Часть 2 (1133435), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

А именно, рассмотрим такие слагаемые уравнения:ut  uux  0Эта комбинация описывает эффект возрастания крутизны фронтаволны.Слагаемое u xxx отвечает за дисперсию волн.Рассмотрим уравнение:ut  uxxx  0(2)Будем искать его решение в виде u  x, t   e i wt kx . Подставляяискомый вид решения в уравнение, получаем:iw  ik  e 3i wt kx 0Откуда k  3 w . Таким образом, решение уравнения (2) представимов виде: u  x, t   ex iw t  2 3  w , т.е.

скорость распространения волны зависит отее частоты.Кроме того, у уравнения (1) имеется бесконечно много законовсохранения: u  x, t  dx  const , u  x, t  dx  const2862ux,t13ux,t    2  x   dx  constи т.д.Схема метода обратной задачи рассеянияЭтот метод используется для построения решения уравненияКортевега - де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравненияГордона utt  uxx  sin u и некоторых других задач. Он интересен тем, что сего помощью удается свести решение нелинейного уравнения к решениюнескольких линейных задач.Технически метод весьма сложен, поэтому здесь рассматриваетсялишь его схема.Решение по методу обратной задачи рассеяния состоит из несколькихэтапов.Прямая задача рассеянияПустьu  x, t -быстроубывающаяфункция,тоесть 1  x  u  x, t  dx   .Задача IРассмотрим решение уравнения, типа уравнения Шредингера: xx     u  x, t    0(3)на бесконечном участке   x   .

Считаем потенциал u заданнойфункцией. t в уравнении (3) участвует, как параметр. Требуетсяопределить значения  , при которых существует нетривиальная,нормированная на единицу функция  , удовлетворяющая уравнению (3).87Поскольку u убывает на бесконечности, то при больших x решение(2) выглядит, как e  x. Условие нормировки2mdx  1 может бытьвыполнено только при   0 . Функция  m  x, t  имеет на бесконечностиасимптотику  m  x, t Cmem x , где  2   .Решая задачу (3), находим Cm , m  по заданной u  x, t  .Задача IIПусть функция  имеет составляющую eikx - волну идущая избесконечности. Ищем результат рассеяния этой волны на неоднородностиu . Иными словами, по заданной функции u  x, t  из уравнения xx   k 2  u  x, t    0(4)нужно рассчитать проходящую и отраженную часть  .

Характерасимптотики в этом случае будет следующим: ikxikx  x, t  e  b  k , t  e , x   ikxx    x, t  a  k , t  e ,Решая задачу (4), находят b  k , t  по заданной функции u  x, t  длявсехk.СовокупностьCm (t ), m (t ), b(k , t )называетсяданнымирассеяния.Обратная задача рассеянияСоставляем функцию B  x, t   C t e2mmm ( t ) x12 b k,t eikxdk .Далее решаем линейное интегральное уравнение Гельфанда – Левитана:88K  x, y , t   B  x  y , t    B  y   , t  K  x ,  , t  d   0(5)xМожно показать, чтоu  x, t   2K  x, x, t x(6)Таким образом, функцияможет быть построена по даннымрассеяния.

Обратим внимание на то, что все указанные выше задачиявляются линейными.Применение метода обратной задачи рассеяния к решению задачиКоши с уравнением Кортевега - де Фриза.Рассмотрим задачуut  6uu x  u xxx  0u  x, 0     x Существуетдоказательство(7)того,чтодляфункцииu  x, t являющейся решением уравнения Кортевега - де Фриза выполнено:Cm  t   Cm  0  e4mt8ik 2tb  k , t   b  k ,0  e3(8)а  m не зависит от времени.Используя это, можно найти решения задачи (7) следующимобразом. Решаются прямые задачи (I) и (II) для функции u  x, 0     x  .Находится совокупность данных рассеяния Cm  0  , m , b  k ,0  .

По ним,используя (8), строится совокупностьC t  , mm, b  k , t  . По этойсовокупности, решается обратная задача рассеяния и определяетсяфункцию u  x, t  , являющаяся решением (7)89Пример:Пусть u  x,0   2ch 2 xТогда уравнение (3) будет выглядеть следующим образом: xx    2   0ch2 x В этом случае имеется всего одна собственная функция, 1  1 иC1  0   2 . Решая (4) можно найти, что b  k ,0   0 .

При этомB  x, t   2e8t  x .Уравнение (5) принимает вид:K  x, y, t   2e8t  x  y 2et y K  x,  , t  ed  0x2e x yЕго решением будет функция K  x, y, t  . Используя (6)1  e2 x8tнаходим решение задачи:u  x, t  2ch  x  4t 2.Найденная в этом примере функция u  x, t  представляет собойсолитон. Солитоны – это решения в виде уединенных бегущих волнколоколообразной формы. Если начальные условия задать так, чтовозникают несколько солитонов, движущихся с различными скоростями,то можно рассматривать их взаимодействие в рамках решения уравнения.Солитоны уравнения Кортевега - де Фриза при взаимодействии ведут себячастицеподобным образом. Сталкиваясь, они расходятся, не меняя формы90и приобретая сдвиг по фазе. Такой характер солитонных решений делаетих интересным объектом математического моделирования.Литература.1.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики,Москва, 1977.2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцовматематической физике, Москва, 1993.В.В.Лекциипо3. Калиткин Н.Н. Численные методы: учебное пособие, СПб, 2011.4. Тихонов А.

Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальныеуравнения, Москва, 1980.5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи.Методы. Примеры, Москва, 2002.6. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование,Москва, 2002.91.

Характеристики

Список файлов книги