Часть 1 (1133434), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Кроме того, как известно, уравнения (3)имеют два первых интеграла, то есть такие функции 1,2 ( x, y, t ) , которыесохраняют на решениях (3) постоянные значения. Для точек ( x, y, t ) ,лежащих на фиксированной характеристике 1  C1,  2  C2 . Поэтомуимеется однозначное соответствие точек ( x, y, t ) и значений (C1, C2 , t ) .Последние можно выбрать, как новые координаты.Фиксируем некоторую характеристику  и посчитаем производную uпо t вдоль нее. Используя (3), получимduu u dx u dy uuu a  b . Следовательно, задачаdt  t x dt y dt txy(2) в новых координатах имеет вид: du gu  f  C const dt1,2u ( M *)   ( M *)(5)где M * - точка пересечения выбранной характеристики с поверхностью  .Таким образом, задача свелась к решению задачи Коши для обыкновенногодифференциального уравнения.

Решаем эту задачу, после этого делаемобратный переход к старым координатам и получаем решение задачи (2).63В случае, когда каждая характеристика в D пересекает поверхность  ,причем только один раз, решение (5), а, следовательно, и (2) существует иединственно. Если какая то характеристика не пересекает  , то решение наней не единственно. Если характеристика пересекает  более одного раза, торешение (2) может не существовать.Замечание 1.

Если g  f  0 , то уравнение задачи (2), эквивалентно du, то есть представляет собой закон сохранения u вдоль 0 dt C1,2 constхарактеристики.Замечание 2. В уравнении (2) присутствуют производные u понезависимым переменным. Тем самым, под решением (2) понимаетсягладкая функция. После перехода к (5) требование непрерывности решенияпри переходе от одной характеристике к другой снимается. Если функция имеет разрывы, то можно рассматривать решения (5), как обобщенныерешения (2), имеющие разрывы вдоль характеристик, проходящих черезточки разрыва функции  .Квазилинейное уравнение.Обратимся к задаче Коши для случая квазилинейного уравнения.

Дляпростоты рисунков рассмотрим случай двух независимых переменных.Пусть кривая, на которой заданы дополнительные условия, определяетсясоотношением ( x, t )  0 . Рассмотрим задачу:u uax,t,u R  x, t , u  txu Ф x ,t 0    x, t   гдефункцииa  x, t , u и(6)R  x, t , u являютсянепрерывнодифференцируемыми функциями своих аргументов.64Будем искать решение этой задачи, полагая, что оно удовлетворяетуравнениюv  x, t , u   0(7)где v  x, t , u  некоторая, подлежащая определению, функция.

При этомv 0 . Из (7), можно определить частные производные:uuuv vv v. Используя (6), получим задачу, которой,t ux utxудовлетворяет функция v.предполагаем, чтоvv vax,t,uRx,t,u0 txuv( x, t , ( x, t ))0 ( x ,t ) 0(8)Уравнение задачи (8) является линейным относительно функцииv  x, t , u  , поскольку коэффициенты a  x, t , u  и R  x, t , u  от нее не зависят.Соответствующие уравнения характеристик имеют вид:dt dxdua  x, t , u  R  x , t , u (9)В рассматриваемом случае характеристики являются кривыми впространствеx, t , u , включающим в качестве координат не тольконезависимые переменные x, t , но и u.

Этим характеристики квазилинейногоуравнения отличаются от линейного случая, где они были кривыми впространстве только независимых переменных. Из (9) имеем два первыхинтеграла: 1  x, t , u  и  2  x, t , u  .Уравнение(8)выражаетсобойзаконсохраненияvвдольхарактеристик.65Рассмотрим характеристики,на которых v  0 . Они образуютнекоторуюповерхностьпространстве( x, t , u ) .Навэтойповерхности лежит кривая  , накоторой заданы дополнительныезначения,задаваемыевторымсоотношением в (8). На  точки( x, t , u )связаныусловиями:( x, t )  0, u   ( x, t ) .Выберем произвольную точку ( x, t , u ) на поверхности  .

Проведемчерез эту точку характеристику до пересечения скривой  . Обозначим точкупересечения, как ( x*, t*, u*) . Значение u*   ( x*, t*) . Поскольку первыеинтегралы сохраняют свои значения на характеристиках, то получаем:1( x, t , u )  1( x*, t*, ( x*, t*)) 2 ( x, t , u )   2 ( x*, t*, ( x*, t*))( x*, t*)  0(10)Исключая x * и t * из этой системы, получаем алгебраическоесоотношение, связывающее u, x, t между собой, т.е. решение задачи (6).Метод характеристик.Рассмотрим задачуu u t  a  x, t , u  x  0u t 0    x   x   , t  0(11)Пусть u некоторое решение уравнения (11).

Зафиксируем его. Тогда aпредставляет собой определенную функцию от x и t:66a  a( x, t, u( x, t ))  a( x, t ) . Рассмотрим решение линейного уравненияut  a  x, t  u x  0 . Согласно замечанию 1 любое решение u такогоуравнения сохраняется на кривых, удовлетворяющих соотношению dt dx.aВ том числе, сохраняется и u . Поскольку в качестве u можно выбратьлюбое решения уравнения (11), то получаем, что любое решение udx a  x, t , u  .dtпостоянно на кривойВыберем некоторое x * . Согласно (11)u( x*,0)   ( x*) . Учитываясказанное, получаем, что u постоянно и равно  ( x*) на кривойdx a( x, t , ( x*))dtx t 0  x *(12)В случае, когда a  a(u ) из (12) получаем u( x, t )   ( x*) дляx  x * a  ( x*)  t .Итак,заключаетсяметодхарактеристиквследующем.Дляпостроения решения задачи (11) принекотором t1  0 нужно через различныеточки x * , лежащие на прямой t  0провести кривые, удовлетворяющие (12),допересеченияспрямойt  t1.

В точках пересечения значенияu( x, t1)   ( x*) .Заметим,чтоуравнениезадачи(11)являетсяквазилинейнымуравнением. Его характеристики – кривые в пространстве ( x, t , u ) определяется условиями:dt dx,a  x, t , u u  const67Разрывы решения.Обратим внимание на следующее обстоятельство. Пусть мы решаемзадачуu uau0 txu t 0    x   x   , t  0(13)где  - монотонно убывающая функция х, а a монотонно растущая функцияu. Согласно (12) проекции характеристик квазилинейного уравнения (13)имеют наклон:x*dx a( ( x*)) , гдеdtкоординатапересеченииt  0 .

Приуказанном характере изменения проекцииси a значениеосьюdxтем меньше, чемdtбольше x * . Это означает, что принекотором t наступит пересечение проекции характеристик (См. рис).Пусть в точке ( x, t ) пересеклись проекции характеристик, на которыхu  u1   ( x1* ) и u  u2   ( x2* ) . (Характеристики прошли «на разной высотеu» над плоскостью координат (x,t) в трехмерном пространстве ( x, t , u) ).Тогда, согласно (7), v( x, t , u1)  v( x, t , u2 )  0 . Это означает, что принекотором u3  (u1, u2 ) будет нарушено условиеv( x, t , u3 )  0 , используяuкоторое строился метод решения задачи (6).68Рассмотренная ситуация типична для квазилинейных уравнений.

Длятаких уравнений производнаяdxна характеристиках зависит не толькоdtвыбора точки ( x, t ) , как в случае линейных уравнений, но и от решения u нарассматриваемой характеристики. Поэтому проекции характеристик наплоскость ( x, t ) могут пересекаться.На следующем рисунке показано изменение профиля решения (13) от хдля различных моментов t. Чем больше u,тем с большей скоростью происходитперемещение этого значения вдоль х. Вмомент t в точке x фронт становитьсяотвесным – происходит образованиеразрыва решения и ударной волны.При t  t классического решения, всюду гладкого по х, не существует.Следует рассматривать так называемое обобщенное решение.

Обобщенноерешение при t  t представляет собой классические решения, прилегающиес двух сторон к некоторой кривой разрыва решения x    t  . Криваяx    t  определяется законом сохранения (1), на базе которого полученодифференциальное уравнение (13).А именно, пусть разрыв, на одномберегу которого u  u1 , а на другом u  u2 , завремяtизменениепродвинулсянаколичестваx . Тогдавещества(заштрихованная зона на рисунке) равноразности входящего и выходящего потоков:(u2  u1)x   q(u2 )u2  q(u1)u1  t .69Отсюда скорость движения разрыва v разр dx= limзадаетсяtdtt 0уравнением:v разр  q(u2 )u2  q(u1)u1u2  u1(14)Последнее уравнение называется условием Гюгонио.

Оно выражаетсобой условие сохранения вещества на фронте ударной волны.Пример.Рассмотрим методологию решения задачи на примере задачи опротекании воды сквозь песок. Пусть x - вертикальная координата,возрастающая вниз; t - время; u  x, t  - влажность песка; q - скоростьстекания воды под действием силы тяжести. Скорость q зависит отu, а влажность u меняется от нуля до некоторого2максимального значения umax , которое определяется пористостью песка. Длявлажности. Пусть q гладкой функции u  x, t  соотношение баланса количества воды (1),приводит к дифференциальному уравнению:u   q u u   0t xС учетом конкретного вида функции q  u  получаем квазилинейноеуравнение:uuu0tx(15)Рассмотрим задачу на бесконечном участке   x   .

Характеристики

Список файлов книги