П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(1.6) С помощью такого же приема можно получить приближенное решение задачи о продвижении языка грунтовых вод по горизонтальному водоупору при истечении из водоема с вертикальной стенкой, доходящей до водоупора, с учетом испарения со свободной поверхности с постоянной ийтенсивностью с. Так как теперь нужно рассматривать смоченную площадь АВС, величина которой равна '(зН/, то в решениях задачи (1.2) и (1.6) нужно будет '/з заменить на з/з. Получим 4 и послвдовхтельнхя смянх стхционлгных состоянии 000 Рис. 340 Отделив действительную часть от мнимой, получим выражение потенциала скорости р — — (п Исй — соз — ) (сй — соз ) ~+ С.
(1.10) Сделаем предположение, что выражение (1.10) имеет место и при неустановившемся движении, причем расход будет функцией времени, подлежащей определению. В начальный момент Уа20 П. Я. Пнаубарннааа.кочана а при отсутствии испарения 'т!/ 2ы 1,225 ~~/ — . / з~н~ l ьтг4 (1.8т 3десь т'. — расстояние, на которое продвинулся язык грунтовых вод от вертикальной стенки водоема. Последняя задача — о языке грунтовых вод при наличии испарения — рассматривалась также В.М.Маккавеевым (!937).
Развитие метода последовательной смены стационарных состояний и само название метода принадлежат И. А. Чарному (1948, 1949). Идея этого способа встречается у Л. С. Лейбензона (!934). ,4 Ю Укажем здесь на примере возможность применения этого метода лля решения некоторых задач, рассматриваемых как двумерные (Полубаринова-Кочина 1951, 1). Пусть имеем систему равноотстоящих горизонтальных дрен. Линия ВС представляет границу водоупора, центры дрен распо- Ь' ложены на расстоянии Ь от водо- Л упора (рис. 340).
Поместим в центры дрен точечные стоки интенсивности Я и рассмотрим бесконечную цепочку стоков в точках г=И, .+21+ И, ~41+ И, ... Такую же цепочку стоков поместим в симметричных относительно оси абсцисс точках г = — И, ~21 — И, ~41 — И, Комплексный потенциал такого течения, как известно из. курса гидродинамики (Кочин и др. !963,!), имеет вид а= — — !п(з(п и (г — Ьа'1 . и (г + Ьа) ! 2п ! 21 з(п 2! )+с= = — — (п 1 сов — — с)4 — ) + . (1.9) О (' яг пЬ ') в!о неустАИОВившиеся движения ГРунтОВых ВОД $гл х[х времени уравнение свободной поверхности пусть будет у = Нм В дальнейшем свободная поверхность будет изменять свою форму.
Но мы сначала сделаем предположение, что она представляет все время горизонтальный отрезок у = Й(1), понвжающийся с течением времени. Другими словами, мы принимаем прямую у = Й(1) за некоторую среднюю линию, около которой колеблется действительная свободная поверхность. Расход скважины за промежуток времени Ж равен изменению за этот же промежуток времени площади, занятой водой, в пределах области влияния одной скважины. Это дает уравнение (1.11) Для того чтобы найти выражение расхода !',1, поступим так. Сначала возьмем на свободной поверхности точку Е над дреной (х = О). Для нее у = й — пь Считая, что на свободной поверхности имеет место капиллярное поднятие высоты й„, будем иметь на ней условие ~р = — й(у — Й„), что дает в точке Е Гр = — й(й — Т!1 — Й„). Подставим эти выражения в (1.10), причем в правой части уравнения пренебрежем величиной тн по сравнению с й: — й(й — тп — Й)= 4 !п[(сй — !) (сй — 1)]+ С.
(1.!2) Точно так же, рассматривая точку Р и полагая х=1, у=й+ Г!м 4р = й(й+ т!е — Й,), получим уравнение — й (й + т)э — й„) = 4 (п[(1, +1) (сй ' + '+1)]+С П(З) Возьмем полусумму левых и правых частей последних уравнений и пренебрежем в левой части величиной Г1~ — т)е по сравнению с й. После некоторых преобразований получим — й(й — й„) = — +(п (зп" зй ) + С.
(1.14) Теперь предположим, что на контуре дрены, которую будем считать окружностью радиуса 6 (этот радиус считаем малым но сравнению с основными размерами области движения 1 и й), напор равен Й и, следовательно, потенциал скорости равен — йй„, В частности, можно считать, что в точке Х=О, у=6+6 потенциал скорости равен — ййх. Подстановка этого значения в уравнение (!.!О) дает — ййА = — — 1и [(сй — — 1) (сй — 1]) + С. (1.15) 61т $ Ц ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ СМЕНА СТАЦИОНАРНЪ|Х СОСТОЯНИИ Вычитая (1.16) из (1.14), исключим постоянную С и получим выражение расхода дренажной трубы (единицы ее длины) 4йв (А — А5 — 651 l я(А — ь) в(А+ Ы ~ (1.
16): 1П ~5В 5Ь ! 1 ) — т где у=!п(4ВЬ вЂ” ВЬ вЂ” ) 1П( — ЕЬ вЂ” ). (!.17), Подставим полученное выражение для расхода в формулу (!.1!) и разделим в полученном таким образом уравнении переменные. После некоторых преобразований, интегрируя, по- лучим 1 ~! (ск ~ А Ь ~ Ь )~ ИЬ. (1.18) к 5 После того как найдена зависимость й от 1, с помощью ра-- венства (1.16) можно вычислить значения (4 в функции от й Рис. 341. Для того чтобы получить приближенное уравнение свобод-- ной поверхности, воспользуемся уравнением для потенциала. скорости (1.10), из которого исключим произвольную постоянную с помощью (1.!4).
Принимая во внимание, что на свободной поверхности ф = — й(у — й,), получим У Ь+ 4ЛА!и в(А ь1 я(А+а! . (1 19) 5в 1 5Ь '/520' Е!2 неустАИОВНВшиеся движения ГРунтОВых Вод (Гл х1х Полагая Ь = О, получим частнь1й случай дрены на водоупоре. На рис. 34! даны два положения свободной поверхности в глицериновом щелевом лотке, соответствующем дрене на водоупоре (о щелевом лотке см. ниже 9 7). Для случая дрены на водоупоре было произведено сравнение результатов вычислений с результатами экспериментов в щелевом лотке (Полубаринова-Кочина (949,2).
Для среднего снижения уровня лучшие результаты получились бы при рассмотрении потока конечной глубины, когда Га выражается через эллиптические функции. й 2. Радиус влияния скважины; зона влияния. При откачке воды свободная поверхность грунтового потока начинает деформироваться вблизи скважины и можно, с той или иной степенью точности, выделить область возмущенного потока из первоначальной области. Если грунт однороден и транзитный поток Отсутствует, при горизонтальном водоупоре воронка депрессии 'будет осесимметричной, и можно говорить о радиусе влияния или радиусе действия скважины, т.
е. о таком расстоянии от оси .скважины, на котором воронка депрессии «кончаетсяхс это кратчайшее расстояние от оси скважины, на котором уровень воды становится практически равным первоначальному. При таком .определении величина радиуса влияния зависит от точности замеров уровня. Но для практики большая точность обычно и не требуется, тем более, что радиус влияния в формуле Дюпюи входит под знаком логарифма У" (Полубаринова-Кочина !960, 2). Для неуста нови вшихся движений существует такой способ определения радиуса влияния: если формулу для дебита сквай« жины можно представить в виде А Ю формулы Дюпюи ! — ПХ1 Ф(772- нт Рис. 342. ~= !.!.,!Д<1)! где Й(!) — некоторая функция времени, то Й(!) можно принять за радиус влияния. При этом для непроницаемого водоупора рядом исследователей была получена формула вида )7=а~/Й, где а — некоторая постоянная, зависящая от параметров пласта, Естественным способом для определения радиуса влияния (или зоны влияния) является метод последовательной смены .стационарных состояний или его обобщения (Чарный !956): ведь в нем как раз предполагается, что область движения разделяется на две области — возмущенную и невозмущенную.
Сначала рассмотрим галерею в неустановившемся потоке при слабо пронипаемом водоупоре. Возьмем нелинейное уравнение (1.13) главы ХП!, положив в нем дЫду = 0; (а = —, Ь = — '„), (2,1) да д / да А — = а — 1чй — ~ — Ь (Ь вЂ” Н) д1 дх ч дхх Будем искать решение этого уравнения при условиях й(х,О) = = Н, й(0,1) =Но, Ь(оо, 1) =Н. Разделим действительную область движения на возмущенную область А0 (рис. 342) и невозмущенную область за нею. Пусть АН = А,(!), и положим, что й(х, !) представляется в возмущенной области дугой эллипса ВС: Но — И' Ь'=Н' —, ' (Б — х)' при х(Ь(1), ~ Ь=Н пРи хна(1).! Проинтегрируем почленно (2.!) по х в пределах от 0 до Ь(1).
Обозначив через 5 интеграл 3= 1 Ьдх о и сделав подставки в (2.1), получим соотношение — = — а 1АЬ вЂ” ) — 6 (5 — НЕ), д5 х да к Ю 'ч дхих о причем и, и',Ъ' — и а (и — л)а, А= — 'ч- и 2 Н вЂ” Но (2,3) Отсюда найдем уравнение для Ь(й): т(Н вЂ” А) 1. — „= Ь(Н' — Но) — и' (Н вЂ” А) 1,А. (2А) Интегрирование его дает при Е(0) =0 нд( — Но) / 2н и ~о= о (1 е«1) ~,= «) (Н вЂ” А) А, оад х (2.5) Предел Б(1) при 1= со равен л„=в ~/ — ",", причем В =(Н вЂ” Но) ! (Н вЂ” А). 20 П.
Я. Палрнарааава Кочина Ф о1 РАдиус Влияния скВАжины; 30нА Влияния 613 614 неустАновившиеся движения ГРунтОВых ВОД (Гл. х!х ~(!)=( Я(1-2 !+ ...)= =2,08 и1,/ — (! — — '„+ ...). (2.6) Отсюда видно, что для малых значений 1 влияние слабо ироннцаемого основания практически не сказывается, и лишь в дальнейшем в формуле (2.6) начинает сказываться влияние второго члена ряда. Стремление ь(!) к пределу происходит медленно. Величина Е(!) представляет ширину полосы, занятой движущейся жидкостью, — ее можно назвать зоной влияния галереи. В случае осесимметричного движения можно провести аналогичные рассуждения, но выкладки будут значительно сложнее. Для предельного значения радиуса влияния получается формула вида (Полубаринова-Кочина 1960, 2). Й =а~/— где се зависит от Н, Н, и г, (г,— радиус скважины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
