П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Рассматривая уравнение (2.!О) для ряда моментов времени, можно получить для величин а, да/дх, да/ду систему уравнений да~о да да~О да дх д + д ~ +айиш г(х У 1~) (1=1, 2, ..., и) (ип1 — значение и в 1-й момент времени). Если система переопределена, то ее можно нормализовать.
Для решения системы требуется хорошая ее обусловленность, т. е. значения коэффициентов системы должны хорошо различаться, что на практике обычно не выполняется. В. Я. Булыгин (1974) дает советы по использованию метода регуляризации для получения устойчивого решения плохо обусловленной системы. ОПРЕДЕЛЕННЕ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОННЦАЕМОСТН ПЛАСТА 535 й 3.
Определение переменной проницаемости пласта по натурным наблюдениям в случае осевой симметрии. Пусть имеется круговой пласт радиуса !т' и центральная скважина радиуса г,. Будем считать коэффициент фильтрации пласта й(г) переменным, зависящим только от радиуса г. Изменение давления в пласте описывается уравнением (3.1) Пусть задано дополнительное граничное условие р (г., !) = Ч (!), (З.З) означающее, что производятся замеры давления на скважине. Займемся отысканием положительной, непрерывно дифференцируемой на отрезке (г„й) функции Й(г), при которой выполняются условия (3.2) и (3.3) (Басович 1974, 2, 3). Применим преобразование Лапласа к уравнению (3.!) и граничным условиям (3.2) и (З.З).
Положим сс, с-).-псс, Асс Ес=~!.-"сс) сс ) ! (3.4) сэ Ф (з) ~ е *'<р (!) й о Тогда будем иметь г дг ( () дг)' ! д дР ,~(.)% =а(), ~ж )=0, о-Г с Р ~,, Ф(з). с Решим уравнение (3.6) при граничных условиях функцпю Р" (г, з): (3.5) (3.6) (3,7) (3.6).
Введем Р(г, з) р'(г, з)+ Я(з) р(г), Г (3.8) где (3.9) и граничными условиями Р(Я, !)=О, р(г, 0)=0, 2пг,)с(г,) — ~~ =д(!). (3.2) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА (ГЛ. ХТ! Функция р"(г, з) удовлетворяет уравнению 5зр*+ рз Я(з) р (г) = — — „(г й (г) — „) (3.10) и граничным условиям — =О, р'(,,=О. с Решение уравнения (3.10) будем искать в виде ряда по собственным функциям оператора 1.р = — „~ (г И(г) ~~ ) ='ггр, (3.12) (3,1 1) причем — р), л'р Г Г Пусть р* (г, з) = ~„с„(з) рл (г), ! (3.13) л ! л-! л ! Здесь ил= ~ р(г)гр.(г) (г! Г рлрл(г) = р(г), л ! поэтому из (3.14) получим РАО(л)и А„+ АР Рассмотрим коэффициент (А„: Л (А„= ~ ГРВ(Г)Р(Г) дГ= —,.„~ 1.РлР(Г)ИГ = ! — ~ —, ! г й (г) — ") р (г) й. (3.15) Интегрируя (3.15) два раза по частям и учитывая, что ).р=О и р(К) =О, получим р = дл (г 1 Кл (3.16) где рл(г) — нормированные собственные функции оператора (3.12).
Подставим (3.13) в уравнение (3.10): ра~ Слрл(Г)+(5ЗЯ(З) ~ (А„р„(Г) = — Х )лелрл(Г). (3.14) Р(г, з) = Р (», з)+ Я(з) р(г) =рай(з) ~ А А Р (г)— л 1 ) — Я (з) à — "' рл (г) = — Я (з) ~~,„л+' рл(г). (3.17) л л 1 В силу теоремы Мерсера (см., например, Владимиров 19?1) ряд (3.!7) сходится равномерно на [г„)г]. Полагая в (3.17) г=г, и воспользовавшись равенством (3.7), получим Ф (л) ч.л Р~ (г ) гл ! ! Я (л! А.л АР+ л!! ~л ал Х~+лР ' л ! л Здесь ал — нормировочный множитель оператора (3.12): а = ~ гр'„!/г, Г где рл(г) — собственная функция оператора (3.12) и рл(г,) =1.
Из (3.18) видно, что л„— полюсы функции Ф( — л/р)/Я( — л/р), ,!.э(-лай)) А А ( Я(-А/Р! 1' л Покажем, что по известномУ набоРУ (ал, А„) можно опРе- делить функцию /! (г). Для лтого сведем задачу определения /!(г) к обратной задаче Штурма — Лиувилля. В уравнении (3.12) сделаем замену переменных: Г ~л г !/й (г) = 0 (х), г = р т/0, где Тогда получим причем — гл + 1(х) г = рг, (3.!9) г'(О) — зе о г(0)=0, г(а) 0 (8.20) 1(х) ==, !А = — 1!,. Ывл и! Е' а! (3.2!) л З! ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОНИИАЕМОСТИ ПЛАСТА 537 Тогда опРВделение пАРАметРоВ плАстА 1гл. хч! Собственные числа оператора (3.12) пропорциональны 3,„: 1А„= = В'А„/л', а нормировочные множители = — а.
и па (о) и' Для ри и р„справедливы асимптотические формулы 'т/)Аи "+ в +О (в)' ри= е +О (л) ' (3.22) Отсюда находим константы О (0) = — !пи а„. я в. В ПИт=, и и+ > Ъ~Аи ф(0, !н) 1, ф'(О, !А)= пв о (3.23) Как известно, существует ядро К(х, 1) такое, что ф(х, !А) =сов(х )/!А)+ ~К(х, 1)соз(! ~/!А)й.
(3.24) и Ядро К(х, 1) определяется из интегрального уравнения х 1 (х, у) + ~ К (х, з) / (з, у) сЬ + К (х, у) = О. о Здесь Фа д' ~ и1п (х З/р) х1п (у и/р ) дхду 5 Р т !Аз где о (Р) — — 1/1А при 1А ) О, т(ц) = о (1А) при 1х<0, о(1А) — спектральная функция оператора (3.19): о(1х) = ~ 1 и„кп Таким образом, для оператора (3.19) известен набор (1А„, р„), по которому функция 1(х) определяется однозначно (Гельфанд и Левитан 1951; Левитан и Гасымов !964). Пусть ф(х, !А) — решение уравнения (3.!9), удовлетворяющее условиям корректность оппедслнния проницлвмости 539 4 И Ио функция Ч/0(х)/О (О) удовлетворяет тому же уравнению и тем же граничным условиям, что и фо(х) =тр(х, О), следовательно, 0 (х) = 0 (О) ф' (х).
(3.25) Зная 0(х), нетрудно определить й(г). Действительно, уравнение Фг  — = — ч/й (г) бх и равносильно уравнению аг  —  — — ч/й() = — „0(), ох и интегрируя которое, найдем к к гз = зв ~ 0 (х) ах -[- га = зн 0 (О) ~ ф (х) г(х -]- гз„ о о 0 (х) 0 (О)фо(х) о — 0 (0) 1 фа ох+ гз о (3.26) Из (3.24) следует, что функция фо (х) выражается через ортогонализирующее ядро К(х, () при )а=0: ф. ( ) = 1+ ~ К (, ) (д о Таким образом, получено выражение й(г) в параметрической форме. Вместе с тем доказано следующее; если существует положительная, непрерывно дифференцируемая на [г„)с] функция й(г), при которой выполняются условия (3.1) — (3.3), то она единственная и определяется равенствами (3.26). й 4.
О корректностм определения коэффнцнента фильтрации. Выше было дано определение завнснмостн й(г) по заданным функциям ф(0 н д(0. На практике исходные функцнн ф(0 н д(0 всегда бывают заданы с некоторой погрешностью, что, естественно, влняет на точность определения коэффнцнента й(г). Как н все задачи подобного типа, задача определения неизвестного козффнцнента дифференциального уравнения по переопределенной системе гра. ннчных условий некорректна в классическом смысле.
Однако прн некоторых априорных предположениях о функции й(г) можно доказать условную корректность нлн корректность по Тихонову рассматриваемой обратной задачи. Обозначим через Н множество функций (й(г)), таких, что й(г) непрерывны вместе с пронзводнымн первого н второго порядка в (гм )т), причем о < йз < <й(г) < йз < ое, [й (г)1< мь [й" (г) [< мз. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА 340 (гл. хь~ Фиксируем некоторую функцию д(О, для которой существует преобразование Лапласа (3.4).
Пусть Ач — оператор, ставящий в соответствие всякой функции й(г)за Н фуннпию ф(() = р(гю О, где р(г, Π— решение уравнения (3.() при граничных условиях (3.2). Обозначим через Уз множество функций фРО Азд (г) при й(г) енН. тогда на У, определен обратный оператор А 'ф(Г) = й(г). И. Б. Басович (!974,2) показал корректность обратной задачи в классе функций й(г)ее Н, т. е, доказал, что если для ф и ф, ен Уч 1ф — рл1 шах ! ф(() — фл (з) ! — ь О, (43) з а (О, п лЬ то ~А ~ф — А ~ф„~=[[а(г) — йл(г) [[ шах ! А(г) — й (г) ! — ь О. (4.2) ч п !гс' л! л л.+ Доказательство основывается на непрерывной зависимости спектральных параметров оператора Штурма — Лиувилля от исходных данных задачи и существенно опирается на теорему В.
А. Марченко (!972) об устойчивости восстановления обыкновенного дифференциального уравнения по его спектральной функции. $5. 0 методе модулируюших функций. В некоторых практических задачах нет необходимости в детальном исследовании коллекторских свойств пласта, а можно ограничиться лишь осредненными по всей области значениями фильтрационных параметров. В этом случае течение жидкости в пористой среде описывается уравнениями с постоянными коэффициентами. В настоящем параграфе будет рассмотрен метод модулируюших функций для определения постоянных коэффициентов дифференциального уравнения по известному в некоторой области решению этого уравнения (см.
Басович 1973). Этот метод был предложен ранее (БоеЬ и Са)зеп !963, !965) и затем применен к определению гидрогеологических параметров пласта, параметров задачи о рассолении почвогрунтов и некоторым другим обратным задачам фильтрации (Георгиевский 1971; Георгиевский, Мироничева и Шульгин 1968). Рассмотрим уравнение (см. $6 главы Х1) Ог — — айй — Ь(й — Н)+с [цй= 3 з + ~-г) (5.1) в котором величины а, Ь и с будем считать постоянными, подлежащими определению.
Предположим, что на плошади прямоугольника П = [О, А[;л, ;зс' [О, В[ проводятся систематические наблюдения за уровнем грунтовых вод. Функцию й(х, у, !) будем считать известной в параллелепипеде П зс', [О, Т[. Прежде всего выясним, однозначно ли определяются коэффициенты а, Ь и с по заданному решению уравнения (5.!). метод модтлигуюших егнкции Изменяя обозначения, перепишем (5.1) так: — =хЛЬ+ЛЬ+ и (х=а, Л= — Ь, р=ЬН+ с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
