Часть 1 (1133434), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

рис. 1). Отсюда и из граничныхусловий (5), получаем: an   0  0 . В результате, в заштрихованной областиимеем задачу:a  ka  a  0a  an  0 при     0Согласно формуле (8) из §2, значение a в любой точке М0,принадлежащей заштрихованной области, определяется заданными(нулевыми в данном случае) условиями на отрезке АВ – основаниихарактеристического треугольника М0АВ. Отсюда а равно нулю всюду взаштрихованной области. По непрерывности a  0 при   0 .На границе   0 , согласно (4), выполнено:a  u0  (a) , a 0  0Обозначимрешениеэтой(6)задачи,какQ( ) .Тогдавобласти  0,   0 получаем задачу: a  a   '(a)a  0a 0, a  0  Q( )  0(7)25к исследованию решения которой мы и перейдем.Рассмотрим линейный случай - задачу с изотермой Генри, инелинейный случай – задачу с изотермой Ленгмюра.Линейный случай.Пусть   u   u , соответственно  (a)  a / Г .

Для этого случаярешаем задачу (6) и подставляем найденную функцию Q   в (7). Получаемзадачу Гурса:a  a  a / Г  0 a 0  0, a  0  Гu0 (1  e / Г )Для простоты записи введем новую переменную    / Г и выберембез ограничения общности (задача линейна) значение u0 таким, что Гu0  1 .Тогда в области   0 ,   0 имеем:a  a  a  0 a 0, a  0  1  e   0(8)Делаем замену функции: a  ze(  ) . Вычисляя производные z по и  , подставляя их в (8), получаем:z z0 z  0  0, z  0  e  1Функция Римана для этой задачи былапостроена в §2. Она имеет вид: v( , , 1,1 )  I 0 2 (  1 )(  1 ) , где I0 функция Инфельда нулевого порядка.

Согласно (8) из §2 имеем:26B( zv ) A  ( zv ) B 1z (1, 1 )   ( zv  vz )d   ( vz  zv )d  22Ae1  1 1e1  1  zv   1 , 0 1  vz  zv   0 d   vz   0 d 22220 0, 0011  e I 0 2 1 (1   ) d0Отсюда находим, что решение задачи (7) выражается формулой:a (1, 1 )  ze (1 1 )1  e  (1  ) e 1 I 0 2 1 (1   ) d 0e11e I 0 2 1 d0На рисунке изображен видрешения для нескольких моментоввремени  .

Значение концентрациицелевого компонентав фазесорбента на границе (входе всорбционную колонку) со временем возрастает до 1, фронт распространениякомпонента продвигается вдоль колонки, расплываясь.Нелинейный случай.Рассмотрим случай изотермы Ленгмюраa   (u ) k1u.ukКоэффициент k1 - это максимальноеколичество компонента в сорбированной фазе,соответствующее u   . ( 0  a  k1 ).

ОбратнаяРис. 2.27зависимость равновесного значения u от a имеет вид u   (a) ka.k1  ak1k 0,Последняя зависимость показана на рисунке. Находим  '( a )  '' 2k1k(k1  a )3Рассмотрим(k1  a )2 0.качественныйхарактеррешенияуравнений задачи (4) в этом случае. Пусть профильa, как функции  , имеет вид плавно убывающейфункции. Тогда, u   (a) . Из первого уравненияa  u  0a  '(a)a  0 . Это -получаем:квазилинейное уравнение.Как известно из курса дифференциальных уравнений (и будет намиобсуждаться в §1 Главы 2), в этом уравнении  '(a) - коэффициент, стоящийпри a - имеет смысл скорости переноса со временем значения a вдоль оси .

Поскольку  '(a) растущая функция a, то большие значениям aпереносятся быстрее. Фронт становиться болеекрутым. Однако изуравнения кинетики следует, что a  u  u  (a)  umax . Следовательно,крутизна фронта ограничена. Решение выходит на режим бегущей волныa  f (  v ) , когда образуется некоторый установившийся профиль,переносимыйвдольоси.Численноемоделированиепроцесса,подтверждает приведенные качественные соображения.Определим вид функции f.

Для этого рассмотрим решение в формебегущей волны a  f (  v ) следующей задачи на бесконечном участке     :a  a   '(a)a  0a a0 , a    0  (9)Подставляя искомый вид решения в условия (9) получаем:28 vf '' vf ' '( f ) f '  0 f ()  a0 , f '()  f ()  f '()  0(10)Интегрируя уравнение (10) от  до  , имеем: va0   (a0 ) . Отсюданаходим скорость переноса: v  (a0 )a0. Интегрируя уравнение (10) от  до , получаем: vf '( )  vf ( )  ( f ( ))  0 . Используя найденное значениеv, имеем: (a0 ) df (a0 ) ( f ) f.a0 da0Это уравнение определяет профиль бегущей волны f ( ) . Значениеправой части уравнения равно длине вертикального отрезка между прямой икривой, соединяющих точку 0 с точкой ( (a0 , (a0 )) , на рис.

2.Видно, что производнаяdfотрицательна,dмала при a  0 и a  a0 и возрастает по модулю всредней части интервала значений a.Итак, сравнивая результаты, полученные длялинейного и нелинейного случаев, видим, что влинейномслучаефронтволныконцентрациипредставляетсобойпродвигающийся по сорбционной колонке расплывающийся профиль. Внелинейном случае образуется бегущая волна постоянного профиля.Образование подобных структур имеет место во многих нелинейныхзадачах.§4. Метод подобия. Задача СтефанаМетод подобияВ некоторых физических задачах уравнения и дополнительныеусловия сохраняются, если переменные xi изменить в некоторой пропорции.29В этом случае целесообразно применять метод подобия, позволяющийуменьшать число переменных, взяв в качестве новых переменныхкомбинацию старых.

Рассмотрим этот прием на примере известной намодномерной задачи теплопроводности в бесконечной области   x   :ut  a 2u xx1, x  0ux,00, x  0(1)Заметим, что при умножении переменной t на k 2 и переменной x наk все уравнения сохраняются. Поэтому можем искать решение в видеxx z . Ищем решение в форме. Обозначимt2a tфункции переменнойu  f z.Тогдаfпервоеуравнениесистемы(1)будетвыглядетьтак:z1 a 2 f  2 , а все система (1) приводится к виду:2t4a t f   2 zf  f     0 f   1(2)Задача (2) легко решается.

Имеем: f   Ce z2zx. Отсюда f  z   C e dx .2Константу C определяем подстановкой решения в правое граничноеусловие:f     1  C  e x dx  C  . Следовательно, C 21.Таким образом:f z 1zx e dx 211    z  2(3)30где  - интеграл ошибок. И, наконец, возвращаясь к исходным переменным,получаем известное решение задачи:1 xu  x, t    1   2 2a tЕсли исходное уравнение нелинейно, то взаимосвязь междупеременными помогает свести уравнение в частных производных куравнению в обыкновенных производных. Рассмотрим следующую задачу:ut   k  u  u x x1, x  0ux,00, x  0Заменойx2 t(4) z система приводится к виду: k  f  f   2 zf  f     0 f     1(5)Полученное уравнение в системе (5) также является нелинейным,поэтому аналитически его решить не представляется возможным.

Однакоисследовать и численно решить задачу (5) заметно легче, чем исходнуюзадачу (4).Задача Стефана (задача о фазовом переходе)Задачей Стефана называется задача о распространении тепла в двухсоприкасающихся областях, граница между которыми может перемещатьсявследствие фазового перехода.Рассмотрим эту задачу на примере процессаоттаивания мерзлой земли. Пусть везде в почве, нижедневнойповерхности,начальнаятемпература31отрицательная и равная C  0 , а на поверхности, начиная с моментавремени t  0 , температура положительная, постоянная и равная C  0 . Стечением времени земля прогревается вглубь и при достижении нулевойтемпературы – оттаивает.

Требуется определить температурный профильпочвы и скорость движения границы, отмеченной на рис. координатой ξ, накоторой температура равна нулю и происходит переход воды из фазы льда вфазу жидкости.Физические коэффициенты у замерзшей и оттаявшей земли различны.Поэтому для описания теплопереноса в этих зонах будем рассматриватьотдельно температуру u1 - для x < ξ и u2 - для x > ξ.Учтем, что фазовый переход требует затрат тепла. Пусть  - скрытаятеплота плавления. Тогда процесс можно описать следующей моделью:2 u12  u10 x t  a1 x 2 ,2 u22  u2  x t  a2 x 2 ,u1  , t   u2  , t   0u2  u1kk,2 1 xx  x tuu2 t 0  C   01 x  0  C  0,(6)t 00Исходя из соображений подобия, будем искать решение в видеui  fi  z  , где i  1,2 , а z x2 tгранице фазового перехода, как  2 t. Обозначим значение z, соответствующее .

Тогда(7)Подставляя такой вид решения в (6), получим следующую системууравнений:32a 2 f   2 zf  , 0  z  1 1 1a22 f 2  2 zf 2 ,   z   f1    f 2    0 2 k1 f1  k2 f 2z  f1  0   C   0 f 2     C  0(8)Решение последней задачи будем искать в виде: zfCp 11  a1  f  C   p 1    z   2 2 a2  При таком выборе формы решения, функцииf i удовлетворяютуравнениям теплопроводности (См. переход от (2) к (3)), а также выполненыусловия при z  0 и z   .

Для определения значений параметров pi ииспользуем оставшиеся третье и четвертое уравнение системы (8).Получаем: C   p1     0 a1    C  p2 1       0 a2  22     k1 p1  a1  k2 p2  a2 ee2 aa22 1Выражая(9)p1 и p2 из первых двух уравнений этой системы иподставляя их в третье уравнение, получаем алгебраическое уравнение дляопределения параметра  :33   a1 2   a2 2k1C  ek 2C  e  a1a2   1  a 1 a2 Заметим, что с ростом(10) числитель первого слагаемого убывает, азнаменатель – растет. Таким образом, первое слагаемое левой частиуравнения (10) монотонно убывает с ростом  . Нетрудно также проверить,что и второе слагаемое также монотонно убывает (оно являетсяотрицательным и монотонно растет по модулю).

Характеристики

Список файлов книги