Часть 1 (1133434), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обратная задачаопределения параметров становится неустойчивой. Попытки прогнозироватьпроцесс с помощью такой модели в условиях отличных от тех, в которыхопределялись параметры, приводят к ошибочным результатам.Сложность модели должна быть согласованна с объемом и точностьюэкспериментальных данных. В случае, когда в системе присутствуютнесколько факторов одного порядка, все ониодновременно учтены в модели, или отброшены.IV.должныбытьилиУниверсальность математических моделей.Часто совсем разные естественнонаучные задачи приводят к сходнымматематическим моделям. Например, задача о диффузии вещества, задачатеплопроводности и задача об уровне грунтовых вод описываютсяодинаковыми уравнениями.

Исследовав одну математическую задачу, частоможно сделать выводы о решении и других физических задач. С другой7стороны, если Вы работаете с некоторой задачей, то ее решенияцелесообразно сравнивать с известными решениями других физическихзадач, приводящих к той же математической модели.Немецкий химик Лотке рассматривал процесс автокаталитическихреакций.ПримеромтакойреакцииможетслужитьреакцияCaO  2HF  CaF2  2H 2O . В этой реакции для того, чтобы разорватьH 2Oсвязь H   F  нужно присутствие полярных молекул воды растягивающихионы в разные стороны. Тем самым скорость реакции зависит от наличиямолекул воды – продуктаавтокаталитическими.реакции.ТакиереакцииназываютсяИсследовав реакцию A  X Y  B Лотке описал еепротекание уравнениямиXY dX dt  k1 XA  k2YX dY  k YX  k Y23 dtОн показал, что в этой реакции происходит колебательный процесс, вкотором концентрация компонентов X и Y периодически изменяется.Позже, занимаясь экологической задачей, исследователь Вольтерпредположил, что изменение популяции животных в системе «хищник- dx dt  ax   xyжертва» описывается сходными уравнениями  dy  bxy   y dtгде x – численность потенциальных жертв, а y – хищников.

Используярезультаты Лотке Вольтер пришел к выводу, что колебательный процессизменения численности популяции должен иметь место и в системе«хищник-жертва».8Из универсальности математических моделей следует универсальностьрезультатов. Если несколько, разных по физической природе процессовописываются сходной математической моделью, то очевидно, чтополученные с помощью этой модели результаты применимы ко всем этимпроцессам.При постановке математической задачи, тем более, если в нее входятнесколько уравнений и различные дополнительные условия, важно провестиизучение математического обоснования ее постановки.

Это включает в себя:- исследование внутренней непротиворечивости (не слишком ли многоусловий мы наложили на решение), т.е. вопрос существования решения;- выяснения вопроса единственности решения (не слишком ли малодополнительных условий мы задали);- выяснение вопроса устойчивости решения при изменении наложенныхдополнительных условий.9Глава 1.

Некоторые классические задачиматематической физики.§1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)Задачей Гурса называется задача гиперболического типа, в которойначальные условия заданы на характеристиках.2Ранее в курсе ММФ изучалась задача utt  a uxx с начальнымиусловиями, заданными при t  0 .

Характеристиками этого уравненияявляются прямые x  at . Поэтому, начальные условия задавались не нахарактеристиках, и, следовательно, рассматривавшаяся задача не являласьзадачей Гурса.Рассмотрим простейшую задачу Гурса:u xy  f  x, y  , x  0, y  0u  x,0   1  x u  0, y   2  y  0   02  1 (1)Проинтегрировав дважды исходное уравнение, получим решение этойзадачи:x y u d d  u  x, y   u  x,0   u  0, y   u  0,0  ,0 0Откудаx yu  x, y   1  x   2  y   1  0    f  ,  d d(2)0 010Рассмотрим общую задачу Гурса (в области x > 0, y > 0):u xy  a  x, y  u x  b  x, y  u y  c  x, y  u  f  x, y u  x,0   1  x u  0, y   2  y  0   02  1 (3)Здесь 1 и  2 , а также a , b , c и f - непрерывно-дифференцируемыефункции.

Перепишем уравнение (3) в следующем виде:uxy  f  x, y    a  x, y  ux  b  x, y  u y  c  x, y  u (4)Рассматривая правую часть уравнения (4), как неоднородность вуравнении (1), получаем из (2) следующую формулу:u  x, y   1  x   2  y   1  0  x y  f  ,   a  ,  u  b  ,  u  c  ,  u  d d(5)0 0Сделав переобозначениеx yF  x, y   1  x   2  y   1  0    f  ,  d d ,0 0и дифференцируя (5) по x и по y , приходим к системе интегральныхуравнений типа Вольтераx yu  x, y       a  ,  u  b  ,  u  c  ,  u  d  d  F  x, y 0 0yu x  x, y      a  x,  u  b  x,  u  c  x,  u  d  Fx  x, y 0xu y  x, y      a  , y  u  b  , y  u  c  , y  u  d   Fy  x, y 0(6)11относительно функций u ( x, y), ux ( x, y), u y ( x, y) .xКак известно, уравнение Вольтера z  x   K  x,   z   d  f  x 0может быть решено методом последовательных приближений.

Для этогорассматривают рекуррентную последовательность zn , удовлетворяющуюусловиям: zn1  Azn  f,z0 0где(7)xAzn   K  x,   zn   d . В курсе интегральных уравнений было0доказано, что последовательность zn равномерно сходится к некоторойфункции z, которая будет являться решением рассматриваемогоинтегрального уравнения. Докательство строится на последовательныхоценках для разности ( zi 1  zi ) .Внашемслучае,вводявектор-функцииU  u, ux , u y и  F , Fx , Fy  , систему уравнений (6) можно переписать в векторном виде:U  AU   ,(8)где оператор А определяется правой частью (6). Аналогично случаю одногоуравнения Вольтера, решение (8) может быть получено с помощью методапоследовательных приближений.

Вектор-функция U может быть найдена,какпределсходящейсяпоследовательностиUn ,определяемыхизрекуррентных соотношений:U n1  AU n  U 0  0(9)12При этом U n  U равномерно, т.е. каждая из компонент векторфункции U n равномерно сходится к соответствующей компоненте векторфункции U . Решение (6) существует и единственно.Метод доказательства этих утверждений такой же, как и для (7),однако в многомерном случае оценки сложнее. Более подробно их можноизучить в учебниках [1, 2].Непосредственным дифференцированием первого из уравнений (6) поx и y легко проверить, что функция u ( x, y ) - решение (6) удовлетворяетусловиям (3). Следовательно, решение (3) существует. Решение задачи (3)единственно.

Действительно, мы нигде не предполагали специального видарешения. Поэтому, для любого решения (3) можно провести преобразования,сделанные выше и прийти к системе уравнений (6), решение которойединственно.§2. Общая задача Коши для гиперболических уравнений.Постановка общей задачи Коши. Lu  u  a  x, y  u  b  x, y  u  c  x, y  u  f  x, y xyxyu C    x, y  u    x, y  n С(1)В этой задаче характеристиками уравнения будут прямые x  const иy  const .

На контур С наложим следующие условия:1)С – гладкая кривая;2)3)С – не является характеристикой;Любая характеристика пересекаетконтур С один раз (Рис.1).Рис.113Оператор K видаKv  vxy   av  x   bv  y  cv(2)называется сопряженным к оператору L .Нетрудно проверить, что vLu  uKv 1  Q P ,2  x y (3)где P  uvx  vu x  2buvQ  vu y  uv y  2auv(4)Проинтегрировав уравнение (3) по области D, и используя формулуГрина, получим:1  QP 1  vLu  uKv  dx dy  2   x  y  dx dy  2  Qdy  Pdx  DГDA11  Pdx 2 M02M0 Qdy B1  Qdy  Pdx 2 AB(5)Рассмотрим по отдельности интегралы, входящие в правую часть (5)AA Pdx    uvM0x vu x  2buv  dx M0A  uv uvx  2buv  dx  vu A 0 MxM0A 2  uRvdx  vu A 0M,M0где Rv  vx  bv14Аналогично, вводя оператор Tv  v y  av , преобразуем второй интеграл вправой части (5):M0M0BB0 Qdy  2  Tvudy  vu BMИспользуя (5) и полученные выражения имеем: vu  M0vu B  vu A2AM0M0B uRvdx   uTvdy (6)1  Pdx  Qdy   D  vLu  uKv  dxdy2 ABНа функцию v пока не было наложено никаких условий кромегладкости.

Поэтому можно выбрать функцию v так, чтобы максимальноупростить правую часть (6).Потребуем, чтобы было выполнено: Kv  0 Rv  v  bv  0 на M Ax0Tv  v y  av  0 на BM 0v  1в точке M 0(7)ПОЧЕМУ ЭТИ ОТРЕЗКИ - ХАРАКТЕРИСТИКИ?Функцией Римана v  v  M , M 0  называется функция, являющаясярешением задачи (7).Задача (7) является задачей с данными на характеристиках – задачейГурса. Эта задача была рассмотрена ранее. Ее решение существует иединственно.Считая функцию Римана известной, подставим ее в выражение (6) иполучим решение задачи (1) в виде:15u M0  vu A  vu B2  vfdxdy D1  Pdx  Qdy 2 AB(8)Для расчета последнего интеграла в (8) по контуру С между точками Aи B, нужно представить частные производные функции u в следующемвиде:u x  u cos  x,   un cos  x, n u y  u cos  y,   un cos  y, n Значения un и u определяются условиями накривой С в задаче (1).Формула (8) является обобщением формулы Даламбера.

Характеристики

Список файлов книги