П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Движение под действием источников и стоков с нелинейным условием на свободной поверхности. Такую задачу рассматривал А. Бегматов (1973,1974). Мы ограничимся рассмотрением двумерного движения в вертикальной плоскости (х,у). Пусть в начальный момент грунтовые воды занимают полосу О < д < ̈́— оо < х < со, причем плоскость д = О совпадает с водоупором, где дф/дд = О.
Потенциал скорости ф(х,д,1) удовлетворяет уравнению Лапласа (6.1) Пусть уравнение линии свободной поверхности б в результате действия источников или стоков имеет вид Р (х, д, /) = — д — и (х, /) = О. (6.2) Тогда на свободной поверхности выполняются два условия: условие постоянства давления ф(х д, 1)+ йд=сопз( (6.3) н условие стационарности Е, рассматриваемой как поверхность разрыва, лг д +бгабр 6габф=О на б. дР (6.4) Уравнение (6.4) легко получается, если рассмотреть уравнение (6.2) в момент времени 1+ Ы, когда точка х, д перейдет в точку (х+ бх, д + бд): Р (х + Ьх, д + бд, 1+ М) = О.
(6.5) Вычитая (6.2) из (6.5), разделив иа М и перейдя к пределу при б1- О, получим дР дР дх дР ду — + — — + — — = О. дГ дх И ду дГ Наконец, учитывая, что лг(с(х/Ыд) = дф/дх и гп(с(д/Ж) = дф/дд, получим (6.4). По аналогии с тем, как действовал В. Л. Данилов (1957, 1962) в задаче о перемещении контура нефтеносности, потенциал скорости фильтрации ф ищется в виде ф(х, д, Г) = ~ р (з, /) 0 (х, $; 1) гЬ+ фо (х, д, /) + С. (6.6) Здесь фо †известн функция, учитывающая действие источников и удовлетворяющая условию дф,/дд = О при д = О, р — неизвестная плотность потенциала простого слоя по искомой линии /., 0(х, в; /) — функция Грина для полуплоскости, причем $ — координата точки контура /.. Для решения поставленной задачи — отыскания функций ф(х,у,/) и п(х,/) — применяется следующий прием. Предполагается, что область иад поверхностью грунтовых вод занята 624 нвустхновивщиеся движения гукнтовых вод [гл, х~х 626 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД (ГЛ, Х!Х Здесь Ч (х, О) = по= сопз1, К=2(пгай(х дгайг)ы ('(х, 1)= — + — ~ К(х, $; 1) с(е+ — (пгай(ро йтайР)]е.
(6.13) Г 2 А. Бегматов (1974) предлагает приближенный способ интегрирования уравнения (6.11). Разбивая рассматриваемый промежуток времени на малые отрезки !1„(, 1„], линеаризуем уравнение (6.11) на каждом отрезке; вычисляем ядро К и свободный член при у = т((х, 1, 1), т.
е. заменив 7. для 1ен(1, н 1„] на Е„, = 1., (,. При этом на каждом отрезке интегро-дифференциальное уравнение сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода: Ю 61 = ~ ~ " Д,' К~ йод+1]ч ч(х, ). (6.14) Л. Бегматов доказал однозначную разрешимость этого уравнения. П р и м е р. Требуется определить понижение уровня грунтовых вод в горизонтальном, простирающемся до бесконечности пласте конечной мощности, с непроницаемой подошвой, под действием горизонтальной дренажной трубы. Если действие трубы заменить действием стока, расположенного в ее центре (О, с), имеющего расход (7(1) на единицу длины трубы, то в (6.12) нужно положить О = — 1п — + !и —,, (ро —— — 1и г.
г' 2п ~ гого ~ (х — $) Чх (х, 1) — !Ч (х Π— Ч (1 О ! 2и(йтай0 пгайу)у ч — ( 1), + ',' + + (х — о) чх(х* О+ 1ч(х 1)+ч($ 61 (х — 1)'+ !Ч(х, 1)+Ч($, С)!' где го=(х — ~)'+(у — Ч)', г" =(х — е)'+(у+Ч)о, г'=х'+(у — с)о, г" =х +(у+с)'. На первом отрезке 0(1(1, имеем (пгай 0 пгай г) ( — 1)о+ 4ч~о о(с) ! чо — с Чо+ с )о ж и ! хс+ (Чо — с)о + хо+ (Ча+ с]о1' ( гай тай г") 4 61 дВижение пОд деистВием истОчникОВ и стОкОВ 627 Поэтому уравнение (6.14) при а=1 примет вид 2 2 + — (Ига()(ро Ига(( Р)~ дт! 2т(а 1 дт) (1, () >($2 д( л дс (х — $)2 + 4Ч~~~ ст (6.15) Для удобства будем отсчитывать уровень грунтовых вод от стока, полагая т)0 = ус+ с.
Тогда уравнение (6.15) перепишется так: дп + 1 ~ дп($, () 2(уа+ с) >($ д( л ) дг (х — $) +4(ус+с)2 О(() 1 уа ус+ 2с 3. "+ уо хо+ (уо+20)'1' или Здесь Ф(а)=Ф(()== ~ ((х)е(ахо(х, 1(х)= — ~= ~ Ф(а)е-(аха(а. Г 1 т> 2л Возвращаясь к оригиналу, из (6.16) получим (Градштейн и Рыжик 1962, стр. 518) \ дт( д (() ! сн (ас) д( ст з с)> (а (уа+ с)) соз (ах) ((а = о лс „лх 005 сь 2Ьа+с) 2Ьа+с) (6 ( лх лс ( с)т — + 005— уа+ с уа+ с ст(уа+ с) Отсюда, интегрируя по 1, находим — (' соа сн — — (' 2(ус+с) 2(уа+ с) с) лх лс СЬ вЂ” + СО5— уа+с ус+с о 1 т)(>) уо ( + К этому уравнению применяется преобразование Фурье.
Используя теорему о свертках, получаем Ф ( ) + Е-2(а((5>+с(Ф ~ ) С(1(ас) Е-(а((5+с! / дч ( (дч т 24 (, д() ~ д() л>л > 628 неустАновившиеся дВижения ГРунтОВых ВОд 1Гл. хсх Для пласта неограниченной мощности, устремляя с к СО и раскрывая неопределенность, получим с Ч(х,()=и — — „"',, 141() ( На последующих отрезках времени приходится применять численные методы решения уравнения сРредгольма (6.11). Для уравнений подобного вида В. Л. Даниловым (1957) предложен аналог метода Эйлера, В других задачах А. Бегматов применял обобщенный метод Ньютона (см.
Канторович!949). Б. ОПЫТЫ В ЩЕЛЕВЫХ И ГРУНТОВЫХ ЛОТКАХ, НАТУРНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В 7. Теория щелевого лотка. Известно, что плоское безвихревое движение хорошо воспроизводится посредством пропускания вязкой жидкости между двумя параллельными пластинками, достаточно близкими друг к другу. Рис 344. Аналогия между ламннариым движением жидкости в щели между параллельными пластинками и движением воды в грунте с постоянным коэффициентом фильтрации была использована Е. А. Замариным. Прибор, названный щелевьсхс лотком (рис. 344), был изобретен Х. С. Хиле-Шоу и применялся Н. Е. Жуковским для демонстрации обтекания крыла ламинариым потоком.
В настоящее время он широко распространен в научно-исследовательских и учебных лабораториях. Щелевой лоток удобен тем, что дает наглядную картину движения, легко позволяет воспро- 629 ТЕОРИЯ ЩЕЛЕВОГО ЛОТКА 9 71 изводить неустановившееся движение. В противоположность прибору ЭГДА здесь свободная поверхность образуется автоматически. Теория щелевого лотка изложена В. И. Аравиным (1965). В курсах гидродинамики рассматривается задача о движении вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными плоскими стенками (рис.
345). Пусть движение У1 будет одномерным, происходящим параллельно оси х, так что о =гв =О. Как известно (Кочин х и др. 1963, 2), в этом случае имеет место уравнение др д'м — = 1Х вЂ”, (7.1) дх дх где р — вязкость жидкости, причем дрых здесь будет величиной постоянной. Интегрирование уравнения (7.!) по е в пределах от а до г, принимая во внимание условия прилипания жидкости к стенкам, т.
е условия и = О при г = ~а, дает и (2) = — — (о — еа) †. г др 2и дх ' Интегрируя полученное выражение скорости по г в пределах от — а до а, найдем расход жидкости через поперечное сечение щели (считая толгцину слоя в направлении, параллельном оси у (рис. 345), равной единице) 2аз д н х ' ЗН дх ' Отсюда для средней скорости и, движения параллельно оси х получаем д а' др (7.2) 2а За дх ' Если учитывать действие силы тяжести, то в формуле (7.2) вместо давления нужно взять величину Р = р+ рйу или пропорциональную ей величину — напор й = у+ р/(рд).
В последнем случае уравнение (7.2) примет вид а'Е дв и. = — — —, (7.3) Зч дх ' где Р = (х1р — кинематический коэффициент вязкости. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД ~ГЛ. Х!Х езо Обратимся теперь к двумерному течению между параллельными стенками, т. е. такому, в котором составляющая скорости по оси е (рис. 345) равна нулю, но и и о отличны от нуля.
Тогда будем иметь систему уравнений движения вязкой жидкости — — — +уби, 1 др р дх ' Ф+,Л„у ) (7.4) 0= Движение вязкой жидкости в узкой щели, как и движение жидкости в пористой среде, относится к числу «ползушихя движений (см. Э 12 главы 1). Эти движения характеризуются малыми скоростями, т. е. такими, что можно пренебречь в левой части уравнений (7.4) инерционными членами, а в правых частях этих уравнений — значениями вторых производных по координатам х и у по сравнению с производными по е. Так же как в случае одномерного движения, будем иметь для средних значений составляющих скорости и. и о„в узкой щели выражения а'у дй а'у дй и = — — — В (7.5) Зу дх ' ' Зу ду ' Обозначим входящий в эти выражения коэффициент да'/(Зу) через а. Величину а называют коэффициентом проницаемости щели.
Перепишем теперь уравнения (7.5) в виде и = — а —, В.= — а —. дй дй (7.6) дх' * ду' Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости — "+ — '=0 ди „д а дх ду приводит к уравнению Лапласа для й. Сопоставляя уравнения (7.6) с уравнениями теории фильтрации и= — й —, о= — й —, дй дй (7.7) дх' ду' видим полную аналогию между ними. Граничные условия в шелевом лотке такие же, как для грунтового потока.
По законам движения вязкой жидкости она прилипает к стенкам, на которых скорости равны нулю, образуя пограничный слой. Однако этот слой чрезвычайно тонок, и, как показывают опыты по обтеканию профилей, картина линий тока в шслевом лотке совпадает с той, которая получается при теоретическом решении задачи об обтекании плоского профиля. ТЕОРИЯ ЩЕЛЕВОГО ЛОТКА' 631 Заметим еще, что выведенные формулы для движения в щели предполагают ламинарный характер течения, поэтому число Рейнольдса для щели Рсе= Уа/ч, где Р— характерная скорость течения, не должно превосходить критического значения, в качестве которого В.
И. Аравии (1965) предлагает брать Ке„р —— 500. Для очень узких щелей закон распределения скоростей (7.6) становится несправедливым. Однако для обычных опытов с глицерином при размерах щели порядка ! мм или долей миллиметра этой опасности не возникает. Наконец, отметим, что установившаяся картина ламинарного течения наблюдается на некотором расстоянии 1 от входа в модель. Имеется указание (Аравии !965), что 1 — 0,!аде. Определение картины фильтрации. Фильтрация через тело плотины моделируется так: в широкую коробку с глицерином вставляется из парафина модель плотины с ~1 (ОЬс4(е)д14 на рис.
346), причем слой парафина должен быть таким, чтобы щель между стеклом и парафином была доста- е точно узкой. На рис. 346 дан а вид модели плотины в щелевом лотке; верхний и нижний бьефы моделируются с помощью Рис. 346. коробок, более широких, чем щель лотка. Стеклянные цилиндры по бокам лотка служат для поддержания желаемых уровней жидкости на границах лотка. Формулы (7.5) показывают, что если нужно получить определенное значение проницаемости, то ширину щели 2а нужно брать тем меньшей, чем меньше вязкость жидкости, с которой проводится эксперимент. Если пропускать воду, то нужно брать щель порядка О,! — 0,3 мм, для глицерина можно брать 1 — 2 мм. Предположим теперь, что имеем одинаковых размеров грунтовый лоток (например, с песком) и щелевой лоток (с глицерином или водой). Расход грунтового потока в лотке на единицу его ширины (перпендикулярно к плоскости чертежа, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
