Часть 1 (1133434), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Пусть вначальный момент времени70при x  02,u  x,0     x   2  x, при 1  x  21,при x  1(16)Требуется найти решение задачи (15), (16) при t  0 .Решим поставленную задачу. Для классического решения наклонпроекции характеристик на плоскость (x,t) определяется соотношениями(12).

В рассматриваемом примере имеем: u( x, t )   ( x*) для x  x *  ( x*) t .Отсюдаu  2,x  x*  2tпри x*  0u  2  x*,u  1,x  x*  (2  x*)t при 0  x*  1x  x*  tпри 1  x *(17)При t  1 все проекции характеристик, для которых 0  x*  1 сходятсяв точке x  2 .

При t  1 мы должны искать обобщенное решение, состоящееиз двух классических, сшитых по линииразрываначинаетсяx   t  .вточкеЛинияразрыва( t  1, x  2 )иопределяется условием Гюгонио (14):d (u2 / 2)  u2  (u1 / 2)  u1 u2  u1 3dt2u2  u12Проекции характеристик сходятся с двух сторон к линии разрыварешения.71§2. Нелинейное уравнение теплопроводности.ВкурсеММФизучаласьзадачаКошидляуравнениятеплопроводности с постоянным коэффициентом а:ut  a 2u xxu ( x,0)   ( x)БылаG ( x,  , t )   x   , t  0построена12 at( x  )2e 4a tфункция(1)влиянияточечногоисточника2иполученорешение:u ( x, t )   ( )  G( x, , t )d .Какизвестно,функцияGописываеттемпературу в точке х, если в точке  в момент t  0 был произведен нагрев.Видно, что G  0 даже при малых t  0 сразу для всех  и х.

Это нереальнос точки зрения физики, поскольку процесс распространения тепла в природеидет с конечной скоростью, вследствие конечной скорости движениямолекул. Этот фактор не отражен в модели (1) – модель рассчитана наописание процессов теплопередачи в пространственно - временныхмасштабах, в которых ограниченностью скорости передачи тепла можнопренебречь.Но возникает следующий вопрос.

Решение было построено впредположении наличия непрерывных производных по х. Может быть этобыло сделано «в угоду математике», а насамом деле можно было бы искать финитноерешение, с разрывной производной, отличноеот нуля лишь в некоторой расширяющейся современем окрестности точки  , в которойбыл произведен нагрев. А именно, в виде,изображенном на рисунке. Легко убедится, что это не так. Действительно,72поток тепла q  ku. Поэтому в точках x1 и x1 на рисунке нарушеноdxфизическое условие непрерывности теплового потока.

В силу этого условия,в задаче (1) нельзя искать решение, имеющее разрыв производнойuприxt  0.Ситуацияменяетсяеслирассматривать задачу снелинейнымуравнением ut  (k (u )u x ) x , где k (u )  0 при u  0 . В этом случае разрыватеплового потока в точках x1 и x1 , изображенных на рисунке не происходит.С обеих сторон этих точек предельное значение потока q  k (u )uравноdxнулю.Следовательно, в случае указанного нелинейного уравнения можноискать финитные решения, что будет продемонстрировано в последующихпунктах.Уравнение Буссинеска. Задача о наводнении.Рассмотрим такую задачу. Пусть имеется озеро и деревня, так какизображено на рисунке.

Под ними расположен гидроупорный слой (глина),показанный жирной линией.Пустьu ( x, t )грунтовойводыуровеньнадгидроупором в области x  0 .Пусть весной, к моменту t  0вода в озере поднялась донулевой отметки и продолжаетприбывать позакону u (0, t )  kt . Ставится вопрос о том, как быстрозатопление дойдет до деревни, расположенной на высоте h над гидроупороми имеющей координату x  L .73Сначала получим уравнение, описывающее изменение u. Рассмотримвертикальное сечение земли от дневной поверхности до гидроупора.Плотность горизонтального потокаводы равнаq  Dдавление, а DP, где Р –x- коэффициентпроводимости среды. Рассмотримнекоторуювысоту0 z u.Давление на этой высотеравноP( z )   g (u  z )где,-плотность воды, а g - ускорение свободного падения.

Следовательно,uи от z не зависит. Поэтому полный поток, идущий черезxuсечение будет равен Q   D g  u. Интегральное уравнение балансаxводы в слое от x до x  x за время от t до t  t будет:q   D gx x   u  , t  t   u  , t   d xt tu  x,  u  x,   Dgux,ux, dxxtгде  - порозность среды.

Делим уравнение на x и t и устремляем их кнулю. Получаем дифференциальное уравнение, описывающее высоту уровнягрунтовой воды над гидроупором, называемое уравнением Буссинеска:ut D g uu x  xСделаем замену переменной  времени). Обозначаемt , (т.е. введем новый масштабD gk, как K. Получаем математическая модель gDпроцесса:74u   uu x  xu  x,0   0u  0,   K(2)Согласно предыдущему пункту, мы имеем право искать решение,имеющее перелом производной при u  0 . Ищем решение задачи (2) вавтомодельном виде движущейся волныu  f  v  x  при v  x  0,при v  x  0u  0(3)где v постоянная скорость, подлежащая определению. Подставив такой видрешения в (2), получаем уравнение в обыкновенных производных дляопределения функции f ( ) , где   v  x :vf    ff  Интегрируем это уравнение от нуля до некоторого   0 .

Имеем:vf  ff  . Откудаf   v Из граничного условия задачи (2), находимфункциональный вид f : u  0,   K  f  v  0  . Отсюда f ( ) Используя равенство f   v , имеем:K.vK v . Следовательно v  K , аvf ( )   K . Получаем решение задачи (2):u  x,   K  K x при x  Kпри x  Ku  x,   0Наводнение дойдет до деревни при  , которое определяетсяравенством h  K  K L .75Нелинейная модель горения.Часто мощность источников тепла зависит от температуры. Например,в плохо горящем костре выделение тепла дровами слабое, а когда костерразгорится, то те же дрова выделяют много энергии. Передача тепла частоимеет конвективный характер. При этом коэффициент теплопроводностизависит от интенсивности конвективных процессов - тем самым оттемпературы.Рассмотрим уравнение ut  u 2u xx  u(4)Будем искать автомодельные решения этого уравнения для разных значенийпараметра  .1) Пусть   3В этом случае уравнение (4) заменой u  x, t    xT tприводится куравнению в обыкновенных производных:    2 2   2  1 2 .

Егорешением является функция   x  33 x cos . Обозначим , как x0 .223Получаем, что решением задачи: u  u 2u u3txx 3 x cos u( x,0)   2 T 30при x  x0при x  x0является функция:76 x  3 cos  3 ,u  x, t   T t 20,Выражение(5)при x  x0(5)при x  x0описываетструктуруфиксированнойширины,величина которой бесконечно возрастает за конечное время. Решения,обладающие последним свойством, называются решениями с обострением.2) Пусть   2В этом случае сделаем другую замену, а именно u  x, t    T t, где  x T  t . Такая замена приводит уравнение (4) к уравнению вобыкновенных производных.  2    2  2  0(6)Из (6) видно, что функция    является четной, поэтому    0   0 .При   0 уравнение (6) преобразуется к виду:  2 ''  2    0 . Выбрав (0)  1 , получаем, что вторая производная  ''(0)следовательно, в точке   0 расположен максимум.Существуетрешение   ,удовлетворяющееотрицательна,уравнению(6),положительное на некотором интервале (0 , 0 ) и равное нулю при   0 .Само решение и значение  0 можно найти численно.При   0 , пренебрегая в (6) малыми членами, имеем: 2  Решениепоследнегоуравненияведетсебя,как ( ) 2 0.1 20   2 .2Следовательно,  '(0  0)  0 .77Строим решение u  x, t   x T t , где    определяется на интервалеT t(0 , 0 ) из (6) и  ( )  0 при   0 .

Такая функция u  x, t  имеет разрывпроизводной по x в точке x Найденноерешение,0T t, где решение обращается в ноль.образуетрасширяется пропорционально1T tлокальнуюструктуру,которая, и неограниченно возрастает вцентре за конечное время.3) Пусть   4В этом случае сделаем замену u  x, t    T  t 1/3, где  xT  t 1/6.При этом уравнение (4) преобразуется к виду: 2    4  1 6 3Качественный вид решения этого уравнения представлен на рисунке.Имеем нелокальный процесс с обострением в центре структуры. Можнопоказать, что при x  0 решение растет, оставаясь конечным.Модель большого взрыва.Баренблаттом и Зельдовичем была рассмотрена и исследована следующая,одномерная по пространственным координатам, модель большого взрыва,78положившего начало движения вещества во вселенной. Пусть в начальныймомент времени масса вселенной М была сосредоточена в одной точкеx  0 . Распространение вещества после взрыва авторы описали моделью: u  u 2ux txu  0, x     x  M(7)x2Сделаем замену координат  tавтомодельномu  x, t  виде:  t1/ 4,и будем искать решение вгде   -произвольнаядифференцируемая функция.

Нетрудно проверить, что для такого u, прилюбом выборе    , выполнено: ut   uвиду:  ux . Уравнение (7) приводится к4t  xx2  u u x . Интегрируя это уравнение по x, используя4t  xxискомый вид u, получаем: x2x 2   . Отсюда 8 '  1.1/ 4 4t5/ 4ttИщем решение последнего уравнения в виде финитной функции,имеющей разрыв производной при   0 . Таким решением является10   , 0 .2функция     max Мы получили следующее решение задачи (7):21x 0 t2, при x  0 t1/4u  x, t   t1/40,при x  0 t1/479где 0 - величина, определяющая границу возмущения.

Ее можноопределить из второго уравнения системы (7). Условие нормировки будет:M u  x, t  dx  20 t1/4t01 0 0   d  0202100dx  2 1/4010   / 2td   01/4d t1/4  3.8Отсюда находим 0 , тем самым решение полностью определено.§3. Модель «Хищник-Жертва»Рассмотрим модель Вольтера для задачи «хищник-жертва». Пусть x число зайцев, а y - число волков. Изменение числа зайцев во временипроисходит за счет двух факторов – рождения новых зайцев, чтопропорционально количеству живущих зайцев, и смерти за счет встречи сволками. Количество встреч пропорционально произведению числа зайцев иволков.

Характеристики

Список файлов книги