П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Решение уравнения Лф = 0 для данной задачи имеет вид ф(х, у, г, () = 2 ( ( ' ') + ( ' 1) ( ' г) ( ' г)гг ьн где функпия г (р, р,) определена равенством (х+ р) (у+ рй (г — сс) )/(г — сс)г + (х + р)г + (у + р~ )г Устремляя сторону )сг прямоугольника к нулю, получим в пределе поверхность вида (Я вЂ” объем растекающейся воды) 0 сс к+ )! х — )! Если, кроме того, )г стремится к нулю, то получаем уравнение г(г, () = — ', (г'=х'+у'). 2И (с'+ сгм)И Если постоянное начальное возвышение уровня грунтовых вод Н имеется только внутри круга радиуса )х, то форма свободной поверхности выражается через гипергеометрические функции, а для максимальной ординаты (при г = 0), получаем (Кочина !953) г(0, () — Н(1 ). В случае полива по бор о з д а м поверхность грунтовых вод приобретает волнистьш характер, причем непосредстРас.
312. венно под бороздой получается бугор грунтовой воды. Поэтому зададимся начальной формой бугра в виде синусоиды у = = а з!и (егх). Тогда нетрудно получить уравнение депрессионной вхггы ггхнтовых вод в слое коньчноп глгьнны 561 кривой для последующих моментов времени (Кочина 1951): у=ае емв1п(гвх). Линии тока имеют вид, показанный иа рис. 312. 3 4. Задача о растекании бугра грунтовых вод в слое конечной глубины на горизонтальном водоупоре. В этом случае имеем такие условия (в линеаризованной форме): дф У дф — + — — =0 при дГ т ду — =0 при дф ду (4.1) Здесь йь(х) — начальная глубина грунтовых вод (Галин 1951).
Будем искать гармоническую функцию ф(х,у,!) в случае симметричной задачи в форме интеграла Фурье <р(х, у, !) = ~ А(а,!)сЬ(ау) сов(ах)г(а. (4.3) о Построенная функция удовлетворяет второму из условий (4.1). Чтобы выполнялось первое из этих условий, необходимо выпол- нение равенства = ~ '(сЦаН) —, + — А зЬ (аН)1 сов(ах) На = О. о (4.4) Отсюда следует, что функция А(а, !) должна удовлетворять уравнению сЬ (аН) — + — Аа вЬ (аН) = О. (4.5) Так как ф(х, Н, 0) = — ййь(х) при ! = О, то из (4.3) получаем Ю вЂ” йй,(х) = ~ А(а, 0) сп(аН) соз(ах) е(а. (4.0) о где Н вЂ” некоторая средняя начальная глубина грунтовых вод в пласте, Кроме того, должно быть удовлетворено начальное условие ф= — Нь„(х) при 1=0 и у=Н.
(4.2) 4 О) НЕУСТАНОЗИЗШИИСЯ ПРИТОК К ТОЧЕЧНОМУ СТОКУ 563 плоскостью. Сток интенсивности Я(() помещен на глубине Н под этой плоскостью в точке с координатами (О, О, — Н). По- тенциал скорости ср(х, у, г, !), создаваемый стоком, будем счи- тать удовлетворяющим условию ар ар — + с — =0 прн г= О (с= — ), (5!) ( )с( а также начальному условию ~р(х, у, О, 0) = О. (5.2) Наряду со стоком в точке (О, О, — Н) поместим источник той же интенсивности (',)(!) в точке (О, О, Н), симметричной со стоком относительно плоскости г = О. Представим !р(х,у,г,1) в следующем виде: <р(х, у, г, () = !У (О 1 Р(0 1 + 4я ЗУх'+ у'+ (г — Н)' 4з ЗУх'+ у'+ (г+ Н)' +щ(х, у, г, !).
(5.3) Рассматривая условие (5.1) для ф1(х, у, г, () получим доз дчо со(О д — +с 1 при г = О. (5.4) д! дг 2з дг З/х'+ у'+ (г — Н)о Таким образом, для построения решения нужно определить гармоническую в нижнем полупространстве функцию !рь удовлетворяющую при а=О условию (5А). Имея в виду известную формулу (Градштейн н Рыжик 1962) 1 = ~ ахах-и'Уо(ЛУ) !УЛ ЗУх'+ у'+ (г — Н)' о (г= Л/х + у', г (0), С ~Р ! (х, У, г, !) = — ~ А (Л, !) Уо (Л, г) ЕА и л) с(Л ! !" о Вычисления дают А (Л !) $ Л (У (т) есл (х — !) С(т о (5.5) где Уо(Лг) — функция Бесселя, ищем !р, в виде следующего определенного интеграла: 664 ГИЛРОЛИИАМИЧГСККЯ ТЕОРИЯ [гл. Хчн и потенциал скорости принимает вид [р(х, у, г, «)= О («) 1 О («) 1 4к З«х~+ у'+ (г+Н)' 2п З«х'+ ус+ (г — Н)' + — У (Хг) е'" и)).
Ш ~ (,) (т) е" [т-о [«т. (5.6) 2я,) о о Для определения расхода необходимы дополнительные условия. Так, при (;)=Де=сопя[ интегрирование в формуле (5.6) выполняется; воспользовавшись равенством (5.5), найдем ( ОО 1 Ос 1 [р(х, у, г, «) = — ' +— 4п З«х'+ у'+ (г+ Н)' 4я З«х1+ ус+ (г — Н)' 'го 1 2п З«х' + у' + (г — Н вЂ” с«)' Потенциалу скорости здесь можно дать кинематическую интерпретацию: движение можно рассматривать как создаваемое -б 4 б Ю Гб Гг Ряс. 313. двумя стоками интенсивности (Ес, помещенными в точках (0,0,— Н) и (0,0, Н), и источником удвоенной интенсивности 2(ес, перемещающимся по оси г вверх со скоростью, равной с, причем этот источник в начальный момент находится в точке (О, О, Н).
Свободная поверхность определяется уравнением [р (х, у, О, «) + йг О, (5.7) что дает для данного случая 00 ~ 1 1 г — — — ' 2ь ( *' ~-„'.~.В' /+~.~'~[о.'- ц' )' На рис. 313 показан вид свободной поверхности, при Я = — 500 смг)сек, й = О,! см«сек, еп 0,33, Н = 5 м, для =- 10 мпн, 60 мнн и со, !Гл, хчп ГидРОдинАмическАя теОРия 555 Удовлетворяя условиям (5.1) и (5.9), получим гр(х, у,г, !) 9(6 г) (г) ! 4п ЧГ»2+ уг+(г+ Н)г 4п Чlх + у'+(г+2Т вЂ” Н)' 1 Г,! + 22 гн-т! — — 17е(ЛТ)' ' (е' +е-А!»+2Т)) 7ЛХ 4п з е ! !. »-2хт Х ~ ( — „— сЛ (с (т)) ев гт г) г!т, г г(г7 а где )з = сЛ Й (Л7).
Для Я =Да — — сопя! потенциал скорости принимает вид гр(х, у,г, !)=— ()о ! + ма ! ЧЛХР«оаот ь «*;~ао, г»г г) 1+ в2А !и-т) + — '(! е хи гхт (ех»+е х'»+гт!)7е(ЛТ)Ю— 4п « 1 — е 2 о ! + 2х гн-т) о "е-хн-щ е (ех» ! е-А<»+гт)]У (Лт) с(Л 4п~ 1 — е гт В. К. Беляковой (!956) найдены также решения задачи о вертикальной скважине, рассматриваемой как линия стоков постоянной интенсивности, о стоке в неоднородном грунте и о скважине в неоднородном грунте.
Несколько случаев движения при наличии стоков были исследованы Е. М. Мальгиновой (!967, !972). й 8. Задача о стягивании контура нефтеносности. Несколько более про стой и более изученной является следующая задача. В горизонтальной плосности в начальный момент времени задана площадь, занятая жидкостью (нефтью). Внутри контура Д ограничивающего эту область, заданы скважины в виде точечных источников. Спрашивается, как будет деформироваться со временем контур Д если считать, что на нем давление остается все время постоянным (Лейбензон 1934, 1947! Полубарннова-Кочина !945, 2; Галин !945). Это упрощенная схема задачи о передвижении нефти, окруженной водой в напорном пласте.
Дело в том, что для уравнений плоского движения воды и нефти можно принять такие уравнения: в — — ягад р, в„— — 'ягаб р,. йо йо, (5.1) )г )г~ Здесь йо — проницаемость грунта; величины беэ «звездочек» относятся к об- ласти, занятой нефтью, а со «звездочкой» вЂ” н области, занятой окружающей нефть водой. Если считать, что вязкость воды очень мала по сравнению с вязкостью нефти, тан что коэффициент !г» можно принять равным нулю, то следует принять ро = сопз! (иначе Ро будет обращаться в бесконечность). 4 61 ЗАДАЧА О СТЯГИВАНИИ КОНТУРА НЕФТЕНОСНОСТИ 567 0тсюда следует, что давление на контуре Е не должно зависеть от координат и может быть функцией только времени, в частности, быть постоянным.
Тогда и потенциал скорости, пропорциональный в данном случае давлению, должен сохранять постоянное значение на контуре, дифференцируя уравнение Ф(х,у, 1) = сопз1 на Е по времени так, как мы это делали в $1, получим уравнение т — х-+( — ) +( — ) О. (6.2) ноторое должно выполняться на Е во все время движения. В работах П. П. Куфарева (1950, 1, 2) получены в замкнутой форме решения задач об одной скважине и рядах равноотстоящих скважин для полуплоскости, полосы и окружности в качестве контура Е.
Простейшей задачей является задача о кардиоиде, уравнение которой в начальный момент времени задано в виде л а5+55, Е=е~ (0~0~~2п), причем считается, что 0 ( Ыа ( 1/2, т.е. что кардиоида не имеет угловой точки. Тогда, если центр скважины находится в точке з = О, в последующие моменты времени уравнение контура Е имеет вид (Полубаринова-Кочина 1945, 2) з А~ (Г) 5 + Аг (1) эз где А~ и Аз являютсяфуикциями времени.
Когда А~ станет равным 2Аз, у кардиоиды образуется точка возврата, область течения сделается многолистной н решение уже не будет иметь физического смысла, Это же обстоятельство — появление угловых точек на контуре и одновременно многолистности решения раньше, чем точки контура дойдут до контура скважин (последние считаются близкими к онружностям, радиус которых мал по сравнению с размерами области), — имеет место во всех указанных выше задачах — зто результат нелинейности условия на свободной поверхности.
Существование решения для малых Г доказано при довольно общих предположениях о начальной форме контура (Куфарев 1950, 1,2). Указанное свойство — потеря однолистности — ограничивает интерес к теории в этой простейшей постановке. Часть третья ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИИ ГРУНТОВЫХ ВОД Глава ХИЛ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД А. ГРАФИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА й 1. Графический способ построения гидродинамической сетки.
Построение сетки линий тока и линий равного потенциала, которую называют иногда гидродинамической сеткой или сеткой двивкения, имеет большое значение для изучения плоских установившихся течений. По этой сетке виден характер течения и можно найти средние скорости в различных местах области движения (см., например, Гиринский 1939). При изучении движения грунтовых вод иногда бывает удобно функцию тока н потенциал скорости заменить пропорциональными им функциями приведенного расхода а = — ф(й и напора А = — ~р/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
