроксимацией уравнения (4) порядкаO  h2  :kmvm1  2vm  vm1 km1  km1 vm1  vm10h22h2hПерепишем последнее уравнение в виде:111 1kkkv2kvkkkm1  vm1  0m1  m1mmm1m m1 m444 4(5)Будем искать численное решение уравнения (5) в виде кусочнолинейной функции:11ax,при0xmm2v  xm   b 1  x  , при 1  x  1mm2(6)По физическому смыслу решение должно быть непрерывным, т.е.limvnh 0 1  a / 2  limvn 1  b 1  1/ 2  .

Отсюдаh 0ab  2(7)Рассмотрим уравнение (5) для m=n и m=n+1. Используя равенстваvn 1  vn  ah и vn 2  vn 1  bh , следующие из (6), получаем:1813 vn  ah   2vn  vn1  02257vn  6vn1   vn1  bh   022Приводя подобные слагаемые, имеем:3vn1  3vn  ah  0aОтсюда:5vn1  5vn  7bh  021b5С учетом формулы (7) находим коэффициентыa215и b1313Следовательно, vТакимx 0.5(8) lim vn1 образом,h055 11  0.5    u  0.5 .1326 4решениеu  x  дифференциальной задачи,выражаемоеформулой(3),отличается от численного решенияv  x   lim v h  xm  .h0Причинойрасхождениячисленногоианалитического решений являетсяиспользование неконсервативнойразностной схемы, т.е.

схемы, которая не отражает законы сохранения. Аименно, в дифференциальной задаче имеет место закон сохранениятеплового потока W  k ( x )du const . При составлении разностнойdxсхемы мы не обратили на это внимание. Схема построена так, что в точкеx  1/ 2имеетместоразрывразностногоаналогапотокатеплаvvWm  km m 1 m . Из (6) и (8) следует, что Wm  a  21/ 13 приhx  1/ 2 и Wm  3b  15 / 13 при x  1/ 2 .19Метод баланса при составлении разностных схем для уравнениятеплопроводности.Проиллюстрируем метод баланса (или интегро-интерполяционныйметод) на примере решения уравненияu  u   k  x    f ( x, t )t x x (9)в случае, когда k и f являются быстроменяющимися или разрывными внекоторых точках функциями.Как и раньше значения сеточной функции на s -ом временном слое вузлах сетки xm будем обозначать, как vm , а на ( s  1) -ом слое, как v m .Крометого,введемпромежуточныеточкиxm0.5  h  xm0.5  h  m  0.5 и будем разностные аналоги потокатепла Wm0.5 рассматривать в этих точках .Напишем уравнение баланса тепла на отрезкеПоток тепла W равен: W  kотрезке  xm1; xm  , имеем:um1  um xmxm1 xm0.5; xm0.5  .uuW.

Интегрируя равенствонаxkxWdxk(10)Уравнение (9) можно представить в виде:Wu f ( x, t )  .xtИнтегрируя последнее выражение, получаем:xm  0.5Wm0.5  Wm0.5 xm  0.5u  f   dxt (11)20uи W непрерывны и мало изменяются на маломtинтервале  xm1; xm  . Поэтому, для получения приближенных значенийФункцииинтегралов,uи W можем выносить из под интегралов (10) и (11) вtсредней точке участка интегрирования. Получаем аппроксимации:v m1  v m  Wm0.5xm 1xmudx, Wm0.5  Wm0.5  htkxm  0.5x  xmf dxxm  0.5Используя эти соотношения, полагаемWm0.5   am0.5 v m1  v m,hгдеam0.5 hxm1xm1Wm0.5  Wm0.5v m  vm Fm , где Fm hhdxkxm  0.5f dxxm  0.5Исключая из полученных соотношений W, приходим к разностномууравнению:v m  vm1vvv v  am0.5 m1 m  am0.5 m m1   Fmh hh(12)21Коэффициенты am0.5 и Fm вычисляются по заданным в уравнении(1) функциям k (u ) и f ( x, t ) . В случае, когда k и f непрерывны,вычисление интегралов, определяющих am0.5 и Fm можно заменитьразностной аппроксимацией.

Например,1hxm1xmdx1k  x  km0.51hилиxm1xmdx1 11  k  x  2  km1 km Схема (12) является консервативной, поскольку при ее написанииучитывались законы сохранения (10) и (11) для каждой элементарнойячейки разностной сетки. Схема (12) неявная, следовательно абсолютноустойчивая и имеет порядок аппроксимации O   h2 .Консервативная разностная схема для решения задачи (1), (2).Вернемся к рассмотренному выше примеру. В соответствие с (12),консервативная разностная схема для уравнения (1) при условии (2) будетиметь вид:am0.5  m1  m   am0.5  m  m1   0 , гдеNk1,mn123 2k kam0.5   1 2  , m  n  1 k1  k2 2k2  3,m  n 1По-прежнему ищем vm решение в форме (6).

Для m=n и m=n+1получаем:m  n:32 un1  un    un  un1 22m  n  1:3 un  un1   3 un1  un2 2С учетом (6) получаем систему:3hahab22 3  a  b  h  3bh 22Решая данную систему, находим, что a  3b .Отсюда, с учетом (7) находим: a  3/ 2 и b  1/ 2 . Следовательно,v lim vn1 x 0.5h0111  0.5   u  0.5 . Численное решение совпадает с24точным решением дифференциальной задачи во всех узлах сетки.§5.Экономичные разностные схемы.Экономичной разностной схемой называется схема, которая, вопервых, является безусловно устойчивой; во-вторых, требует при расчетахчисло операций, пропорционального числу узлов сетки. Создание ииспользование таких схем важно в многомерных задачах, требующихбольшого объема вычислений.В основе построения экономичных разностных схем лежит идеясведения многомерной задачи к цепочке одномерных.

Одной из первыхэкономичных схем является построенная в 1955 году схема переменныхнаправлений (продольно-поперечная схема).Схема переменных направленийРассмотрим начально-краевую задачу:23 u  22 t  x 2 u  y 2 u  f  x, y, t u  x, y,0   u  x, y 0u  x, y, t     x, y, t  ,  x, y  0  x  lx ; 0  y  l y ; 0  t  T(1)Введем трехмерную сетку: по двум пространственным координатами по времени.xm  hx m ;m  0,1, ..., N x ;hx N x  lxyn  hy n ;n  0,1, ..., N y ;hy N y  l yts   s;s  0,1..., Nt ; Nt  TКрометого,введемпромежуточныеслойповремени:t s1/ 2   ( s  1/ 2) . Значения сеточной функции на s-том временном слоеобозначаем как vm, n ; на (s+1)-ом слое как v m, n ; на слое (s+1/2) как0.5vm,n.Замениманалогами.дифференциальныеоператорыконечно-разностными22u  2 u  2 u   x v   y v ,xyгде xv vm1, n  2vm, n  vm1, nhx 2, yv vm, n1  2vm, n  vm, n1hy 2В схеме переменных направлений переход со слоя на слойосуществляется в 2 шага, используя промежуточный (дробный) слой.24 v 0.5  v0.5  2   xv   yv  f0.5 v  v   v   v 0.5  fxy  2(2)Первое уравнение в системе (2) является явным по направлению x , инеявным – по направлению y , а второе уравнение – наоборот.

Поэтому,каждое уравнение в отдельности может быть решено методом прогонки. Вэтом случае счет по схеме переменных направлений требует числаарифметических операций, пропорционального числу узлов сетки, т.е.O  N x N y Nt  , и на каждый узел сетки приходится число операций, независящее от числа узлов. Схема имеет точность аппроксимацииO  2  hx2  hy2  .Используя спектральный метод, исследуем устойчивость схемы (2).Рассмотрим переход с s -го на  s  1 -й временный слой для однородныхi mi nуравнений ( f  0 ). Пусть vm, n  e. Ищем решение на слое0.50.5(s+1/2), как vm, n  1vm, n , а на (s+1)-ом как v m, n   2vm, n   21vm, n .Подставляя решение в таком виде в уравнения (2), сокращая первое из них0.5на vm, n , а второе на vm, n , получаем: 1  1 ei  2  eiei  2  e  i 1 2 2hhy 2xi ii i 2  1   e  2  e  e  2  e2 2hx 2hy 2Отсюда251 21 1 2hx2hy2sin 2sin 21 222 и21 2hy2hx2sin 2sin 222Как легко проверить, каждое из чисел  1 и  2 по отдельности,при некоторых значениях частот и , и выборе некоторогосоотношения шагов  , hx , hy может быть больше 1.

В то же время,представляя произведения 1   2 в виде1 21  2 1 2hx2hx2sin 2sin221 221 2hy2hy2sin 2sin 222получаем, что всегда выполнено 1 2  1 . Схема безусловно устойчива.Мы проверили, что при любом соотношении шагов выполненонеобходимое условие устойчивости. На доказательстве того, чтовыполнено также и достаточное условие, мы останавливаться не будем.Схема переменных направлений является экономичной разностнойсхемой. Однако, ее нельзя обобщить на трехмерный случай. В трехмерномслучае схема, построенная по тому же принципу, что (2), будет неявнойтолько по одному направлению и явной уже по двум. В результате она небудет устойчивой.Локально-одномерная схема.Рассмотрим уравнениеu u  ft(3)26вслучаетрехпространственныхпеременных.Дифференциальныйоператор u и соответствующий ему разностный оператор v можнопредставить в виде суммы операторов, каждый из которых включаетпроизводные, или, соответственно, разности лишь по однойпространственной переменной:3u   2ui 1 xi2,3v   i v(i  1,2,3) .i 1Идея локально-одномерной схемы вычисления заключается в том,что переход с s -го на  s  1 -й временный слой производится в три этапа,на каждом из которых учитывается лишь один из операторов i .

Пусть v это значение сеточной функции на s -м временном слое, v - на  s  1 -ом.Вводим еще два массива промежуточных значений v и v . Для уравнения(3) один из возможных вариантов схемы будет:vvvvvv 1 v  f 2 v(4) 3 vПолучена система разностных уравнений, каждое из которых неаппроксимирует исходное дифференциальное, но может быть легкорешено методом прогонки вдоль соответствующего направления.Суммируя уравнения (4), получаем:vv 1v   2 v   3 v  f27Можно показать, что это уравнение уже аппроксимирует (4) с222точностью O   hx  hy  hz . Говорят, что имеет место суммарнаяаппроксимация — результирующий оператор послойного переходаполучился аппроксимирующим.В схеме (4) уравнения для простоты составлены по чисто неявнойсхеме.

Для повышения точности аппроксимации можно использоватьсхему с весами, выбрав   0.5 . Возможны также другие способы учетаправой части f. Например, введение ее во все уравнения с весовымимножителями, которые подбираются из условий наилучшей суммарнойаппроксимации (минимизации ошибки аппроксимации на следующем слоепо времени).Приведенная выше схема является абсолютно устойчивой. Применяяпри вычислениях в (4) метод прогонки получаем, что число необходимыхопераций пропорционально числу узлов сетки. Тем самым локальноодномерная схема является экономичной.§6. Итерационные методы при решении нелинейных уравнений.При изучении высокотемпературных процессов необходимоучитывать зависимость коэффициентов теплоемкости и теплопроводностиот температуры.

Характеристики

Список файлов книги