Часть 1 (1133434), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Из формулы(8) видно, что значение u ( M 0 ) определяетсяусловиями на участке АВ кривой С и значениямиf внутри характеристического (криволинейного)треугольника M 0 AB .Обратимся к требованию, наложенномувыше на кривую С.Допустим, чтохарактеристика пересекает контур С в двухточках. Тогда решение может не существовать.Рис. 2Действительно, рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 2.В точке М0 решение, с одной стороны, полностью определеноусловиями, заданными в криволинейном треугольнике M 0 AB ; с другойстороны M 0  C , поэтому решение в этой точке определено вторымсоотношением в (1). Если эти значения не совпадают, то решение несуществует.16Смысл функции Римана.Функция Римана v  M , M1  была определена в (8),как решение задачи с дифференциальным оператором K̂ .Рассмотрим решение w  w  M , M1  следующей задачи соператором L : Lw  0 wx  bw  M1 A1  0 wy  aw  M1B1  0 w  M 1   1(9)Наша задача – показать, что функции v  M , M1  и w  M , M1 совпадают, т.е.

решение (9) есть функция Римана. Имеем:02M0B1A1  vLw  wKv  dx dy   Pdx   Qdy    wvM 0 B1M1 A1M0A1M1x vwx  2bwv  dx M1   vwy  wv y  2awv  dy  2  vw  M   vw  B   vw  A   vw  A   vw  M0B1  vw  M   vw  B111111Приведя подобные члены в правой части, получим:  vw M   vw M . Это01равенство, с учетом условий w  M1   1 и v  M 0   1 , дает w M  v M .01Отсюда имеем v  M 0 , M1   w  M 0 , M1  . Таким образом, функция Риманаесть решение задачи (9).Для выяснения физического смысла функции Римана рассмотрим(обобщенное) решение задачи (1) с правой частью в виде дельта-функции инулевыми граничными условиями:17 Lu    M , M 1 uu C n  0C(10)По физическому смыслу задачи (10), ее решение является функциейвлияния в точке М точечного импульса сообщенного в точке M 1 .

Из (8)следует,чторешениемэтойзадачибудетфункцияРиманаu  v  M , M1   w  M , M1  . Таким образом, функция Римана – это функциявлияния точечного импульса.Уравнение с постоянными коэффициентами.Пусть коэффициенты a  x, y  и b  x, y  равны тождественно нулю, аc  const . Тогда задача (9), определяющая функцию Римана, преобразуется взадачу: wxy  cw  0 w  1 на M 0 A и M 0 B(11)Найдем ее решение. Пусть точки M и M 0 имеют координатыM  M  x, y  , M 0  M 0  x0 , y0  . Будем искать решение задачи (11) в видеw g x  x0  y  y0   .

Введем обозначениеg x  g z zx  g zg xy  g zzz x  x0  y  y0  . Тогдаy  y02z x  x0  y  y0   g4z2z 1  x  x0  y  y0   g zz g z 32z4z44zС учетом условия g  0   1 задача (11) преобразуется к виду:18gzg 4cg  0 zzz g  0  1Еерешением(12)являетсяфункцияg  x, y   J 0 2 c  x  x0  y  y0  .ТакимБесселяобразом,нулевогопорядка:найденафункцияРимана для случая a  b  0, c  const .Задача Коши для уравнения колебаний.Рассмотрим задачу Коши на бесконечной прямой для уравнения спостоянными коэффициентами:utt  u zz  aut  bu z  gu  0u t 0    z ut t 0    z где a, b, g  const , z . Будем искать решение в виде u  Ue(13)bz at  / 2Подставив такой вид функции u  z , t  в систему (13), получимследующую систему уравнений относительно U  z, t  :U tt  U zz  cU  0U t 0    z  e  bz /2  1  z Utt 0(14)a   z     z   e  bz /2   1  z 2b2 a 2 .

Делаем заменугде c  g 4 4переменных: x  t  z, y  t  z .19Соответственно:tx yx y, z.22В переменных x, y уравнение задачи (14) приобретает вид:cU xy  U  04(15)Для него функция Римана построена в предыдущем пункте. Она равнаv  J0c  x  x0  y  y0   J 0c t  t0    z  z0 22.Формула(8)определяет решение задачи (15):U  z0 , t 0  Uv  A  Uv  BU A UB2U A UB22B1   U x v  vxU  dx  U y v  v yU  dy  2Av v v v  1  U  U z U Uz    tv  t z U  dz   tv  t z U  dz  2 A 222 2 B  z  t   1  z0  t0 1   vU t  Uvt  dz   1 0 0(16)22AB1   1  z  J 02 z0 t0 z0 t0c t02   z  z0 2   zJ11c t02   z  z0 t02   z  z0 22ct0  dzВыражая с помощью (14) функции 1 и  1 через  и  , получаемрешение задачи (13).Если a  b  g  0 , то   1 ,    1 .

Поскольку J 0 (0)  1, а J1 (0)  0то формула (16) переходит в формулу Даламбера:u ( z0 , t 0 )   z 0  t 0     z0  t 0  1 z  t2002 z0t0  z  dz20Функция влияния точечного импульса.Функция влияния точечного импульса определяется, как решение (вклассе обобщенных функций) задачи:utt  u zz  aut  bu z  gu  0u t 0  0ut t 0    z  z0 (17)Используя (16) получаем:u  z, t   ea b t z2 2b 1 z t       z0  e 2 J 0 2 z t J0a b e  2 t  2  z  z0 0c t 2   z  z0 222 c t 2    z   d    , для z  z0t(18), для z  z0  tb2 a 2 .где c  g 4 411 , для z  z0  tЕсли a  b  g  0 , то u  z , t   H  t  z  z0    220 , для z  z0  t§3.

Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции.Постановка задачи.Сорбент – это вещество, способное собирать на своей поверхностинекоторый компонент из окружающей среды. Таким веществом, например,является уголь в противогазе, или гранулы в фильтре для очистки питьевой21воды. Явление сорбции распространено в природных и технологическихпроцессах.

Рассмотрим задачу сорбции в простейшем виде.Пусть имеется колонка, заполненная гранулами сорбента. По колонкеслева направо с постоянной скоростью q движется поток жидкости (илигаза), который переносит растворенное в нем изучаемое вещество - целевойкомпонент. Этот компонент может селективно осаждаться на поверхностигранул сорбента.Введем следующие обозначения:u  x, t  - концентрация компонента в межзерновом пространстве (количествокомпонента в межзерновом пространстве на единицу объема колонки);a  x, t  - концентрация компонента, сорбированного на поверхности гранул(количество сорбированного компонента на единицу объема колонки).Функция a    u  , связывающая концентрацию компонента в фазесорбента с его концентрацией в фазе раствора при условии их равновесия(равновесные концентрации) называется изотермой сорбции.

С ростомконцентрации компонента количество свободныхмест на поверхности сорбента, куда могут садитьсяего молекулы, убывает. Поэтому кривая u выходит на насыщение.Обычно рассматривают одну из двух изотерм: в случае малыхконцентраций - изотерму Генри a  u , где  константа – наклон кривой22  u  на начальном участке; в случае значительных концентраций –изотерму Ленгмюра a    u  k1u.ukПоскольку изотерма является взаимно-однозначной функцией, можнорассматривать и обратную изотерму в виде u    a  .

Обратные изотермыбудут соответственно задаваться следующими функциями:для изотермы Генри u    a  aи для изотермы Ленгмюра u    a  ka.k1  aРассмотрим некоторый малый участок x и запишем уравнениебаланса рассматриваемого компонента за время t :x x a  , t  t   u  , t  t   a  , t   u  , t   d xt t(1)q u  x,   u  x  x,   dtПолагаем, что функции u  x, t  и a  x, t  имеют непрерывные частныепроизводные первого порядка. Тогда, поделив равенство (1) на x t ,устремив x и t к нулю, получим уравнение баланса вещества вдифференциальном виде:at  ut  qux  0(2)Учтем, что сорбция вещества происходит не мгновенно, а за некотороевремя.

Скорость изменения концентрации сорбированного веществапропорциональна разности текущей и равновесной концентраций. Дополняяуравнение (2) кинетическим уравнением, и задавая начальные и граничныеусловия, можно поставить простейшую задачу сорбции в области x  0 ,t  0:23at  ut  qu x  0at    u  (a )  a t 0  u t 0  0u  u0 x 0(3)где  кинетический коэффициент.Выражение   t  x / q называется локальным временем. Значение «запаздывает» относительно t на время переноса вещества от границы дорассматриваемой точки x. Рассмотрим u как функцию переменных  , x .Тогда u  1  u u( , x )u( , x ) u du u d u  uq q  q      qtx dtx  dx x     q  x Такимобразом,при переходеклокальному времени,выполнено:ut  qux  qux .

Это делает первое уравнение (3) более простым. Вообще,переход к локальному времени является типичным приемом в задачахпереноса вещества.Для решения задачи (3) введем новые переменные:xx    t  ,   qqПри этом область x  0, t  0 переходит в область   0 ,    .Система уравненийсистему:a  u  0a  u  (a )a u    0  u u0  0(3)преобразуетсяв(4)Рис.

124Продифференцировав второе уравнение системы (4) поииспользовав первое уравнение, имеем:a  a  '(a)a  0a 0, a   0  (u  (a))   0  0   0Рассмотримпроизвольноерешение(5)(5)в    0области(заштрихованной на рис.1). При любой фиксированной функции a, можнорассматривать  '(a) , как заданный переменный коэффициент k. Далее, напрямой     0 выполнено: a  an cos( / 4)  al cos( / 4) , где l векторвдоль прямой, а n по нормали к ней. (См.

Характеристики

Список файлов книги