Часть 2 (1133435), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

С этой цельюнеобходимо вместо простейших интерполяционных формул выбрать болееточные. Переход от дифференциальной задачи к вариационнойобеспечивает выполнение законов сохранения, что важно с точки зренияконсервативности получаемой разностной схемы.§4. Вариационный подход к решению задачи Штурма-Лиувилля.Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилляu  u  0u   0(1)в области G . Считаем, что u  M   C 2G   C 1 G  .Обозначим fg dv  ( f , g ) .GУмножая уравнение задачи (1) на u, интегрируя по области G иприменяя формулу Грина получаем:   (u, u)  (u, u)  (u, u) .Следовательно, для функционала I u  (u, u )будет выполнено:(u, u )если u - собственная функция задачи (1), а  - соответственноесобственное значение, то I u    .Рассмотрим теперь вариационную задачу: I u   minu   0(2)48Покажем, что если u  0 является решением задачи (2), то u собственная функция задачи (1), а   I u  является наименьшимсобственным значением задачи (1).Рассмотрим приращение функционалаI  u   u   I u   (u   u), (u   u )    u, u (u   u, u   u )(u, u )Линейная часть этого приращения, то есть вариация функционала, равнаI  2  u, u  (u, u)   u, u  (u, u)(u, u )2Используя равенствоI  2(u, u ) I u    , получаем(u, u )  u, u    (u, u) (u, u )2 u  u, u (u, u )Следовательно, экстремаль функционала I u  определяется уравнениемu  u  0 .

Кроме того, согласно (2), u   0 . Поскольку минимумфункционала достигается на экстремали, то решение задачи (2) являетсярешением задачи Штурма-Лиувилля. Таким образом, эквивалентностьзадач (1) и (2) доказана.Согласно сказанному выше, любое решение задачи (1) удовлетворяетравенству  I u  . Поэтому,  min I u    . Следовательно, является наименьшим собственным значением задачи (1).III. Асимптотические методы.§1.

Метод малого параметра.Малый параметр в задачах может возникать по разным причинам.Это может быть малый коэффициент или малое отношение каких товеличин. Как известно, многие физические задачи описываются49нелинейными уравнениями, аналитические решения которых могут бытьнайдено лишь в редких случаях. Однако часто в физике встречаютсязадачи с так называемой слабой нелинейностью. В таких задачахнелинейные члены малы по сравнению с линейной частью. Это отношениемалости можно рассматривать как малый параметр. Простейшимпримером является задача о свободных колебаниях математическогомаятника. Из курса механики известно, что точное уравнение,описывающее колебания, выглядит следующим образом: 2u k sin u  0t 2(1)Поскольку это уравнение аналитически не решается, то обычнорассматривают лишь случай предельно малых колебаний, при которых 2uполагают, что sinu  u . Тогда получаем: ku  0 .

Решение этогоt 2вырожденного уравнения хорошо известно. Если же нас интересует болееточное решение уравнения (1), то помимо первого члена надо удерживатьтакже следующий член разложения Тейлораu3sin u  u  . Получаем:3! 2uu3 ku  k . Представим u в виде: u  u0  t  , где u0 имеет смыслt 26амплитудыколебаний.u0 2 3 2 k  k .t 26ТогдаВеличинууравнениеu0 2,k6приобретаетхарактеризующуювид:малостьнелинейного слагаемого, можно взять за малый параметр  и искатьпоправки к гармоническому решению.Регулярный случай.Этот случай рассматривался в курсе дифференциальных уравнений.Кратко напомним некоторые полученные результаты.50Рассмотрим задачу: dy dt  f  y, t ,   y t 0  y 0(2)на интервале значений 0  t  T .

Пусть известно решение y вырожденнойзадачи:d y f y, t ,0 dt y  y0 t 0(3)Будем искать решение задачи (2) в виде ряда по степеням  :y  t   y0  t    y1  t    2 y2  t   ...(4)Подставим такой вид решения в правую часть уравнения (2), а затемфункцию f  y, t ,   также разложим по степеням  :fff  y0   y1   2 y2  ..., t ,    f  y0 , t ,0     y1    y  y  y0    y  y0  0  0222yfff  ...   y2   1 y1   y  y  y0 2  y 2  y  y0y   y  y0  0 0 0 2(5)Многоточие означает члены более высокого порядка малости по  .Подставляем (4) и (5) в уравнение задачи (2).

Приравниваем членыстоящие при одинаковой степени  .51При  в нулевой степени получаем: dy0 dt  f  y0 , t ,0  y0 t 0  y 0С точностью до обозначений получили задачу (3), решение которойпо предположению известно.Длянахожденияфункцийyi  t  ,гдеi  1,2,...получаемпоследовательность задач, каждая из которых представляет собой задачуКоши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Дляопределения yi  t  имеем: dyi f  y0 , t ,0 yi  Qi  y0 ,..., yi 1 , t ,  dtyy i t 0  0НеоднородностьQi  y0 ,..., yi1 , t ,  содержитфункцииyi  t  ,найденные ранее из соответствующих задач для y1 ,..., yi1 .В курсе дифференциальных уравнений было доказано, чтоy  t     i yi  t   O   n1 ni 0Таким образом, можно найти решение задачи (2) с необходимойстепенью точности.Случай сингулярного возмущения.К этому случаю относятся задачи, в которых малый параметр стоитмножителем при старшей производной. Рассмотрим следующую задачу:52 dy f  y, t dt y  y0 t 0(6)Особенностью такой задачи является то, что соответствующеевырожденноеf  y t  ,t   0уравнениеявляетсяалгебраическимуравнением.

Его решение в общем случае не удовлетворяет начальнымусловиям.Кроме того, уравнение f   t  , t   0 может иметь несколько корней- решений i  t  . Возникает вопрос, к какому из них стремится y  t  решение задачи (6) - при   0 ?Наприведенномрисунке изображен случай,когда корней i  t  - три. Вобласти между каждымидвумя из них функция fсохраняетзнак,а,следовательно,сохраняетзнакdy. Стрелками показанdtход интегральных кривых сростомt.Рассмотримобласть вокруг корня2  t  . Выше 2  t  интегральные кривыеопускаются – функция f отрицательна, а ниже кривые поднимаются –положительна. При переходе через корень 2  t  функция f меняет знак сположительного на отрицательный.

Интегральные кривые сходятся к томукорню,длякоторогоf n  t  , t   0 .Такоерешениеn  t вырожденного уравнения f   t  , t   0 является устойчивым.53Область влияния некоторого корня – эта область в пространствеt , y , в которой интегральные кривые направлены к этому корню.Имеет место теорема, утверждающая, что если i  t  являетсяустойчивым корнем вырожденного уравнения и начальное значение y 0 взадаче (7) находится в области влияния этого корня, то для любого t  0решение y  t  i  t  . 0В этой теореме речь идет о сходимостиy  t  к i  t  прификсированном t  0 .

Очевидно, равномерной сходимости нет, посколькудля любого   0 можно выбрать t  0 настолько малым, что разностьy  t   i (t )  y 0  i (0) . Существует пограничный слой (область значенийt вблизи нуля), где разность y  t   i (t ) быстро убывает, но являетсясущественной.Построение равномерной асимптотики.Для построения равномерной по t асимптотики в задаче (6) строятряд, содержащий регулярную и погранслойную части.y  t    y0  t    y1  t   ...  0    1    ...где  t(7).Правая часть уравнения (6) также представляют в виде регулярной ипогранслойной частей:f  F  t     (8)гдеF  t   f  y0  t    y1  t   ..., t 54    f  y0      y1     ...   0    1    ... ,  f  y0      y1     ... , Функции F  t  и    раскладывают в ряд Тейлора по степенямпараметра  :F  F0   F1 22   0  1 F2  ...22 2  ...(9)Подставляем (7) и (8) в виде (9) в уравнение (6).

Приравниваемслагаемые при одинаковых степенях  отдельно для регулярной частиразложения и для погранслойной части. Учитываем, что dd.dt dПолучаем:d i iddyi1 FidtПусть граничное условие в задаче (6) зависит от  :y  y   y   y 00000122y20  ...Тогда, приравняв слагаемые при  0 , имеем: f  y0  t  , t   0 d 0 f  y0  0    0   ,0   f  y0  0  ,0   f  y0  0    0   ,0 d 0  0   y00  y0  0 (10)При  1 получаем:55 dy0  t  dt  f y  y0  t  , t  y1  t  d 1 f y  y0  0    0   ,0  1    Q1  d 1  0   y10  y1  0 (11)где Q1   - известная неоднородность:Q1     f y  y0  0    0   ,0   f y  y0  0  ,0    y1  0    y0  0    ft y0  0    0   ,0   ft y0  0  ,0  Обратим внимание, что первое из уравнений (11) это алгебраическоеуравнение, из которого находится y1 при уже известной функции y0 .Для произвольной степени  i имеем: yi  t   определяется из алгебраического уравнения d i f y  y0  0    0   ,0   i    Qi  d0 i  0   yi  yi  0 Можно доказать, что t y  t ,      i  yi  t    i     O   n1 i 0  nПример. dy2yy dt y  1 t 0 2(0  t  1)(12)56Решениями вырожденными уравнения y  y 2  0 являются функцииy  t   0 и y  t   1.

Устойчивым из них будет только второе решение, т.к.в этом случаеf 1  2 y  0 . Система для определенияy 0   будет,согласно (10), выглядеть так:2 d 01100 d10  0  2Дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли.Решениемсистемыбудетфункция 0    1.1  eПолучаемасимптотическое приближение решения задачи (12) в виде:y t  1 O1  et Для получения следующего члена разложения выпишем систему дляопределения 1   в соответствие с (11). y1  01 d 1  1  2 1  1 e d 1  0  1  1Ее решением будет функция 1   4e1  e  2. Получаем приближенное решение задачи (12) с точностью O  2 .Оно имеет вид:5714et y t   O2 2t 1 e1  et  §2.

Метод осредненияРассмотримколебаний.ламповыйСправедливыгенераторизвестныесоотношения между зарядом Q и разностьюпотенциалов U на конденсаторе, током Iчерез него и током I a в анодной цепи лампы:Q  CU , I  Q , I a  S (U ),LI  U  MI aЗдесь точкой обозначена производная по времени, которое, в своюочередь, обозначается как τ; M – определяетслабую индуктивную связь катушки в аноднойцепи и в цепи управляющей сетки, I a  S (U )вольт-амперная характеристика лампы. Будемсчитать, что в некоторой, интересующей нас области значений U, она этахарактеристика описывается соотношением S '(U )  S0  S1U 2 .

Характеристики

Список файлов книги