П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(5.2) Предположим, что, кроме чисел х, Л и р, уравнение (5.2) удовлетворяется также при значениях параметров х', Л', и': ш +1 Тогда, вычитая почленно (5.3) из (5.2), получим хоЛЬ+Лой+ во=О (хо=х — х' Ло=Л вЂ” Л', во= р — р'). (5.4 (5.3) где Л вЂ” Лх У= Интегрирование по 1 дает Ь = С (х, д) ет' + Ьо Ино — Иох хо (5.6) где Вхо — Вох Лхо Лон Подстановка (5.6) в (5А) приводит к уравнению хоЛСет'+ ЛоСет'+ Ро+ Лойо = О откуда следует + — ' =О, +Л Ь,=О. (5.7) хо Таким образом, для решений вида (5.6) при условии (5.7) обратная задача определения постоянных х, Л и и решается неоднозначно.
Рассмотрев случай у = О, можно получить выражение для всего класса функций, удовлетворяющих исходному уравнению (5.1) при различных наборах параметров. Обозначим множество таких функций через $'. Перейдем теперь к рассмотрению метода модулирующих функций. (Заметим, что если найдется функция Ь(х, у,г), удовлетворяющая уравнению (5.2) при некотором наборе параметров х, Л, и и одновременно уравнению (5.4) при наборе хм Ло, цо, то оиа удовлетворяет уравнению (5.2) и при любом наборе х + зхо, Л+ зло, р+ зро, где з — произвольное число.) Рассмотрим два случая.
1. хо = О; тогда Ло Ф О, иначе было бы и ро — — О. Из (5.4) находим Ь = — ио/Ло = сопз1. 2. хо Ф О. Находим ЛЬ из (5.4) и подставляем в (5.2): — = — — '(Лой+ро)+ЛЬ+р=уЬ+6 (55) ОпРеделение пАРАметРОВ плАОТА !гл. хи 542 Пусть задано решение Ь(х, у, 1) уравнения (5.1), не принадлежащее множеству %'. Умножим обе части (5.1) на функции вида Фс(х, у, 1) =Хг(1)фю(х)ф~Ы (5.8) причем Хю (0) = Хг (Т) = 0 (1 = 1, 2, 3), ф,(0) =ф,(А) =ф,'(0) =ф',(А) =О, фю (О) = ф, (В) = ф,'.
(0) = ф; (В) = О. Примерами таких функций могут служить Хс(1)=з!и — ° фс(х)=х (А — х)" (т, ПР2) и т. д. После интегрирования по частям в параллелепипеде П)~ ;к', [О, Т) получим систему линейных уравнений для определения постоянных а, Ь и с: — ~ ЬФ~~ ~ЛГ = а ~ й ЛФ~ Л' — Ь ~ ЬФ, гй ' + (ЬН + с) ~ Ф~ (Л~. (5.9) Здесь 1~ = П к', [О, Т), д'Р' = дх йу Ж, пределы интегрирования по х, у, 1 соответственно будут (О, А), (О, В), (О, Т).
Заметим, что для определения коэффициентов в уравнении (5.9) не требуется проведения численного дифференцирования решения й(х,у,1) и не нужно задавать краевые условия на сторонах прямоугольника — в этом сущность метода модулирующих функций. Выбрав три функции Ф; (! = 1, 2, 3) так, чтобы детерминант соответствующей системы линейных уравнений отличался от нуля (для решений Й(х, у, 1), не принадлежащих множеству )Р', это всегда можно сделать), однозначно определим постоянные а, Ь и с, решив систему (5.9). Однако на практике функция 6(х,у,1) бывает известна с некоторой погрешностью. В этом случае решение системы (5.9) будет зависеть от выбора модулнрующих функций, которые следует задавать так, чтобы получить как можно лучше обусловленную систему линейных уравнений.
Имеются рекомендации по выбору модулирующих функций (Георгиевский !971; Басович 1973). Для решения плохо обусловленных линейных систем нужно применять регуляризацию (Тихонов и Арсении 1974). Заметим, что для успешного применения этого метода при выборе модулирующих функций нужно руководствоваться некоторыми априорными предположениями о решении исходного уравнения н точности экспериментального задания этого решения. мвтод наименьших квхди тов 643 Приведем небольшой пример.
Рассмотрим уравнение дЬ д'И дг дт Оно имеет частное решение пгп ях — — фг Ь=ейп — е а Заменим приближенно з!п(пх/а) полиномом 4х(а — х)/аз, а множитель ехр( — и'х//а') линейной функцией 1 — й!, где А— некоторая постоянная. Тогда, взяв в качестве модулирующей функции у(х) = х"(а — х)" (и — целое ) 1), получим из расчета приближенное значение коэффициента уровнепроводности ° Хп~!и + )р и'— (-' ! — — ХТ) 2а' (2п+ 3) (2п+ 2) 2 9 6.
Метод наименьших квадратов. Естественным обобщением изложенного в предыдущем параграфе способа решения обратных задач является метод наименьших квадратов (Басович 1978). Введем обозначения да дГ /О Ы 1 Ь / 1 /3 Тогда уравнение (5.2) можно записать в виде /а- Х~Л 1 1 (6.1) Здесь через )м обозначены искомые значения параметров. Предположим, что нам известны приближенные значения /', /и /,', /' функций /а, /ь /ь /з и известно, что К вЂ” /,~~а (!=0,1,2,8). (6.2) Степень точности приближенного значения я' будет зависеть от удачи в подборе Х и Т (приближение к синусоиде оказалось очень хорошим).
Если в случае уравнения (5.1) сомножители в выражении (5.8) взять в виде ~р;(х)=х" (а — х)~, т,(у)=у' (Ь вЂ” у)" и давать й, /, лг, л различные целые значения )2, то система уравнений для параметров получается плохо обусловленной, так как коэффициенты одного уравнения мало отличаются от коэффициентов других уравнений (см. Полубаринова-Кочина, Прякинская и Эмих 1969). ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА !Гл.
хю 544 Составим выражение з з Ф (*и *и *,! (!', — х !', „7,' — ~Р,'*,). (6.3! Скалярное произведение (1, ф) определяется формулой А В Т (1, 2р)= ~ ~ ~ 1(х, у, 1)ф(х, у, 1)2(хду211. (6.4) ооо В развернутом виде можно написать з з Ф= 2' азгх2хг+ 2 Ь,х,+Ьо, 2, ! ! ! ! (6.6) где а!!=(1! 1',) Ь,= — 2(1о Я Ьо=()о )о) (66) Определитель этой системы есть определитель Грамма функ- ций 1'и 1;, 1,'. (1Р 1',) (1;, 1;) (1;,1,') (12 1!) (12 12) (12 13) (1з 1!) (1з 12) (1з 12) О(~!) = Будем считать функции 1!, 12', 1' линейно независимыми; тогда определитель 6(1,') должен быть отличным от нуля (Гантмахер 1967).
Так как доказано, что всегда 6(~!) ) О, то в данном случае он больше нуля. Отсюда следует, что квадратичная форма (6.5) положительно определенная. Обозначим через А; (2=1, 2, 3) решение системы (6.7) — это приближенные значения искомых з!. Пусть 1'! = )! + е,, )е! 11 ( е (! = О, 1, 2, 3). Тогда 3 з в!2=(ьз- — х*,!!,-:-,! ь+,— х*,!!,+.,!). ! ! ! ! В качестве искомых приближений 1! предлагается принять значения х2, дающие минимум квадратичной формы (6.3), т.е. удовлетворяющие системе 2 Х амхг+Ь,=О (1=1,2,3).
(6.7) ! ! метод нлимвньших квлдглтое $ б1 Положим х, = Лз, где Л, удовлетворяют уравнению 1б = Х Л!1'!. Тогда з р з кз Ф!Е! — $,— ЕАФ, 1((!!~!!!-х !А,!Им!!) <Фм, ! ! !-! где Чтобы получить оценку для разностей Л,. — Л;. между точными и приближенными значениями параметров, положим 3! =х, — Л;, а",=Л,. — Лп Тогда Ф(5!)„л =Ф($,') =а, Д" + с(е'М. Так как матрица аи положительно определенная, то Ф($!) можно привести ортогональным преобразованием к виду Ф (т1,) = ~ 1л,.з1-',. + с (с ~) 0), где 1л! — собственные числа матрицы а,1, обладающие свойством 0 < 1з, ( 1лз ( 1л;.
Тогда з з з Ф(Ч,)>Хи',р;>и, ХЧ'=р,Х$; ° Окончательно получим 1л! ~ $;. (Фф;) (е'М Здесь р! ) 0 — наименьшее собственное число матрицы ац. Для того чтобы избежать дифференцирования экспериментальной функции й(х, у, 1), можно выразить квадратичную форму Ф(х!) через козффициенты Фурье функций 1! (1= О, з, 2, 3) относительно какой-нибудь полной ортонормированной 1Ь П, я, Под!'барнноаа.ночнма ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА ~гл хн1 системы функций РА(х, у, Т), обладающей следующими свойствами: РА(х, у, 0)=РА(х, у, Т)=0 (х, у~П), РА(х, у, ~) — — (х, у,1) — 0 (х, у~Г), Здесь через Г обозначена граница прямоугольника П, дРА/дп— нормальная производная на Г, / з 12 Ф(х1) = ~, ~сАР— ~ х1СА1), А, 1 1 где сА1=(Ры ~1) (1=0 1 2 3). В силу свойств функций Р„при вычислении коэффициентов сы можно воспользоваться интегрированием по частям и избежать тем самым дифференцирования экспериментальной функции п(х, у, 1).
Глава Х'г"П ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИИ ГРУНТОВЫХ ВОД (1.!) т> = пга б а>, удовлетворяющий уравнению Лапласа д'ч> д'~р — + — =О. дх' ду' (1.2) Функция я> связана с давлением равенством (1.3) (ось у направлена вверх). Потенциал ч>(х, у, !) содержит время ! лишь в качестве параметра. В пеустаповившемся движении со свободной поверхностью зависимость ~Г от времени входит в условие на этой поверхности. Выведем это условие. 18* й 1.
Условие на свободной поверхности. До сих пор мы занимались изучением неустановившихся движений грунтовых вод со слабо изменяющейся свободной поверхностью, происходящих в слое конечной глубины. Такие дан>кения мы рассматривали «гидравлически», т.е. считая горизонтальные скорости не меняющимися по высоте (вертнкальные скорости прн этом считаются малыми) и тем самым уменьшая число независимых переменных на единицу. В случае, когда нужно учесть форму границ области движения, когда в пласте есть особенности — например, имеются дренажные трубы, когда поток простирается вниз на большую глубину и т.п., такой метод рассмотрения задач недостаточен, В главе Х! мы пришли к заключению, что в неустановившихся движениях грунтовых вод можно полностью пренебрегать инерционными членами и принять, что вектор скорости фильтрации имеет потенциал <р(х, у, г) > )гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
