П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Метод суммарных представлений. Как было показано выше, в теории фильтрации ряд задач сводится к уравнению Гельмгольца Ьи — 2си=/(х, у) — с = сопз1), 14.1) (= — "' — "' = дг лг для которого ищется решение краевой задачи. Рассмотрим в качестве области движения прямоугольник О, по контуру Г которого задаются краевые условия Ми)т =Ф(х, у) (4.2) (гг' — оператор граничных условий). Напишем соответствующее уравнению (4.1) конечноразностное уравнение Ь»и — 2си(хг, у») =/(хо у,), (4.3) которое рассматривается в сеточном прямоугольнике с координатами узлов х;= хи+ 1Ь, у» = ус+ ййг = ус+ й/г/у (1=0,1,... Нз этой формулы видно, что, зная постоянную С и определив из опыта значение расхода С/, можно вычислить искомый коэффициент фильтрации.
Постоянная С имеет размерность [Ь-г). Поэтому, чтобы получить величину С, отвечающую натуре, нужно постоянную СРВ 682 тот»новившнвся движения гатнтовых вод !гл. хчш ..., гп+1; й = О, 1, ..., и+!) и отношением сторон в элементарном прямоугольнике /г/Ь, = у.
На границе Г области 0 будем иметь конечно-разностный оператор йг»и !, = Ф (хо у»). (4.4) В качестве Л»и возьмем построенный по пяти узлам оператор ! ! Ь»и= —,,(и,, „— 2и, „+и!ы»)+ —,,(и, »,— 2и, »+и, »~,)= Ь' ' ' ' Ь' ! = —, (и,, » — 2 (1+ у') и, » + иг ы» + у'и, », + у'и, »+,), (4.5) где и; » —— и (х„у»), у = Ь/йо Г.
Н. Положему (1962) принадлежит введение метода решения краевых задач конечно-разностных уравнений для некоторых канонических областей, названного методом суммарных представлении. В нем решение конечно-разностной задачи введением специальной Р-трансформации сводится к решению обыкновенного конечно-разностного уравнения. Это решение записывается в замкнутой форме, представляющей дискретный аналог представления решений линейных дифференциальных уравнений при помощи интегральных представлений с использованием функции Грина. Мы ограничимся тем, что выпишем окончательный результат (Ляшко и др. 1974) для задачи Дирихле в случае прямоугольной области. Считаем, что в граничных точках на параллельных оси х сторонах прямоугольника (хь уа) и (хь у» ы) известны значения функции и(хь у»).
Возьмем 1-е сечение и введем вдоль него л-мерные векторы и, = и (х,) = (игь инь ..., и,„), /;=(/и, ", Ы, га,=ш(х;)=(иш, О, ..., О, и, „.„), Н,=٠— узга; (1=1, 2, ..., га). Далее вводится квадратная матрица чисел Р =(а,»), где аы — —,»/ — р!и — ! = .т/ — [ьйп (!О»)! ' — '~/а+! [ а+! [='Ча+! (!, й=!, 2, ..., и,; О» — корни уравнения з!п(а+1)0=0). Кроме того, вводятся три диагональные матрицы !»~ т' О(, р) т4г-е (р — т) ' с элементами по диагоналям р,', т', ф е!(!»» — ч ), причем !» «+ ~/«' — 1, =!»„' =« — ~/«' — 1, «» = 1+ йзс+ уа [1 — соз „+, ) ааз метод срммврных нррдстввлении 6 4( (44= 1, 2, ..., и).
Теперь можно выписать решение нашей задачи в очень компактной векторной форме (П (*,) — Р!РА+  — Е П — р)РН( )) (46) р (1= О, 1, ..., т+!). Здесь Р' — транспонированная матрица по отношению к матрице Р, А = (А„) и В = (Вн) — векторы постоянных Аю ВВ (й=1, 2, ..., и), которые определяются из граничных условий на параллельных оси у участках границы области 6. А именно, предположим, что (иад) = и('>, (и е( и) = = ипв (!4 = 1, 2, ..., и) — заданные постоянные векторы. Положив 1=0 и (=т+! в уравнении (4В), получим систему двух векторных уравнений для А и В: П( Р (А (- — А' В( — р) Р'Н,)!— (4.7) Р 16'"+(А + ям+' — )' 6 (т+ 1 — р) Р' Нр — — ии).
р 1 Умножим левую и правую части уравнений (4.7) на Р'. Так как произведение Р"Р = 1, то получим А+  — ~„6 ( — Р) Р'Нр —— Р*ип), Р-1 рм+(А + т"+( — ~ 6 (т + 1 — р) Р"Нр — — Р"и(". р 1 Решением последней системы являются векторы А=А '(т"Ч)(о — Чи~), В=А '(т ррп) — Ари)), где (р(') =Р'и(') + ~ 6( — р)Р"Н, р ( Пр Ч)гр) = Р'и(') + ~ 6 (т+ 1 — р) Р'Нр, р-1 Л вЂ” !Арн+1 ям+1 Аналогичным образом дается представление решения уравнения (4.3) для граничных условий второго рода и смешанных краевых условий. Особенностью метода суммарных представлений является то, что подавляющая часть неизвестных, входящих в конечноразностную задачу, не участвует в процессе счета. При этом решение может быть найдено в любом отдельном узле сетки без одновременного нахождения решения в остальных узлах. 584 тстюювившигся движгния ггтнтовых вод !гл хюп Метод Г.
Н. Положего развивался им н рядом других авторов и применялся к конкретным задачам. Так, был рассмотрен случай, когда область 0 — полуполоса или полоса, когда она может быть разбита на прямоугольники, для которых устанавливаются условия на участках «сшивания», для. кусочно-неоднородных слоев. 5 5. Графо-аналитические построения безнапорных движений с помощью рассмотрения фиктивного течения в области годографа скорости. Предположим, что мы отобразили плоскость комплексного потенциала в на плоскость комплексной скорости ю = и — (о. Тогда в(и) будет представлять течение в области годографа скорости, т. е.
фиктивное течение, на границах которого выполняются те же условия для у и ф, что и для действительного течения на плоскости г (%е!и!д н 3с!4!е!бз !936). Рис. 326. В качестве примера рассмотрим приток из бесконечности к вертикальному откосу на непроницаемом водоупоре, когда вода в нижнем бьефе отсутствует (Вге!(епобег 1942) (рис. 326). Это— частный случай прямоугольной перемычки, рассмотренной у нас в главе ЧП. На рис. 327 построен годограф скорости перемычки.
Свободной поверхности отвечает дуга окружности и' + о' + йо = О, непроницаемому основанию в ось и, промежутку высачнвания— прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку и=О, о= — й. На плоскости годографа линии АВ и АС являются линиями тока фиктивного течения. Примем вдоль них состветственно ф = О и ф = 1. (Когда мы найдем величину расхода Я, то умножим значения функции тока на него.) А 61 ФИКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ Б ОБЛАСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 585 Линия ВС есть промежуток высачивания. Чтобы исследовать поведение линий тока вдоль этой прямой, можно построить семейство изоклин на плоскости (и, О). Это — пучок прямых, исходящих из начала координат (они не изображены на рис.
327). Угол 0 каждой из них с осью абсцисс меняется от нуля в точке С до — 90' в точке В. Так как область г отображается на область и+се конформно, с сохранением углов (но с измененным направлением отсчета углов), то на плоскости годографа линии тока должны пересекать прямую ВС под тем же углом сс, под каким линии тока плоскости г пересекают промежуток высачивания. При этом а представляет дополнение угла 0 до — 90'. -47А1 -ЯЮ' Рис. 327. Разметив вдоль отрезка ВС рис. 327 значения сх, можем построить семейство линий тока, исходящих из вершины А, н линий равного потенциала, Эквипотенциаль, исходящую из вершины В, принимаем за нулевую.
В точке А эквипотенциали сгущаЮтСя дО ф = ОО И СКОрОСтЬ фИКтИВНОГО тЕЧЕНИя ЗДЕСЬ будЕт бесконечно велика. Построение сетки в обл а сти те чен и я. Линиям тока фиктивного течения отвечают линии тока действительного течения на плоскости г. То же относится к эквипотенциалям. Выясним вопрос о том, как перенести эти изолинии с плоскости и + 1п (или а1 = и — (О) на плоскость х+ 1у.
Из уравнения получаем (5А) 586 УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД !ГЛ, ХЧИ! Вводя величину скорости У и угол вектора скорости с осью абсцисс 8, имеем ш= уе 'е —, = — е'е. ! ! и — 4п !! Выражение — = — е4вс( (ф + 44р) 4!и ! 4Р !' можно разбить на действительную и мнимую части, и тогда получим х=х+ 4у= = з! —, (соз 0 4(ф — яп 0 4/4Р) + ! и! —, (В!и 8 4/ф + соз 0 ТЦ). (5 2) .1' 1 ( 4058 к= з4, 4(ф, <Р~ " Мпе У = 1 — 4!ф.
(5.3) Вдоль эквипотенциалей 4/ф = О, и поэтому уравнения линии равного потенциала на плоскости течения будут представляться йб в виде Ф Г В!ВВ х = — ) — 4/4Р Ф у= ~ —" /ф. (5. 4) б,б бб б,е Здесь 4р! и 4р! — некоторые произвольно выбранные значения ф и 4р, б,у Если на плоскости годографа построена сетка линий ф = сопз! и 4р = сопз(, то, производя графичеб бб /У ское или численное интегрирование по формулам (5.3) и (5.4), можно Рис. 328. построить сетку движения иа ПЛОСКОСТИ 2.
В качестве примера возьмем эквипотенцналь ф = О фиктивного течения (рис. 327). Взяв на ней точки со значениями 4р = = О, 4/4, е/», '/4, 1, снимем в этих точках значения У и 0 и построим графики величин сов 8/У и з1п0/У как функции от ф (рис. 328). Произведя численное интегрирование, получим значения х и у для эквипотенциали ф = О. Интеграл для у в пре- Вдоль линии тока !/4Р = О, а потому линия тока плоскости г определится уравнениями А Б! ФИКТИБ!ЮЕ ТЕЧЕНИЕ Б ОБЛАСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 687 делах от 0 до ! даст приведенную длину промежутка высачиваиия 1 Проведенные вычисления дают для ординаты НБ = ВС (рис. 326) значение 0,744 Я/й. Более точно, как было показано в $ 10 главы ЧП, должно быть Н, = 0,7425 Я/й — различие всего в 0,2Б7Б.
если произвести интегрирование по другим изолиниям 1р и ф плоскости годографа, то получим сетку плоскости г (рис. 326). В частности, интегрируя вдоль полуокружности годографа скорости, получим координаты точек депрессионной кривой. Условие 1р+ й(у — Нд) = 0 на свободной поверхности может служить для проверки правильности построения этой кривой. Изоклины и изота хи фи кти в ного тече ни я.
Рассматривая комплексный потенциал в как функцию от в, мы можем взять производную от нее по в: — =в =У е-'Б' дФ Б'1Р (5.5) Линии У' = сопз! и 0' = сопз! образуют ортогональную сетку изотах и изоклин фиктивного течения. С помощью этой сетки можно уточнять построение линий тока и линий равного потенциала фиктивного течения. Допустим, что у нас грубо построена сетка фиктивного течения (желательно построить густую сетку).
Будем проводить касательные к линиям тока под одним и тем же углом 6' к оси абсцисс и соединим плавной линией точки, отвечающие этому углу. Это будет изоклина р'. Построив систему изоклин, отвечающих, например, значениям р'= 0', 5', 10', ..., проведем ортогональные к ним линии У* = сопз1. Если получим изотермическую сетку, то значения У" вдоль соседних изотах будут удовлетворять соотношению 1п (У'„+1(У*„) =агс5'= и/36, или У„'+1 = е"'ББУ'„1,09!У"„. При этом значение У;, вначале произвольное, может быть опре- делено в конце всех построений. которая будет представлять комплексную скорость фиктивного течения. Г!ри этом У" будет величиной скорости, 0' — углом, образованным вектором скорости с осью и.
Взяв !ив' н отделив в нем действительную часть от мнимой, получим !пв'= 1п У' — юй'. З О ФИКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ОВЛАСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 889 ~УВ-гв (, (5.6) и пусть йа = е'В Нз, где с(з — элемент дуги выбранной кривой, О,. — угол касательнои к этой дуге с осью абсцисс. Тогда будем иметь е~ (В~-В") г(з или 5 ф = ~ У з! и (О, — 0) сЬ. (5.7) 5 <р= ~ У'соз(0, — 0') сЬ, Ф Здесь В — начальное, з — конечное значения длины дуги интегрированна. Значения ~р и ф в какой-нибудь точке, полученные по различным путям интегрирования, должны совпадать. С помощью интегралов (5.7) можно найти значения потенциала скорости и функции тока в различных точках области годографа и, таким образом, уточнить построение сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
