Часть 1 (1133434), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Аналогичноесоотношение имеет место по направлю ex . Таким образом, величинаv представляет собой плотность сил вязкости, деленную на  .Условия, задаваемые на границах области, зависят от характеристикграницы. Если жидкость граничит с неподвижной твердой стенкой S T суравнением поверхности G( x, y, z )  0 , то граничное условие имеет видvn   v , n   0, r  ST ,Если же стенка движется со скоростьюvT , то нормальнаясоставляющая скорости частиц жидкости в любой точке на поверхностидолжна равняться нормальной составляющей скорости движенияповерхности: v , n    vT , n  ,r  ST .Если жидкость вязкая, то на поверхности S T выполняется условиеприлипания частиц жидкости к поверхности:v  vT , r  ST54Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе скруговым сечением.Пусть в горизонтальной цилиндрической трубе радиуса a происходитламинарное (слоистое) движение вязкой несжимаемой жидкости внаправлении оси Z совпадающей с осью трубы.

Пусть в момент времениt  0 жидкость покоилась, а при t  0 на торцах трубы, при z  0 и z  L ,создается разность давлений  p . При продольном движении жидкостиvx  v y  0, v  vz . В отсутствие сил тяжести при этом из уравненияНавье-Стокса следует, что p  p( z ) . Получаем из (5):vv1 pv vtz z(7)v 0 . Поскольку v неzpзависит от z , то (7) может быть выполнено лишь в случае, когдатакжеzp const . Учитывая условия задачи, получаемне зависит от z, то естьzp  pp. Обозначим  .zLzКроме того, при vx  v y  0 из (2) имеем:Вводя полярную систему координат и учитывая осевую симметриюрешения, получаем задачу:  2v 1 v  1v   r 2 r r  tv(r ,0)  0, v(a, t )  0(0  r  a, t  0)(8)Решение задачи (8), очевидно, можно искать в виде суммыстационарного, не зависящего от времени, слагаемого w(r ) и добавкиu (r , t ) , описывающей переходной процесс от начального условия кстационарному процессу: v(r , t ) = u (r , t ) + w(r )55Для w имеем условия:  2 w 1 w  1  0 r 2 r r  w(r ,0)  0(0  r  a)Решением этой задачи является функция:w(r ) a2  r 24(9)Течение с профилем скорости (9) называется плоскопараллельнымтечением Пуазейля.Для функции u (r , t ) получаем:u  2u 1 ut r 2 r ru (a, t )  0,(0  r  a,t  0)u (r ,0)  a2  r 24 (10)Задача (10), представляет собой задачу I-го рода с уравнениемтеплопроводности в круге.

Ее решение можно найти, например, методомразделения переменных.Внешняя задача гидродинамики.Одной из основных проблем механики жидкостей является задачаобтекания тела конечного размера однородным неограниченным потоком.Пусть STотношению- поверхность тела, De - внешняя часть пространства поктелу.Требуетсянайтирешениесистемы(2),(5)соответствующее течению, переходящему на бесконечности в однородныйпоток, движущийся со скоростью U  вдоль оси X .

На бесконечностиимеем условие56v  exU  , r   .(11)Если жидкость вязкая, то на поверхности S T выполняется условиеприлипания частиц жидкости к поверхности:v  vT , r  ST , t  t0.(12)Если обтекаемое тело покоится, то, очевидно, справедливо граничноеусловиеv  0, r  ST , t  t0.В уравнения (5) входят первые производные по времени. Поэтомуследует задать начальное распределение скоростейv  v0 ( x, y, z ), r  ST  De , t  t0.(13)Совокупность уравнений (2), (5), краевых условий (11), (12) иначальных условий (13) составляют нестационарную начально-краевуюзадачу об обтекании тела вязким потоком.Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости приускоренном движении сферы.Безвихревым или потенциальным движением называется движение,для которого выполнено условие rotv  0 .

Это являются необходимым идостаточным условием существования потенциала скорости  (t, x, y, z ) , такчто справедливо представление: v  grad . Если жидкость несжимаема, тоdivv  0и  div grad v  0 .Функция ( t , x, y , z )являетсягармонической по пространственным переменным.Определим распределение скоростей в идеальной несжимаемойжидкости при ускоренном движении со скоростью v0 (t ) сферы радиуса a ,считая обтекание сферы потенциальным.57Так как движение потенциально и жидкость несжимаема, то потенциал вне сферы удовлетворяет уравнению Лапласа по пространственнымпеременным.

Поскольку жидкость граничит с движущейся сферой, тонормальная составляющая скорости частиц жидкости на поверхности сферыравна нормальной составляющей скорости движения поверхности сферы S(v , n ) S  ( grad , n ) S  (v0 (t ), n ) .n SНа бесконечности выполняется условие:v  0 при r   .Значит  , , 0 при r   .x y zТаким образом, для определения потенциала скорости в области Deвне движущейся сферы имеем краевую задачу  0, ( x, y, z )  De , (v0 (t ), n ), t  0,n S  , , 0x y z(14)при ( x, y, z )   ,В эту задачу t входит как параметр.Выберемсферическуюсистемукоординат ( r, ,  ) , 0  r  , 0     ,0    2 так, чтобы начало отсчета совпадало с центром сферы, а угол совпадал с углом между направлением движения сферы и направлениемнормали к поверхности.58В каждый момент времени t  t0 можно определить распределениескоростей в жидкости относительно этой системы координат, решив задачу(14) при фиксированном значении t  t0 .

В выбранной системе координатсистема (14) преобразуется к виду  2  1   1  2 0, (r , ,  )  De ,r sin r  r  sin     sin 2   2(15) v0 (t0 ) cos  , 0     ,n S r r a  ,, 0, r   .r  Очевидно, решение этой задачи в любой момент времени t определенос точностью до константы.

Поэтому определено с точностью допроизвольной функции времени C (t ) . Как известно из курса ММФограниченное на бесконечности решение задачи (15) имеет вид ( r, ,  , t0 ) n  r (n 1) ( Anm cos m  Bnm sin m ) Pnm (cos )  C (t0 ) .n 0 m 0Поскольку P10 (cos )  P1(cos )  cos , то граничное условие в (15)можно записать как v0 (t0 ) P10 (cos ) .r r  aОтсюда ясно, что отличны от нуля только члены с n  1,m  0.Приравнивая соответствующие члены при r  a , находим коэффициент A10 .v0 (t0 )a 3cos  C (t0 )Получаем  ( r, , t0 )  для любого момента22rвремени t  t0 .59Поскольку в сферической системе координат выражение для скоростиимеет видv (r , ,  , t )  er1 1  e e,rr r sin  где er , e , e - орты сферической системы координат, тоv (r , , t )  erv0 (t )a3r3cos  ev0 (t )a32r3sin  .Заметим, что потенциал скорости определен с точностью допроизвольной функции времени, а распределение скоростей определяетсяоднозначно.60Глава 2.

Нелинейные процессыВ предыдущей главе изучались линейные задачи. Для них существуютобщие методы решения. Для нелинейных задач ситуация гораздо сложнее. Внелинейном случае не действует принцип суперпозиции, поэтому нельзяискать решение в виде разложения по фундаментальной системе решений,нельзя использовать метод Фурье и т.д. Нелинейное уравнение ваналитическом виде решается лишь в отдельных частных случаях, поэтомуобычно приходится решать задачу численно.Нелинейные процессы имеют некоторые характерные черты, отличныеот линейных случаев. Для этих задач возможно формирование крутыхфронтоврешений,возникновениеразрывов,образованиелокальныхструктур и другие особенности.

Эти черты мы проследим в последующемизложении.§1. Квазилинейное уравнение переноса.Уравнения в частных производных первого порядка часто встречаютсяв задачах, в которых рассматривается перенос вещества. Пусть, например, внаправлении оси x переносится вещество, концентрация которого u. Переноспроисходит со скоростью q, которая может зависеть от координат x, t иконцентрации u. Последнее, например, имеет место в задаче расчетадвижения воды под действием силы тяжести в песке, где при малойвлажности движения не происходит, а при большой скорость стеканиясущественна. Рассмотрим баланс вещества в слое от x до x  x за время отt до t  t (в единичном сечении перпендикулярном x).

Поток веществаQ  q  u . Имеем:x xxu  , t  t   u  , t   d t tQ  x,   Q  x  x,   d(1)tДелим последнее уравнение на xt . Считая u и q непрерывнодифференцируемыми функцией своих переменных, перейдем к пределу при61x  0 и t  0 . Получим дифференциальный аналог уравнения баланса:u QQ 0 . Если q не зависит от u, то, раскрывая производную,t xxuuq q  gu  0 , где g  . Если qtxxuu a  gu  0 , гдезависит от u, то получаем квазилинейное уравнениеtxqa  quи g зависят от u.uприходим к линейному уравнениюЛинейное уравнение.Вначале кратко напомним некоторые результаты из курседифференциальных уравнений, относящиеся к линейным задачам переноса.Рассмотрим в области D переменных x, y, t задачу:uu u t  a( x, y, t ) x  b( x, y, t ) y  g ( x, y, t )u  f ( x, y, t )u    ( x, y, t )(2)где a, b, g и f непрерывно дифференцируемые функции, a 2  b2  0 ,  кусочно-гладкая поверхность, лежащая в D.

Для решения этой задачисоставляются уравнения характеристик:dt dx dyabРешения(3)(3)называютсяхарактеристиками.Еслирассмотретьхарактеристику, проходящую через точку ( x0 , y0 , t0 ) , то она удовлетворяетуравнениям62x a ( x, y , t )ty b ( x, y , t )tx t t0  x0(4)y t t0  y0Характеристики являются кривыми в пространстве переменных( x, y, t ) . При сделанных относительно a и b предположениях они заполняютсобой всю область D, нигде не пересекаясь. Каждой из них можно приписатьдва параметра, определяющих выбор характеристики в трехмерномпространстве координат. Например, в качестве таких параметров можновыбрать значения x0 и y0 в (4).

Характеристики

Список файлов книги