Часть 1 (1133434), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Соответственно, волкам для увеличения популяции и вскармливаниямолодого поколения требуется пища. Будем считать прирост количестваволков пропорционалным количеству встреч их с зайцами. Кроме того,имеет место естественная убыль волков от старости и голода, которая тембольше, чем больше колчество волков. Получаем модель: dx dt  k1 x  k2 xy dy  k xy  k y34 dtx  t0   x0y  t 0   y0(9)Исследуем решение (9). Поделив первое уравнение системы (9) на второе,получим:dx x  k1  k2 y dy y  k3 x  k4 80Иначе:dx  k3 x  k4  dy  k1  k2 y xyЭто уравнение с разделенными переменными. Решая его, получим:ek3x ek2 yCx k4 y k1(10)Здесь С – интеграл движения, то есть величина сохраняющее значение нарешении уравнений (9).

Условие C  const определяет линию уровняинтегральной кривой в пространстве (x, y, C) .Приравняв нулю правые части уравнений системы (9), можно найтиточку покоя ( xп , yп ) . Имеем:xп  k4 / k3 , yп  k1 / k2Подставляя эти координаты в (10), находим значение интеграладвижения, соответствующее точке покоя:Cп ek3xпe k 2 yп xп   yп k4k1ek3 xe k2 yРассмотрим функции f ( x)  k и g ( y )  k . Легко видеть, что функция fx4y1неограниченно возрастает при x  0 и x   . Вычислим ее производную:dfk  f   k3  4  .

Отсюда следует, что f растет при x  xn и убывает приdxx x  xn . Тем самым ее минимум достигается при x  xn . Аналогично ведетсебя функция g(y). Она имеет минимум при y  yn . Поэтому поверхностьC ( x, y)  f ( x) g ( y) имеет характер прогнутой поверхности, имеющейминимум в точке покоя и бесконечно возрастающую к границам первогоквадранта и бесконечности на плоскости (x,y).81Фиксируемпроизвольноезначение C  Cп и произвольное y,лежащее на линии уровня C  const .Значенияx,соответствующиевыбранным C и y, определяютсяусловием f ( x )  C / g ( y ) .

Учитываяхарактер функции f(x), показанный нарисунке, видим, что имеются дватаких значения x. Таким образом, при C  Cп каждому y соответствуют двазначения x лежащему на линии уровня C  const . Аналогично, каждому x,лежащему на линии уровня соответствуют два y.При C  Cп получаем замкнутые линии уровня, лежащие в областиx  0 , y  0 . Отсюда, если начальная точка ( x0 , y0 ) лежит в первомквадранте, то фазовая траектория не покидает первого квадранта, т.е.x  t   0 и y  t   0 в любой момент времени.Если начальная точка не совпадает с точкой покоя, то из (9) следует,xy x   y  0 , либо 0 .

Иными словами       0 .tt t   t 2что либо2Получаем непрерывное движение.Направление движения на фазовой плоскостиможно определить по нижней точке фазовойкривой, соответствующей x  xп . При этомаy 0,tx xп  k1  k2 y   0 , что задает направлениеtобхода против часовой стрелки.Вид интегральных кривых показан на следующем рисунке.82Рассмотренная задача служит примеромтого,каквсистеме,описываемойнелинейнымиуравнениями,возникнутьвзаимодействиеможетфакторов,приводящее к возникновению устойчивойструктуры решения.

В данном случае, кпоявлениюустойчивогоциклическогопроцесса.83Литература.1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики,Москва, 1977.2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцовматематической физике, Москва, 1993.В.В.Лекциипо3. Калиткин Н.Н. Численные методы: учебное пособие, СПб, 2011.4. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальныеуравнения, Москва, 1980.5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи.Методы.

Примеры, Москва, 2002.6. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование,Москва, 2002.84.

Характеристики

Список файлов книги