П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Комплексный потенциал ы = Ф + (ф заменится при этом выражением га* = А + (а. Функция ы* = А + (а, так же, как и га, является функцией комплексного переменного г, ее действительная и мнимая части суть гармонические функции (й считается постоянным). Сетка у = сопя(, ф = сопз( может быть выбрана изотермической, т. е. образующей криволинейные квадраты. В самом деле, пусть в точке А (рис.
314) Ап означает расстояние между соседними линиями тока ф = ф1 и ф = фз = ф1+ Лф Аз— расстояние между соседними эквипотенциалями у = Чн и Ч~ = = ~рэ = Чн + Л~р. Скорость в точке А приближенно равна ач АФ ол ав аа ' Если выбрать Л~р = Лф, то получим, что Ьз = Ап, т.е. две соседние стороны криволинейного прямоугольника АВСВ оказываются равными. Это свойство и называют изотермичностью сетки. 4 и ГРАФИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ГИЛРОДИНЛМИЧЕСКОЙ СЕТКИ 569 При желании можно строить и сетку прямоугольников с заданным отношением сторон.
Полагая Л~р = А Лф, где Х вЂ” заданное число, получим, что Лз = Х Лп, Примеры гидродинамических сеток были приведены в главах П вЂ” У для простейших случаев движения, когда линии тока и линии равного потенциала представляются простыми кривыми, уравнения кото- Ре рых легко написать. В более сложных 6 случаях пользуются приближенными методами. Укажем главнейшие из них. Дз Рассмотрим для примера напорное 1РГ движение под гидротехническим соору- С й жением произвольной формы (рис. 3!5).
Известны две линии тока нли приве- йи денного расхода: контур основания гидротехнического сооружения и граница водоупора, а также две линии равного напора — границы верхнего и Рис. 314. нижнего бьефов. Последние мы можем принять за линии Ь = Н и й = О. Проведем на глаз несколько примерно равноотстоящих линий тока. На рис. 315 это четыре криволинейные линии тока, лежащие между граничными линиями д = 0 и д = дс, причем величина дс заранее не известна. Рис. 315. Теперь будем строить линии равного напора.
Начнем, например, с линии, ближайшей к линии АВ. Около отрезков ВВИ В,ВЕ, ... построим криволинейные квадраты. Отметим, что криволинейный прямоугольник можно считать квадратом, если длины его средних линий оказываются равными. Квадраты, примыкающие к линии АВ рис. 315, оказались такими, что их стороны (отмеченные пунктиром) не составляют продолжения одна другой, т.е. не образуют линии равного напора, как это должно было бы иметь место. Следовательно, нам нужно поправить линии тока, уменьшив прежде всего отрезок зто гстхповпвшиеся движения гггитовых вол [гл, хюп ВВь Выправив первый ряд клеток, переходят ко второму и т.д.
Последний ряд, прпмьпающий к линии СН, как правило, будет состоять не из квадратов, а из прямоугольников. После первого цикла построений получим сетку, приведенную на рис, 316. Далее эту сетку можно дополнительно уточнять, более тщательно выполняя условия ортогональности линий и «квадратности» ячеек сетки. Для проверки правильности сетки можно провести диагонали квадратов, которые должны также образовать ортогональную сетку. ~"Ь! 1(713 Рис. 316. Около особых точек вместо квадратов получаются другие фигуры. Так, линии равных напоров, оканчивающиеся в углах водонепроницаемого контура, делят эти углы пополам. В конце шпунта касательная к линии равного напора является продолжением шпунта. Теперь допустим, что мы построили всю сетку, причем контур ВС оказался разбитым на з участков (з может быть и дробным числом, если последний ряд клеток состоит из прямоугольников).
Тогда линии равного напора будут иметь отметки Ь = О, Н(з, 2Н/з, ..., Н. Сетка строилась как изотермическая; следовательно, отрезок дз/и (где л — число участков, на которые оказались разбитыми линии АВ и СН) должен равняться Н/з: де/и = Н(з. Отсюда найдем приближенное значение приведенного расхода дз и действительного расхода Я: а ьв ,у,= — Н О= — Н. 0— Я Вместо сетки квадратов можно было бы строить сетку прямоугольников, сохраняя пропорциональность сторон всех прямоугольников (Панов 1951). Если грунт простирается вниз на бесконечность, то в качестве линии тока д = де можно взять полуокружность достаточно большого радиуса, равного примерно утроенной длине флютбета (см. $13 главы П), зп средние АРиФметические, кОнечные РАзности з?1 В безнапорном движении на депрессионной кривой должно выполняться условие й = у или Лй = Лу, где Лй — падение напора между двумя эквипотенциалями, а Лу — расстояние по вертикали между точками кривой депрессии.
й 2. Способ средних арифметических, конечные разности. Этот способ основан на свойстве гармонической функции, согласно которому значение функции в некоторой точке равно среднему из ее значений на окружности, в центре которой находится взятая точка: 2л р,= — 1 рм (Е. о — е„м о ЭДесь 2Ро — значение гаРмонической фУнкции в центРе окРУжности, <рм значение ее в точках окружности. Отсюда получается приближенная формула Ф~+<рг+ " +Фл где ~рь гро, ... — значения ~р в равноотстоящих точках по контуру окружности.
В частности, если ограничиться четырьмя точками, то 'Р~ + Фо + Фз + Фо Фо (2.1) причем взятые точки будут находиться в вершинах квадрата, а ~ро будет значением функции в центре квадрата. Допустим теперь, что грубо система изолиний у нас построена на бумаге, разграфленной квадратами.
Интерполированием между соседними изолиниями найдем приближенные значения функции в вершинах квадратов Мь Их средние арифметические принимаем за значения функции в центре квадратов. Средние арифметические значений в центрах квадратов дадут уточненные значения функции в вершинах Мь Продолжая этот процесс, получим систему чисел, стремяшихся к определенным пределам — значениям искомой гармонической функции в вершинах квадратов (Панов 1951). Практически после 3 — 4 шагов значения функции в вершинах перестают изменяться. Имея значения функции в вершинах квадратов, можно провести систему изолиний, т.е. линий, соединяющих одинаковые значения функции (при этом, конечно, придется большую часть точек получать интерполированием).
Таким способом можно построить одно семейство линий, например, эквипотенциалей. Другое семейство — линий тока — можно строить как ортогональное к первому или же независимо от первого тем же способом средних арифметических. 572 естлновившиеся движения ггэнтовых вод [гл. хчи1 Существуют различные упрощения и усовершенствования указанных методов. На рис. 317 построены линии тока для флютбета с тремя шпунтами в слое конечной глубины (Козлов !941), Формулу (2.!) можно получить иначе, рассмотрев метод конечных разностей в применении к уравнению Лапласа (см., например, Годунов и Рябенький 1973).
Этот способ состоит в том, Рис 3!7. что вместо уравнения би = О рассматривают соответствук>щее ему разностпое уравнение и„„+ иэг —— О, (2.2) где и„„= а, (и(х+Ь, у) — 2и(х, у)+ и(х — Ь, у)], 1 иц, —— — „., !Ь(х, у+ й) — 2и(х, у)+ и(х, у — Ь)], 1 или в других обозначениях 1 и„„= —,(и,~ь, — 2им ~ + иь ь,), 1 и„е — — — „, (и„,+, — 2и,, + и,,). Следовательно, уравнение (2.2) заменяется уравнением и,э,, + и,,~, — 4и,, + и,,; + и... = О. (2.3) Из формулы (2.3) можно получить формулу (2.!) для ими Задаваясь значениями функции на контуре области или значениями ее нормальной производной, которую при этом надо выразить через разности, или, наконец, задавая на одних частях контура значения функции, на других — значения нормальной производной, можно получить систему уравнений для иь ь Обычно число уравнений и число неизвестных получаются очень большими.
Способы упрощенного решения этих систем рассмотрены различными авторами. Р. В. Сауселлом (Яоц()1чге!1!966) и его соавторами эти методы применены к решению ряда примеров из З 21 сгедние хгиемвтичвские, конечныа глзностн 673 различных областей, в том числе из области фильтрации (см. также Николаева !949). Между давлением р, измеряемым высотою водного столба, и напором Й сугцествует простая зависимость р=й — у, (2.4) где ось у направлена вертикально вверх. Из этого равенства следует, что если построить линии й = С~ и у = Сз, то в точках Рис. 318.
пересечений этих линий будем иметь р = С~ — Сз (С, и С, могут быть как положительными, так и отрицательными). Выбирая те значения С~ и Сз, сумма которых равна заданному числу С = С~ — См и проводя через них плавные линии (это будут диагонали четырехугольников, образованных линиями й = С~ и у = Сз), получим изобсры р(х, у) = С. На рис. 318 представлено семейство изобар для земляной перемычки на непроницаемом основании (Зон!(зле!! !956). 374 эстлновившиеся движвния гякнтовых вод [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
