П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Если принять аб1//т(а = '/,, то уравнения (4.3) становятся особенно простыми: ! й4,! 4 = 4 (й'-ь ! 4-4+ й4+ь ь«-4+ йь !-ь«-4 + й4,1+к«-4). (4 6) Согласно (4.6) блуждающая частица на каждом шаге должна переходить с вероятностью '/4 в один из четырех узлов (з — !)-го слоя по 1 и через з шагов выйдет на начальный слой, или же при меньшем, чем з, числе шагов выйдет на боковую поверхность. При этом процесс блужданий должен быть случайным, что осуществляется следующим образом. Отрезок (О, !) делится на четыре равные части (так как у нас каждая из четырех вероятностей равна '/4). Берется случайное число, лежащее между нулем и единицей,— такие числа вырабатываются датчиками по специальной программе ЭВМ (см., например, Ляшенко !97!).
Частица перейдет в тот или иной из четырех узлов в зависимости от того, в какой из четырех отрезков попадет случайное число т!. Для того чтобы при многократном розыгрыше блуждания частота попаданий из данного узла в соседний соответствовала вероятности этого события, случайные числа должны равномерно распределяться в интервале (О, !). Очень важен вопрос о числе У блужданий, который должна произвести частица, выходящая из узла (1, 1',з), для того, чтобы величина 64 ь, в формуле (4.4) была определена с достаточной точностью и вместе с тем без излишних затрат машинного времени.
В. Н. Эмих (!968) рассмотрел «задачу Г, Н. Каменского»: область фильтрации — квадрант, ограниченный с двух стороч каналами, вдоль которых сохраняется уровень воды 1! = Нь в начальный момент времени во всей области фильтрации й = Нз (Н, и Н, — постоянные). Точное решение этой задачи имеет вид Ь(х, у, 1) = Н, — (Н, — Нд) ег( ег( " . (4.7) 2 «/ааГ 2 ч/а! где Ььг,,— вероятность попадания частицы из узла (1,/,з) в ьч г-й граничный узел. Она определяется как отношение числа попаданий к общему числу испытаний. Шаги Л1 и 1А1 выбираются из условия па! 1 — ( —. Д14 езо нвгстлновившиася движения гггнтовых вод !гл.
хгх Г. Н. Каменский (1958) применил к решению этой задачи для частных условий метод конечных разностей по схеме (4.3). Рассматривая задачу с помощью метода статистических испытаний, В. Н. Эмих определил на основе некоторых теоретических оценок в качестве достаточного значение йг = 900 и провел расчеты для й! =1000 и й! = 10000 для искомой функции й(х, у, !) в диагональных узлах (1,1), (2,2), ..., (7,7) при ! = 1500 суг.
Число испытаний М =!000 оказалось достаточным. Погрешность разностной аппроксимации переплетается с ошибкой метода статистических испытаний (вероятностной ошибкой). В. Н. Эмих провел сопоставление расчетов по методу Монте-Карло, по явной и неявной конечноразностным схемам, с расчетом по формуле (4.7) и пришел к следующему выводу. Метод Монте-Карло дает значительный выигрыш во времени по сравнению с конечноразностными методами в случаях, когда требуется долгосрочный прогноз режима фильтрации в отдельных точках области, При этом неявная схема оказывается невыгодной: для получения решения в одной точке по явной схеме Монте-Карло затрачивалось около 10 сек машинного времени, по неявной — около 30 сек.
При вычислении непосредственно по разностным схемам время исчислялось минутами, так как требовалось проведение расчетов для всех предыдущих временных слоев. В цитируемой статье В. Н. Эмиха рассмотрены вопросы учета гидравлической связи с соседними горизонтами, неоднородности грунтов, наличия скважин.
Коснемся здесь только последнего вопроса. Пусть имеется скважина с заданным дебитом Я. Распределим равномерно дебит по квадратной ячейке площади Л!', в центре которой находится узел (51), ближе других к скважине. Предыдущая явная схема (4.6), сохраняющаяся для других узлов, для узла (51), который принято называть особым, заменяется таким уравнением: 1 !7 аг йьд.= 4 (й -ьл.-~+" +ь Л.-~+ "ь г-ь з-~+йь !+с.-~) — а!я (а=1, 2, ...). При попадании частицы в особый узел из общей суммы накопленного штрафа вычитается величина (5!!тб!з)9 и блуждание продолжается до выхода на границу или начальный слой. 5.
Вариационно-разиостиый метод. Рассмотрим еще один метод решения широкого класса задач о неустановившихся движениях подземных вод (Джаныбеков и Мурзакматов 1974; Мурзакиатов 1975), который проиллюстрируем на двух основных случаях — одномерного и двумерного движения. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫН МЕТОД 62! 1. Одном е р ны й с луч ай. Пусть дано уравнение г(х, 1) дь — — д (р(х, 1) — ) — д(х, 1)ь+ ш(х, !), (5.1) д» д д» которое рассматривается в промежутке а < х < Ь при 0 < ! < < Т. Ищется решение, удовлетворяющее краевым условиям р(щ () ( ' -р(1)Ь(~, 1)=~(1).
~ р(Ь, 1) ( ' ) +б(!)Ь(Ь, 1)= (1), 1 (5.2) а также начальному условию Ь(х, 0) = г'(х). Коэффициенты уравнений (5.1) и (5.2), свободные члены и начальная функция г" (х) удовлетворяют определенным условиям гладкости, обеспечивающим принадлежность решения данному классу. К уравнению (5.1) применяется метод прямых по ! с заменой дЬ/д! в момент ! = 1„выражением д»»» — »»-~ — т =㻠— !»-н дь (5.3) В уравнении (5.!) положим один раз ! = 1ю другой раз Первое из получающихся таким образом уравнений умножим почленно на а, второе — на 1 — а и сложим (а — произвольное число, 0 < а < 1).
Получим уравнение — '. ("'д".")+') Ь =~' (5.4) где Ь»=Ь(х,!»), р»=р(х, !»), ... (Й= 1, 2, ..., и), 1 — Я» = — !аг»+ (1 — а) г»-1) + аг(», — ьр»= +(1 а) — + — (»+П а)г — )— — (1 — а)д» ~Ь» 1+(1 — а) — (р», ). (5 5) ь ' = 1 Я" ('д".")'+ )Л1- М" + +аЬь» (2 Й»ЬВ»+ и») +аЬ~»( — б»Ь» — о„). (5.6) 1 1 Здесь Ь»» и Ь„А — значения Ь в крайних точках Ь-го слоя. Доказано, что решение задачи (5.4) — (5.2) — (5.3) можно свести к нахождению функции Ью дающей минимум функционала (см. Михлин!970) 622 негстлновившився движения гегнтовых вод !гл. к!к Функция Ьх(х) на каждом промежутке х! ! ( х ( х! ищется в виде линейной комбинации х — х х — х, Ьх(х) = — 'Ьп пх — ' ' Ьы ч!-! !1-! (и!-! = х! — х, б !' = 1, 2, ..., и), (5.7) при 0 (1( Т рассматривается в прямоугольнике или в области 0 с криволинейной границей Е, заключенной в прямоугольнике.
Ограничимся разбором первой краевой задачи, когда функция Ь(х, у,1) задана вдоль контура области О. После применения к (5.9) метода прямых по 1 будем иметь аналогично (5.6) минимизирующий функционал 1а= ~~ЯР!х( д ) + Раь( д ) ~+ з с1хЬ!',— файв~ г(х!(У. (5ПО) о В главе Х!1111 мы имели подобный функционал (7.3), для минимизации которого был указан метод конечных элементов.
где Ь!х есть искомое приближенное значение Ьд в точке хь Поступая аналогично тому, как это было сделано в э 7 главы Х!1Ш при отыскании минимума интеграла 7(Ь), можно получить трехдиагональную систему алгебраических уравнений относительно Ьпь которая решается методом прогонки. Интегралы, через которые выражаются прогоночиые коэффициенты, вычисляются по тем или иным квадратурным формулам. Можно для получения большей точности аппроксимировать Ь„(х) кусочно-кубическими полиномами (сплайиами) (см.
Марчук (972; Алберг и др. 1972): Ь|(х) = (х — х) „(х — х ) 1 ~ ч! ~ ) х! — х =М!,,! +И,, '-' +(Ьи и,— И,,— ''! + ьч, бп! ! б / ч! Числа М; определяются из системы уравнений, выражающих условие гладкости первой производной многочлена (5.8) в узлах сетки. При этом приближенное решение получается непрерывным. 2. Дву мерны й случай. Уравнение г (х, у, 1) эг —— — — ( Р! (х, у, 1) — ~ + — ) Р, (х, у, 1) — ~— — д (х, у, 1) Ь + ш (х, у, 1) (5.9) $6) ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ 623 Было отмечено, что этот метод является трудоемким для реализации на ЭВМ. В работах Ч. Джаныбекова и М.
У. Мурзакматова рекомендуется «расщепление» функционала (5.10) и сведение его к одномерным функционалам. Применяя локально- одномерный метод (Самарский 1962), на слое ((ж !» )) вмес)о уравнения (5.9) рассматривают последовательность двух одномерных уравнений типа (5.4), решение которых сводится к минимизации следующих функционалов: „(2) ( 7(п»= ~ ( 2 ~"р(»( д ) +('))»й(()»~ 2()~»йп)»~((х (511) 2(() ! 2(2) 7(2)» = ~ ( 2 ((ОР(» ( д' ) + (Т2»й22)»~ (()2»ь(2)» !) (!У' (5 12) ЕП) ( В выражении для (р)» принимается й(()» ( = Ь» (, где й» ( считается уже вычисленным.
Во втором функционале при вычислении (р2» найденные величины (((()» принимаются за (((2)» (. Вычисленные затем значения (((2)» принимаются за решение задачи при ! = !» '. Й» = й(х, у, !») = й(2)м При этом Я» = ()(» + 92» и (р» = (рм+ (р2» (разбивка функций (,)» = Я(х, у, !») и (р» = = (р(х, у, (») произвольна); Я,» и ь~*» (з = 1, 2) выражаются аналогично (5.5). Пределы интегралов (х(", х(')) и (у',", у((')) — координаты точек пересечения кривой 7. с прямыми у=у) и х=х( соответственно.
Результаты, получаемые при решении одномерной задачи вдоль одной из координатных осей, служат начальными условиями для другой одномерной задачи, решаемой вдоль другой координатной оси. Такой локально-одномерный метод применяется и для решения третьей краевой задачи, когда задается на контуре 7. условие вида д» д» ))(соз(пх)+))2 сов(пэ)+)(хе!)йо(хна для всех ! в промежутке 0 ( ! ( Т. Авторы рассмотрели также ряд задач фильтрации в многослойных пластах, в том числе и для случая нелинейных уравнений. 9 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
