Часть 1 (1133434), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для этого рассмотримследующий интеграл, являющийся с точностью до константы обратным ковторому слагаемому (10):I  x 1    x  e   e2 xx2 2  x 2d   ex   x   x d   ex   x  2 xd 12xЕго производная отрицательна:2dI 1 1    x   e x 2 x  0dx2Мы получили, что второеслагаемоевотрицательным(10)является C  0 имонотонно растет по модулю сростом  . В связи с этим, обаслагаемыхуравненияубывают,уравнениявлевойчасти(10)монотонноаправаячастьявляетсявозрастающей функцией.

Значитуравнение(10)единственное решение.имеет34По найденному из уравнения (10) значению параметра  , получаем из(7) закон движения фазовой границы. Зная  , находим из (9) коэффициентыp1 и p2 , что определяет функции f i - решение исходной задачи.§5. Постановка задач с уравнением Гельмгольца внеограниченной области.Уравнением Гельмгольца называется уравнение вида:u  cu  fПостановка задач в неограниченной области с этим уравнением исвойства решения существенно зависят от знака коэффициента c.Типичной физической задачей, приводящей к уравнению Гельмгольцас отрицательным значением c, является следующая задача.

Рассмотримуравнения диффузии вещества с его распадом при наличии стационарныхисточников.u a 2 u  ku  F (M )tС течением времени решение выходит на стационарный режим, прикоторомu 0 . Ему соответствует уравнение Гельмгольцаtu   2u  fгде  2 (1)kF,а f  2 .2aaВ курсе «Методов математической физики» было показано, что дляуравнения (1) справедлив принцип максимума. Он гласит, что в замкнутойобласти решение не может достигать положительного максимума илиотрицательного минимума во внутренней точке.На базе принципа максимума легко доказать, что решение задачи352 u u fu  0 равномерно по углу r (2)единственно.Действительно, пусть u 1 и u 2 - два различных решения задачи (2), аw  u 1  u 2 . Функция w удовлетворяет условиям: w   2 w  0w  0 r Пусть w 0 в некоторой точке M0. Рассмотрим сферу CR большогорадиуса R, с центром в начале координат, включающую M0 внутрь себя.

Изпринципамаксимумаиусловийнабесконечностиследует:w(M 0 )  max w( M )  0 . Отсюда w ( M 0 )  0 . Поскольку M0 произвольнаяM CRRточка, то w 0 и решение задачи (2) единственно.Теперь обратимся к уравнению Гельмгольца с положительнымкоэффициентом c  k 2 :u  k 2u  f(3)Уравнение такого типа может получиться при решении задачиколебаний: 2v a 2 v  F  M  eiwt2tБудем искать решение последнего уравненияiwtв виде v  u  M  e .При подстановке v в уравнение и сокращения на eiwt для функции u  M Fw22получим: u  k u   2 , где k  2 , то есть уравнение вида (3).aa236Для уравнения (3) принцип максимума не справедлив.Пусть функция f финитная, т.е.

отличная от нуля только в некоторойконечной области D. С помощью объемных потенциалов можно построитьдварешения,стремящиесяфундаментальнымикрешенияминулюR  .приоднородногоДействительно,уравнения(3)будут:e ikRMP. Следовательно, решениями (3) являются функцииU M , P RMP1 e ikRMPu 1,2  M  f  P  dVP . При любом выборе знака в показателе4 D RMPэкспоненты решение убывает, когда точка удаляется от области D.Получаем, что условия u  0 не достаточно для выделения единственногоr решения.Условия излученияРассмотрим однородное уравнение колебаний2w a2 w2tБудем искать его решение в виде(4)w r, t  v  r, t . Нетрудноrпроверить, что после подстановки указанного вида решения в уравнение, дляфункции v  r , t 2 2v2  vaполучим:. Решением последнего уравненияt 2r 2являются произвольные функции от переменныхw1  r , t   r  at  .Поэтомуf1  r  at f  r  at и w2  r , t   2являются решениями уравненияrr(4).37Функция w1  r , t  представляет собой возмущение, уходящее отисточника в центре на бесконечность - физически реальное решение.Функция w2 является, наоборот, сходящейся волной.Считаявременнуюw1  r , t   u1  M  eiwtзависимостьгармонической,иw2  r , t   u2  M  eeikr iwterполучаемiwteikr iwte .re  ikrСоответственно, существуют два решения однородного уравнения (3):reikrи.rЧтобывыделитьрешениеu1 ,соответствующееw1 ,можноиспользовать следующее условие:u11 iku1  o  rr(5)Действительно,e  ikr e  ikr e  ikre  ikr1u1  r   iku1   ik 2   ik  2  o  ,rrr rrrа eikr eikr eikr1u2  r   iku2  ik 2   ik O   .

Следовательно, условию (5)rr rr rрешение u2 не удовлетворяет.Теперь покажем, что решение задачиu  k 2u  fu1 iku  o  rr(6)1u  O r38единственно. Последние два условия в задаче (6) называются условиямиизлучения Зоммерфельда.Вначалерассмотримфундаментальноерешениеуравнения(3):eikRMP.U M , P RMPФиксируем точку M, а точку P будемудалять от нуля.

При этом  постоянно, а rи R  RMP увеличиваются. Имеем:R  r    2r  cos   r 1     2 cos rr22Т.к.21 x  1x 1  o  x  , то при r  справедливо: R  r 1  O    .2 r 1    r  cos Rr   cos 1 1 O 2rrr 2   2  2r  cos 1    r   2   r  cos eikRПроверим, что для фундаментального решения U  M , P  Rвыполнены условия Зоммерфельда:  eikR eikR  e ikR  Re ikR ik  ikr  R RR  R  rReikR eikR  eikR 1 1ik1Oiko  RR 2  R r reikR1 O Rr39Теперь докажем единственность решения задачи (6).Пусть u1  M  и u2  M  - два разных решения этой задачи. Тогдафункция z  u1  u2 удовлетворяет условиям:z  k 2 z  0z1 ikz  o  rr1z  O rФиксируем произвольную точку М ивозьмем сферу большого радиуса r так, что Млежит внутри сферы.

Напишем 3-ю формулу Грина: eikRMP z  eikRMP  4 z  M     P   z  d PRnnRMPMP r Т.к.zzn Pr r, тоP r e  ikRMP4 z  M    RMPr e  ikRMP 1   1  ikzoiko   z  d P rR   r  MP e  ikRMP  1 1 1 o    o   z  d P   o  2  d PRMP  r r r r r Площадь4 z  M  сферыr1o0.  r 2  d P rrсростомrрастет,Следовательнопроизвольного выбора точки М,единственность решения задачи (6).получаемкакr 2 . ПоэтомуzM   0.z  0,чтоВсилуозначает40Замечание 1:Условияu11 iku  o   , u  O  rrrединственное решение уравненияУсловияпозволяютотобратьu  k 2u  f в неограниченной области.u11 iku  o   , u  O  rrrтакжепозволяютвыделитьединственное (другое) решение.

В этом смысле они равноценны. Если же кu  k 2u  f мы пришли, описывая пространственную частьуравнениюрешения уравнения колебаний (в случае, когда колебания гармонические повремени), то знак перед слагаемым iku в условиях излучения должен бытьсогласован с выбором знака у временной гармоники. А именно, еслирешение уравнения колебаний ищется в виде v  u  M  e iwt , то физическиразумное, расходящееся от источников решение, соответствует условиюизлученияu1 iku  o   . Если же решение уравнения колебаний ищетсяrr iwtв виде v  u  M  e , то физически разумное решение выделяется условиемu1 iku  o   .rrЗамечание 2:В двумерном случае условия излучения имеют вид:u 1  1  iku  o ,uOr r rМатематическая задача дифракции.Задача дифракции возникает при изучении рассеяния различного видаволн (сейсмических, звуковых, электромагнитных) на препятствиях.41Пусть в неограниченном пространстве D расположены области D i , вкоторых физические характеристики отличны от характеристик в D.

Пустьпод действием источников возникают колебания v, гармонические повремени. Пусть u - пространственная часть функции v, то есть v  u  M  eiwt .Обозначим функцию u внутри D i как u i . На границе  i областей D iдолжнысопрягатьсякоэффициентами)рассматриваютсяихзначенияu инормальныеui ,атакжепроизводные.электромагнитныеколебания,а(снекоторымиНапример,v–пустьпотенциалэлектрического поля. Тогда при переходе через границу области остаетсянепрерывнымипотенциал( u   uiii)индукции электрического поля, равнаявыполнено инормальная En  составляющаяu. Следовательно,n iuu i i .n n iiОбщая система для определения функций u i состоит из уравненийГельмгольца, условий на границах областей D i и условий излучений: u  k 2u  fпри М  Di2при М  Di ui  k ui  f iu  ui i i uu i i n n ii u1 r  iku  o  r  1u  O  r  42Другая задача – это поиск результата рассеяния на препятствияхпадающей из бесконечности волны.

Обозначим пространственную частьэтой волны, как u0  eikx . Тогда имеем задачу: u  k 2u  0при М  Di ui  k 2ui  0 при М  Di(u0  u ) i  ui iui  u0 u i  n n n ii u1  iku  o  r r1u  O  rЕдинственность решения задачдоказывается, например, в учебнике [1].врассмотренныхпостановкахПринцип предельного поглощения.Условия Зоммерфельда можно использовать, если источник излучениянаходится в локализованной области. Если же источники или препятствия,от которых происходит отражение, уходят на бесконечность, то требуютсядругие принципы выделения единственного решения. Рассмотрим один изних – принцип предельного поглощения.Вначале приведем наводящие соображения. Если происходит процессколебаний с затуханием, то приходящие из бесконечности волны, чтобыдойти до области начала координат, должны иметь на бесконечностибольшую амплитуду.

Поэтому, чтобы отсечь эту физически нереальнуючасть решения, достаточно наложить условие малости решения набесконечности. Рассмотрим следующую задачу в неограниченной области.Пусть функция v является решением уравнения43 2vv a 2 v  F ( M )eit2ttИщем решение задачи в виде v  u  M  eit . Тогда получим:  2  Fu   2  i 2  u  2a aaДелая замену k 22a2,a2и f F, имеем:a2длявыделенияu   k 2  i  u  fСогласносказанному,единственногорешениядостаточно потребовать, чтобы u  0 при r   равномерно относительноугла.Теперь сформулируем принцип предельного поглощения.Пусть требуется решить уравнение Гельмгольца:u  k 2u  f(7)где k - вещественный коэффициент. Пусть функция u является решениемзадачи u   k 2  i   u  f0u r(8)Тогда, в качестве решения задачи (7) будем понимать функцию u  lim u . 0Проверим, что в случае, когда f финитная функция, принциппредельного поглощения выделяет то же решение, что и условия излученияЗоммерфельда.44Пусть q  q1  iq2 - комплексное число, такое что q 2  k 2  i .

Тогдауравнение задачи (8) перепишется в виде:u  q 2u  f(9)Имеем: q 2   q1    q2   2iq1q2  k 2  i . Отсюда:22222k   q1    q2    2q1q2Эта алгебраическая система сводится к биквадратному уравнению. Решаяего и учитывая, что q1 и q2 вещественные числа, находим:242q1   k  k  2k4   2  k2q2 2(10)Решение (9) выписывается с помощью объемных потенциалов:1 e 1u1,2 4 VR i q iq2  R1 efdV 4 Vq2 R  iq1ReRfdVПоскольку знак  присутствует как в последнем уравнении, так и в(10), то можно в (10) знак зафиксировать, считая q1  0, q2  0 . Длявыполнения условия u  0 на бесконечности, необходимо в показателеэкспоненты eфункцияq2 Rвыбрать знак  . Получаем, что решением задачи (8) будет1 e q2 R eiq1RufdV4 VR45Переходякпределупри0в(10)получаем:lim q1  k , lim q2  0 . Следовательно, согласно принципу предельного 0 0поглощения, в качестве решения уравнения (7) мы должны выбрать1 eikRu  lim u fdV . 04 V RНетрудноудовлетворяет условиям излученияпроверить,чтотакоерешениеu11 iku  o   , u  O   .rrrПринцип парциального излученияУсловия Зоммерфельда или принцип предельного поглощения,нужные для выделения единственного решения, не удобны в использованиипри численном расчете задачи с помощью компьютерной программы,поскольку требуется искать решение в бесконечном пространстве иопределять его характер при r   .

Характеристики

Список файлов книги