Часть 1 (1133434), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Рассмотрим принцип парциальногоизлучения позволяющий, в определенных случаях, свести задачу к расчету вограниченной области.Задача в волноводеПусть в волноводе имеется вставка, в которой диэлектрическаяпроницаемость и проводимость отличны от остальной части волновода.Электромагнитные колебания описываются уравнениями Максвелла:1 D 4rotHjc tcrotE   1 Hc tdivH  0divD  4  0 j E D   E46Первое уравнение продифференцируем по времени и поделим на c . Навторое уравнение подействуем оператором rot. Результат сложим. Получимследующее дифференциальное уравнение второго порядка: 2 Ec t 24 E c rotrotE  c  grad divE  E ctПолагая вектор Eуравнению с затуханием: 2 Ec 2 t 2- поляризованным, приходим к волновому4 E Ec 2 tСчитая проводимость  стенок волновода бесконечно высокой, а токиконечными, из соотношения j   E получаем граничное условие: E 0,где  - поверхность волновода.i  tРешение E ищем в виде: E  u  M  e .

Тогда приходим к задаче для u:u  k 2u  0u   0222где k  k  ik , k 22k (11) 2c20 и4 0 . Для простоты будем рассматривать двумерный поc2пространственным координатам случай. 2u  2uТогда  u  2  2 . В области вставки, заштрихованной наxyрисунке, 0  x  a и 0  y  b .47Постановка парциальных условий излучения.Волну видаE    y  ei x eitбудем называть регулярной. Ейсоответствует u  M     y  ei  x . У движущихся слева направо регулярныхволн Re   0 . У волн, движущихся в противоположном направлении,Re   0 .

Подставляя амплитуду волны u  M     y  ei x в систему (11),получим задачу Штурма-Лиувилля для нахождения функции   y  : 222 2    k     0 y  0     b   0(12)Решая эту задачу, находим последовательность собственных значений2n n и собственных функций  n  k  ,siny  , n N .nb b  b 22n Заметим, что   k   лежит либо в первой, либо во второй b 22n2четверти комплексной плоскости. Поэтому, извлекая квадратный корень,получаем, что само число  n лежит либо в первой, либо в третьей четвертикомплексной плоскости.

Таким образом,  n   n1  i n2 , где  n1 n2  0 . Будемвыбирать из двух получившихся чисел  n такое, чтобы  n1  0 и  n2  0 .Пустьслеванавставкупадаетпространственная часть которой u0  Aeзаданнаярегулярнаяволна,i n xo n o  y  . Требуется поставитьзадачу для u так, чтобы от вставки расходились отраженные волны, но небылодругихприходящихизвневолн,кромезаданной.оставляющиетолькоотраженныеволны,былиА.Г.

Свешниковым. Задача выглядит следующим образом:Условия,предложены48  u  k 2u  0u y 0  u y b  0b  u    i nu   n  y  dy  2iA no  nno x 0 0  xb  u  i u    y  dy  0n n   xxa0где n(13), а  nno - символ Кронекера.Два последних соотношения в (13) называются парциальнымиусловиями излучения. Первое из них отсекает все другие волны,движущиеся в сечении x  0 слева направо, кроме заданной падающейгармоники.

Действительно, в этом уравнении для u  Cn n ( y )ei  n x , гдеx  0 равно 2Cni n n 2 ( y) .n  n0 , подынтегральное выражение приСледовательно, интеграл будет равен нулю лишь при Cn  0 . Аналогично,последнее условие в (13) оставляет в сечении x  a только волны, уходящиеот вставки.2Покажем (взяв для простоты случай k 2  0 ), что решение задачи (13)единственно. Действительно, пусть существуют два различных решения u 1 иu 2 . Тогда разность этих решенийw  u1  u2 будет удовлетворятьоднородной системе (13):w  k 2 w  0 w y  0  w y b  0b  w i n w   n  y  dy  0  x 0 0  xb  w  i n w   n  y  dy  0 0  x x a(14)49Умножим первое уравнение (14) на комплексно-сопряженную к wфункцию w* , проинтегрируем по области D и применим первую формулуГрина:0     w  k 2 w  w* dV D(15)b b * w22* w2wdywdywdV    k w dVx x0x xa0D 0 DЗнак «минус» в первом интегралеправой части (15) появился при учетенаправления нормали к поверхности (см.рисунок).Так как  n - собственные функциизадачи Штурма-Лиувилля (11), то они образуют полную систему функций.Разложим по ним функцию w на границе области D : w x0 w xa   Dn n .

Поскольку  n вещественны, тоn 1C n 1nиn*wx 0  Cn* nиn 1*wx a  Dn* n .n 1Используя эти разложения и последние соотношения в (14), имеем:wwww wdy   w*dy   Cn*  n dy   Dn*  n dy xxxxnnx 0x ax 0x a0000bbbb*bb  C  (iw) x0  n dy   D  (iw) xa  n dy *nn*n0n0 i  C    Cm m   n n dy  i  Dn*    Dm m   n n dynn0 m0 mbb*nbТ.к.  n  - ортонормированная система, то  m n dy   nm .

Имеем:050ww22 wdy   w*dy  i   n Cn  i   n Dnx x0x xann00bb*Используя полученное равенство, преобразуем (15). Получаем:   w  k w w2D*dV   k 2 w  w22 dV  i  CDnnn2 Dn20Приравнивая нулю мнимую часть, имеем k 2 w 2  dV   C 2  D 2  0n n nnD  2 Откуда w  0 , а значит, решение (13) единственно.§6.

Математические модели жидких вязких сред.Силы, возникающие при движении жидкости, делятся на два основныхтипа: массовые и поверхностные. Силы, распределенные по объему ипропорциональные массам частиц, называются массовыми (напр. силатяжести). Если F - вектор массовой силы, отнесенный к единице массы, тона элемент объема d действует сила F  d , где   плотность жидкости.На элемент поверхности dS любого выделенного объема жидкости, понормали к поверхности, действует сила давления Pn  dS  p , где p давление.При движении вязкой жидкости, кроме того, действует касательная кповерхности составляющая, называемая силой внутреннего трения (силойвязкости), которая проявляет себя в виде сопротивления жидкости процессудеформации.Идеальной жидкостью называется жидкость, в которой отсутствуютсилы внутреннего трения.51Основные уравнения.Изменение массы жидкости в некотором объеме V происходит за счетвыхода или входа потока  vn через поверхность S.

Отсюдаd dt d    vn d     div v  dVSVВ силу произвольности объема V , получаем уравнение непрерывностиd div v  0dt(1)В случае несжимаемой жидкости, при   const , из (1) имеем:divv  0(2)Далее мы будем рассматривать изменение скорости потока. При этомсправедливо соотношение:dv v 3  3 vi dx j  v 3  3 vi  v 3  3  ei vi   ei    ei vj   vjdt t i 1  j 1 x j dt  t i 1  j 1 x j  t j 1 x j  i 1где vi составляющая скорости в направлении ei . Следовательноdv v v,vdt t(3)В случае идеальной (то есть невязкой) жидкости закон Ньютона дляэлементарного объема V имеет вид:Vdvd    Fd   np d    Fd   p ddtVSVVВ силу произвольности объема V , получаемv1  v ,   v  F  gradpt(4)52Это уравнение называется уравнением Эйлера.

В случае, когдаплотность жидкости меняется с давлением (баротропная среда), чтобыполучить замкнутую систему, уравнение (4) нужно дополнить уравнениемсостояния   ( p) .В случае вязкой среды в правую часть (4) добавляется слагаемое,учитывающее силу вязкого трения в жидкости. Для несжимаемыхжидкостей, в случае, когда сила внутреннего трения пропорциональнаразности скоростей слоев, между которыми возникает трение, движениежидкости описывается уравнением Навье – Стокса:v1  v ,   v  F  gradp  vt(5)где v так называемый кинематический коэффициент вязкости. Он связан скоэффициентом вязкости  соотношением    /  .Пояснимпоследнееслагаемоев(5).Рассмотрим для простоты двумерный случай.Выделим малую область с объемом V и границейC, как показано на рисунке.

Составляющаявеличины  v dxdz в направлении ez равна:V  2v 2v zz x 2z 2Vv v dxdz     z dz  z dx  z xC z xvzvzvzvzdz  x x x x x0    z z 0 z x z  dx00(6)vvzи   z определяют плотность силыxx x  xx 0 вязкости на границах x  0 и x   x в направлении ez , а первый интеграл вВеличины правой части (6) суммарную силу вязкости на этих границах.53Если рассмотреть некоторый элемент раствора, то величинаv zzописывает вытягивание элемента в направлении z (с одновременнымсжатием в направлении x, в силу постоянства объема).

Для преодоления силвязкости при деформации элемента раствора нужно приложить внешнююсилу в направлении вытягивания. Считая эту силу равной vz, получаем,zчто последний интеграл в (6) описывает силы, действующие на верхнюю инижнюю границы элемента, изображенного на рисунке, в направлении ez .Поэтому  vz dxdzравен результирующей силе вязкости в направленииVez , действующей на часть раствора, заключенную в объеме V.

Характеристики

Список файлов книги