П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 85
Текст из файла (страница 85)
хюн где и — внешняя к области движения нормаль к линии свободной поверхности. Уравнение (2.5) можно вывести из условия, что на свободной поверхности — = О. дф дп (2.6) Так как ф= — й(р+ у) (при рд= 1), то (2.7) Но с(у/Нп, как видно из рис. 319, равно косинусу угла между нормалью и и осью у: пу)г(п = з)п сс = соз(п, у). Подставляя это значение г7у/дп в уравнение (2.7), получим соотношение (2.5). Оно может служить для проверки п правильности построения депрессионной кривой или для построения у изобары р = рн когда известна депрессионная кривая — изобара р = а = рь В последнем случае имеем приближенное равенство ро — р1 = Ьпсоз(п, у), (2.8) Рис.
319. позволяющее, построив нормали в ряде точек свободной поверхности и вычислив в них соз(п,у), найти длины отрезков нормали Лп между линиями рс и рь В первом издании настоящей книги (Полубаринова-Кочина 1952, 1) формула (2.8) была использована для построения формы свободной поверхности при неустановившейся фильтрации— вытекания воды из каналов в грунт (см. $5 главы ХЧ1 первого издания). Однако лица, пробовавшие применять этот способ к отдельным задачам, заметили, что счет получается неустойчивым: при небольшой деформации изобары угол нормали к ней может сильно изменяться. Поэтому этот способ нельзя рекомендовать. Приведенные в первом издании книги примеры, получен- Отметим, что при построении изолиний для случая фильтра- ции в земляной плотине мы сталкиваемся с тем затруднением, что линия свободной поверхности заранее не известна, и ее надо определять подбором как линию тока, вдоль которой й = у.
Используя то обстоятельство, что депрессионная кривая яв- ляется изобарой, можно найти, что вдоль депрессионной кривой должно выполняться соотношение — = — соз(п, у), др дп 4 2! СРЕДНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ, КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 670 ные с его помощью, могут иметь лишь иллюстративный характер. Применение метода сеток в случае анизот р о и н ы х г р у н т о в. Рассмотрим следующий пример (Козлов 194!). Задан флютбет (рис. 320) с размерами 12=6 и, !2=10 м, 5 = 3,6 .и.
Коэффициенты фильтрации в направлении главных осей анизотропии имеют следующие значения: й! = =0,000049 »2/сек, й2=0,000004 м/сек, так что «коэффициент анизотропии» Р = йз/й! = 0,0816. Угол между осью х и главной осью фильтрации $, который характеризует наклон слоистости, а = — 19'7. У 17 /7 /57/-/П Рпс. 320. Требуется построить сетку движения. Вспоминая результаты $8 главы ЧП1, перейдем от координат х, у к координатам Х, У. Воспользовавшись формулой (8.3) главы УП1 для тангенса угла й косого шпунта с осью Х !н б = '/"'А' (722 72!) 5!П а 005 а для рассматриваемого примера найдем !дб = + 1 и й = и/4. По первому из уравнений (7.6) главы УП1 при у = 0 имеем 72! 52П а+ 722 205 а по второму уравнению при х = 0 получим У= — Х= т/А,М, 1 2 Х !2 (722 — й~! ип ас05а 576 устлновившиеся дВНЖГния ГРунтОВых Вод !Гл.
хнн! Отсюда можно найти длины преобразованных отрезков флютбета и шпунта (рис. 321) 1! = 8,92 м, 1и — — 14,87 м, 5 =! 1,64 м. В осях координат Х, У на рис. 321 дана сетка движения. Рис. 32!. Уравнения (8.2) главы ЧП! позволяют сделать пересчет полученной сетки, перенеся ее на плоскость х, у. Новая, уже не ортогональная сетка представлена на рис.
320. Отметим, что сетка рис. 32! может строиться указанными Выше графическими методами, но может быть получена и иначе, Рис. 322. например, В. С. Козловым (1941) она была построена по методу электрогндродинамических аналогий, о котором говорится ниже ($ 9). Для неоднор одн ы х грунтов при переходе из одного слоя в другой нужно учитывать закон преломления линий тока на границе раздела двух грунтов, Приемы построения сеток в свткл В Осухиммттиичиом лзиукнп1и неоднородных грунтах развиты в работах Н.
К. Гиринского (1939) и С. Ф. Аверьянова (1949, 3). На рис. 322 дан пример се~ки для фильтрации под флютбетом в основании из двух различных грунтов (Фильчаков !9бО). й 3. Сетка в осесимметричном движении. В случае движения несжимаемой жидкости с осевой симмегрией существует функция тока ар, через которую составляющие скорости выражаются следующим образом: ! дав о = — —, г ди' ! дау па = — — —, (3.1) Ось г — ось вращения, г — полярный радиус-вектор. Функция ур удовлетворяет уравнению да ай два)у 1 дау — + — — — — = О.
(3.2) дга диа г дг Рис. ЗЯЗ, Если движение имеет потен. циал скорости Ч1, то для последнего получаем в цилиндрических координатах уравнение — + —, + — — =О. да<р дава ! д1р дга диа г дг (3.3) Допустим, что построена сетка линий ар = сопз( и р = сопз1. Эти линии взаимно ортогональны, но из них нельзя образовать изотермическую сетку, т.е, сетку квадратов. В самом деле, из равенств (3.1) и из свойства функции Ву имеем П и=— и г дг дг ' и дг г дг Если давать 1р и ф равноотстоящие значения, полагая Лар = Ь1р, то получим, что должны выполняться условия гЬз,,=Агав Ьг„=гЬг,.
(3.4) Индекс р или ар указывает, между какими линиями берется приращение. Выведем формулу для вычисления значения фо функции тока ур в центре квадрата со сторонами 2п, если известны значения этой функции ар„, ары ур„ура в вершинах квадрата (рис. 323). ПРоведем линии УР = УР„..., 1Р = уйз чеРез веРшины квадРата и вычислим расход между поверхностями вращения ф = ф, и !О П я Полубарииова-Ковала б78 устлнОВНВшиеся движ1 иия ГРу|1ТОВых Вод 2гл. хчи1 Ч2 = 2РЬ ЭлементаРный Расход 2(Я мсгкдУ повсРхностЯми ф и ьр+ Йр равен 2(О= 2пго 2( = — — 2п — 2(г. д2Р дг Отсюда, выбирая соответствуюшим образом значение постоянной интегрирования, получим Я = — 2п (Ч2 — ЬРа).
(3.5) Для расхода Г),О между поверхностями ф, н фь находим, принимая во внимание, что расходы через стороны сь() и Ось одинаковы: П '1 2)со = 2)аа+ 2)аа = 2)аа+ 2)ао = 2п (à — ) "О»+ 2пгпп ° Отсюда, выражая расходы через значения функции тока по формуле (3.5) и сокрашая на 2п, получим п2 2(20 фс + (à — и ) ПОс+ ГПОг Таким же образом, подсчитав расход между поверхностями фь и 2рь, будем иметь и 2 2(2Ь = 2)2Ь 2 Г + — ) нос + Г)1ОГ Точно так же получим п2 2(2Ь = ф, — (г + —,, ) по, — (г + п) и ОО пз ьр, = ф~ + (~ — — ) по, — (à — п) по,.
Складывая все четыре выражения для фь и деля сумму на четыре, найдем 2"а + 4ь + 2~с+ 24 4 При этом для О, можно взять одно нз следующих приближенных выражений: '~М> 2 ч2Ь Ф~ 2 2)2с Фп 2 2)2ь+ )2с 42» "рд * г дг г вп г 2п г 4п Рассмотрим пример применения графического метода. Сетка для установившегося движения при наливе воды в скважину (осевая симметрия). В полевых условиях проницаемость грунта определяется в основном двумя методами: методом откачки и методом нагнетания. с)астным случаем нагнетания является налив воды в скважину. сетка в освсиммвтгичном движении 579 Предположим, что нам удалось осуществить установившееся движение при наливе в скважину — для этого нужно вести опыт до тех пор, пока расход, подаваемый в скважину, практически Рис. 324 станет постоянным.
В. М. Насберг (1950) рассмотрел частный случай, когда отношение высоты столба воды в скважине над ее дном к диаметру скважины 6/д = 50, Действующий напор, отсчитываемый от некоторой плоскости а~с~ (рис. 324), обозначим через Н. Поверхности равного напора построены через равные интервалы напоров ЬН, причем 7хН Н (3.6) Р ' 680 УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД !ГЛ. ХЧН! где р — число поясов напора.
Поверхности тока построены через равные интервалы расходов, т.е. расходы Л!е каждой кольцевой трубки тока, протекающей между любыми двумя смежными поверхностями токов, должны быть одинаковы: Л!е = —, с! где !е — полный расход скважины, 1 — число трубок тока, равное числу поверхностей тока, принятых для построения. Согласно условию Ь = г на свободной поверхности расстояние между горизонтальнь!ми плоскостями, проведенными через линии, образованные пересечением двух соседних эквипотенциальных поверхностей с поверхностью депрессии, должны быть одинаковы и равны ЬН. При построении сетки можно использовать методы, применяемые прн построении электростатических полей с осевой симметрией (Корсунцев 1937). Назовем величину М = й — = сопз1 »!Н л!з (3.8) приведенным сонротивлением участка трубки тока, заключенного между смежными эквипотенцнальными поверхностями.
Из (3.1) следуют приближенные равенства лф 1 л~~ аф 1 ае !!У» ап ' аф» !!и' где Лз и Лп откладываются по взаимно перпендикулярным направлениям. Полагая Лф = й ЛН, 2п Лф = Щ, Лз = 1, /!и = Ь, получим Л/с = 1/(2п»Ь). Для», малых по сравнению с Ь (рис. 324 — вблизи скважины), поверхности тока близки к горизонтальным плоскостям, поверхности равного напора — к вертикальным цилиндрам, и для расхода Л(1 можно принять формулу (1.4) главы 1Х. Поэтому М = !п (»!/»Е)/(2НЬ). В последних формулах введены следующие обозначения (рис. 325): 1 — средняя длина участка трубки тока, заключенного между смежными эквипотенциальнымн поверхностями (1= = АВ на рис. 325), Ь вЂ” средняя ширина меридионального сечения участка трубки тока (Ь = СО), 2п»Ь — площадь среднего поперечного сечения участка трубки тока, » — расстояние от середины сечения трубки тока до оси скважины (» = ОЕ), »,— расстояние от точки С до оси скважины, »! — расстояние от точки 0 до оси скважины.
Из равенств (3.6) — (3.8) получается формула для определения коэффициента фильтрации й: Ь = — Т а= — -а= Са. Аи ! Ар »» ! ав (3,9) МЕТОД СУММАРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ lе ге Рис. 325. найденную по чертежу сетки, построенному в масштабе 1: лб, разделить на гпг. Получим С= —. с„ гиг На сетке рис. 324 принято й/г/=50, 6=175 мм, ЬН=20 мм, 1=6, Ы=3,82 1О-' мм '. По уравнению (3.9) получаем С = — — =318 1О ам ~ -б г ЬН Г ' мм'' 9 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
