П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 91
Текст из файла (страница 91)
В случае простейшего выбора аппроксимирующей зависимости й(х,1) для возмущенной области в виде йе Не+(Не Не) !В(Г1ГЙ о В !и (ЙН) приближенное значение а получается равным 2,82. $3. Метод конечных разностей. В настоящее время этот метод в разных вариантах широко применяется для численного решения уравнений параболического типа (см., например, Березин и Жидков 1962).
В теории фильтрации одним из первых, применявших этот метод, был Г. Н. Каменский (1943). Он делал расчеты для участка канала Москва — Волга, рассматривая задачу как одномерную, в которой ордината свободной поверхности Й(к, у, !) удовлетворяет уравнению да Ф д'6~ м — = — — + —. д! 2ж дх~ т ' (3.1) При изменении у= Н4Н от единицы до нуля Ве изменяется в узких пределах, от Н((1 — и/4) до 4Н, а  — от 2,!ба/Й до 2 ч~Н. Можно принять В=2,08 ч/Н, тогда 1.
ж2,08 ~lй Г(Н!й, При другом выборе функции й(х, А) мы получили бы другой множитель перед знаком корня в последнем выражении для С . Коэффициент у при ! представляет очень малую величину. Разлагая экспоненту в (2.5) в ряд по степеням 1, получим МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕИ б!5 где индексы ! — 1, й !+ 1 обозначают последовательные сечения грунтового потока, Лк — расстояния между сечениями, числа 1, !+ 1 — порядковые индексы для моментов времени, Ь!— расчетные промежутки времени.
Для вычислений формула (3.2) переписывается в виде, решенном относительно Ьь 2+н АЖ 2 2 2 2 ЮШ ЬЕ2~.~ =ЬЕ2+, 1Ь)~ь! — 2Ььт+Ь2-ь!)+ —, (33) причем нужно исходить нз заданных начальных и граничных условий. С помощью конечных разностей можно вести расчет и для случая, когда граница водоупора является криволинейной поверхностью. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид г = = — Ти(х). Отсчитывая ординату свободной поверхности от некоторой горизонтальной линии, обозначим разность Ь вЂ” Тм т.
е. глубину потока, отсчитываемую от водоупора, через Т. Тогда уравнение (3.1) нужно будет заменить таким: — = — — (т — ~~+ —, да к д Г да к 22 (ЗА) д2 (п дк ~ дк) и2' а уравнение (3.3) — следуюшим уравнением: Йш 22 Ьь гы — — ЬО2+ — — — ~ТЕ!(Ь2+ь ! — 2ЬЕ !+ Ь2-ь 2) + — Ь!. (3 б) Для простейшего линейного уравнения ди д2и — =а— дг дк2 (3.6) формула, соответствующая (3.3), имеет вид Еаш х аш и2 ! ы — — (! — — 22!и, 2+ —,(и;, !+ и,, ~ !), (3.7) Решение данного дифференциального уравнения (3.6) в каждой точке будет равно решению соответствующего аппроксимирующего разностного уравнения (3.7) плюс ошибка аппроксимации. Если ошибка затухает при уменьшении Лк и Л1, то разностный метод называется устойчивым, решение разностного уравнения 20' Здесь ш — инфильтрация сверху, т — пористость или недостаток насыщения.
Ордината свободной поверхности Ь отсчитывается от водоупора. Уравнение (2.1) можно заменить уравнением в конечных разностях 2 2 а~ гю — Ь, ! и Ь;.+1 ! — 2Л! Т+Ь2 ~ ! 22 — + —. (3.2) 6!6 Неустхновившиеся дВижения ГРунтОВых Вод !Гл, х!х при достаточно малых Лх и Ы близко к решению дифференциального и стремится к этому решению при неограниченном измельчении сетки. Для неустойчивой разиостной схемы ошибка аппроксимации увеличивается при измельчении сетки и решение разностного уравнения не стремится к решению дифференциального уравнения. Уравнение (3.?) представляет так называемую явную схему, т.
е. такую, в которой индекс 1+ ! стоит только при ордипате в левой части уравнения. Для того чтобы схема (3.7) была устойчивой, необходимо выполнение условия (3.8) Если это условие не выполняется, то пользуются неявными схемами, в которых индекс 1+ ! входит в обе части уравнения. Эти схемы всегда устойчивы, но вычисления по ним сложнее— применяется метод прогонки (Березин и Жидков !962).
В качестве наглядной иллюстрации метода конечных разностей может служить графический способ. Графический способ интегрирования ура внения теплопро водности. В статье Ю. Ф. Харкеевича (1950) указан такой способ. При специальном выборе М и Лх, а именно, при ах 2 а 2а уравнение (3.7) упрощается и принимает следующий вид: ! ие гт, —— — (и,, г + и, +, т).
(3. ! 0) Введем систему координат (х, 1, и) (рис. 343). Допустим, что нам нужно найти решение уравнения (3.6) при начальном условии и (х, 0) = 1 (х) (3.!1) и граничных условиях и(0, 1)=щ(1), и(1, 1)=~р,(1). (3.!2) На оси х отложим длину 1 и разделим ее на л частей, каждая из которых будет равна Лх = 1/л.
На плоскости 1= 0 построим линию и =1(х), а на плоскостях х = 0 и х =1 соответственно линии и = ~р1(1) и и = ~се(1). Вдоль оси 1 будем откладывать отрезки О1, вычисленные по формуле (3.9). Теперь, рассматривая ординаты начальной кривой ию и ием возьмем согласно формуле (3.!0) их полусумму. Получим орди- 617 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ нату ин. Можно полусумму ординат определять с помошью приложения линейки к точкам иоо и и2, и проведения средней ординаты. Приложив линейку к концам ординат и~о и иоо, отмечаем точку пересечения этой прямой на ординате иоо, отрезок которой от оси х до отмеченной точки дает ординату и21 и т, д. Полученные ординаты переносим параллельно оси и в точки (1,!), (2,!), (и — 1,1) первого слоя. Сое- Г)22 Я~ ~~~ динив концы ординат иоь ин,..., и„~ плавной линией, получим кривую для момента времени 1~ — — М.
Построив средние арифметические ординат этой (у~ б кривой и перенеся их в точки (1,2), (2,2),..., (п — 1,2), будем иметь величины орб б ДИИЕТ ио2, и!2, ..., и~2, ПО 7 которым построим кривую для следуюшего момента времени 12 —— 2А(, и т. д. и При построении рекомендуется изображать область (х,!) в виде прямоугольника (рис. 343), а ординаты и в виде вертикальных отрез- Рис. 343. ков. В упомянутой статье (Харкеевич 1950) рассматривается уравнение теплопроводности для трех независимых переменных (х, у,1), а также для четырех — (х,у,г,!), й 4. О методе статистических испытаний (метод ййонте-Карло).
В последнее время к решению фильтрационных задач часто применяется метод статистических испытаний (см., например, Швидлер !963, 1, 2; Абуталиев и др. !968). Не входя в детали, поясним основную идею метода в применении к приближенному интегрированию уравнения теплопроводности, причем используем статью В. Н. Эмиха (1968), который на одной задаче выяснил особенности этого метода, и условия, при которых его применение выгодно. Уравнение (4.1) 618 ннтстлновившиася движения ггхитовых вод [гл, х!х будем рассматривать в области 6(0 < х < ха, О < у < у„ 0 < ! < аа) при условиях й (х, у, 0) = На (х, у), Ь (О, у, !) = Н, (у, !), Ь (ха, у, !) = Н (а, !), Ь(х, О, !)=Нз(х, !), Ь(х, ум !)=Н,(х, !).
(4.2) Уравнения (4.2) можно рассматривать как краевые условия, заданные на границе Г области 6, представляющей полубесконечный прямой параллелепипед. Немногим сложнее было бы рассматривать полубесконечный цилиндр с направляющей на плоскости (х, у), удовлетворяющей достаточно широким условиям. Покроем область 6 пространственно-временной сеткой с шагами Л1 по пространственным координатам и Л! по времени. Составим систему конечноразностных уравнений, соответствующих уравнению (4.1): 4аа! 1 Ь1,!.~=(1 ~ )"!.!.а-!+ аз! + —, (Ь;, г,, + Ь,+, г,, + Ь, ! ...+ Ь, !~к..) (4.3) (!', 1, з = 1, 2, ...).
Перенумеруем узлы, образовавшиеся на начальной плоскости з = 0 и боковых гранях. Тогда вместо (4.2) будем иметь условия Ь' ! (г Ь (г 1 2 Ю Я Ь1, !.а = ~а й!', г,~йо ао а (4А) причем берутся все узлы вплоть до (з — 1)-го слоя по !. По методу статистических испытаний определение величины й,;, осуществляется путем реализации процесса блуждания фиктивной частицы из узла (!, !', з). Каждый шаг блуждания представляет переход частицы из данного узла в один из связанных с ннм по схеме (4.3). Переход в соседний узел должен выполняться с вероятностью, равной коэффициенту при соответствующем значении Ь в этом узле, который теперь принимается за узел отправления.
Блуждание прекращается, когда частица попадает на границу Г области 6, причем фиксируется <штраф» — значение й„в узле попадания. Затем частица вновь начинает блуждать из узла (1,1,з), При многократном повторении блужданий вычисляется статистическая оценка математического ожидания штрафа в узле (!,1,з), которое (см., например, Швндлер !963, !) равно величине й! ь„ что можно записать так: МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ е!э $4! (4.5) При нарушении этого неравенства вероятность перехода блуждающей частицы из данного узла в непосредственно под ним расположенный была бы отрицательной, вместе с тем условие (4.5) есть условие устойчивости явной схемы (4.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
