П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 81
Текст из файла (страница 81)
хчп гидгодинхмическхя теогия 548 Принимая давление на свободной поверхности постоянным, из (1.3) получаем условие на депрессионной кривой (постоянная С принята равной нулю) ч+йу=О. (1.4) Предположим, что на линии Ь свободной поверхности грунтового потока некоторая функция остается все время равной нулю: г'(х, у, !) О. (1.5) Если в момент времени !+ б! линия Ь перешла в 7.', то некоторая точка М(х, у) линии Т, перейдет в точку М'(х+Лх, у+Ау) линии ь'. (Можно рассматривать 7. как линию разрыва, причем мы рассматриваем этот разрыв как стационарный (Кочин, Кибель и Розе !963, 2)). Тогда г (х+ Лх, у+ Ау, !+Л!) =О.
Вычитая (!.5) из (1.6), деля на Ы и переходя к пределу при а! — О, получим уравнение — + — — + — — =О. дУ дУ дх дУ ду д) дх И ду д) (1.7) С помощью (1.1) имеем т — = —, Их д<р д)=дх' (1.8) ду де т — =-— дГ ду В частности, приняв Р = у+ йу и учитывая, что дУ де дс де дГ дф — = — +й, дг дг ' дх дх ' ду ду найдем уравнение для ~р: которое должно выполняться на свободной поверхности (Воцзэ)певц 1904). Перейдем к преобразованию этого условия к комплексным переменным. Будем рассматривать одновременно комплексный потенциал в = ~у+ !ф и функцию Жуковского (см. главу 1Ч) 9 =㻠— !аз=(<р+ йу)+ !(ф — йх).
(1.! 1) (т — пористость или недостаток насыщения грунта). Подставив эти выражения в (1.7), найдем условие на свободной поверхности т — + — — + — — =О. дс дс дф дс дэ (!.9) д) дх дх ду ду УСЛОВИЕ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 549 Переписав уравнение (1.10) в виде Рж.)'+ дХ (Ф + дж.) + дЛ. О нетрудно обнаружить, что его можно заменить следующим урав- нением: (см. Калинин н Полубаринова-Кочина !947), что можно также представить в форме д де+ Ьдв+ш(до(~,!) да(,О~ дг дг дг дг 1. д1 д! Здесь чертой наверху отмечается сопряженная величина. Предположим, что область, занятая движушейся жидкостью, отображена конформно на полуплоскость вспомогательного комплексного переменного Ь = $+ 1т) так, что свободная поверхность все время соответствует действительной осн. Обозначая отображаюшие функции через г = г(ь,1) и ь = ь(г,1) и пере.
ходя к переменным ь и 1, будем иметь дВ(д, О дО(~, О + д94 / д~(д !)) (1 13) д1 д1 дг Т. д1 Замечая затем, что на депрессионной кривой при ~ = й е(г, 1)+е(г, 1)=О, да,(~ О+ "(,"; "=О. перепишем условие (1.12) в виде (!.14) Так как при дифференцировании по действительной переменной Ь=$ имеет место равенство — + ' О да(ь, 1) дв(Г, О дь дй и так как дс/дг= 1/(дг/д~) и д~/дг* 1/(дг/д~), то получаем — „— — + т — — (ь — ь) =О.
да да дг дг дй дь дй дй (1.15) Далее, если подставить в уравнение г = /(Ь, 1) величину ь=ь(г, 1), то получим тождество г=/(ь(г, 1), 1) дифференцируя которое частным образом по 1, найдем [гл. хчм ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ азо Отсюда имеем дг(д! (1.16) дг! д~ что дает возможность переписать (!.15) в виде де де lдг дг дг дгх д~ д~ ~ дг д~ д! д~ ) (1.17) или в других обозначениях т1ш ( — — ) = — 1т( — ). (1.! 8) Если вернуться к функции Жуковского, то условиями на линии свободной поверхности будут уравнения 1п1 (! д~ ) = О, 1гп ( д~ )~ )= — — !ш ( д~ ) — 1гп (с д ) . (1.19) Для отдельных групп задач бывает известно выражение функций 0(ь) или ы(~), что дает возможность привести уравнения (1.18) и (!.19) к условию для функции г(Ь, !) на свободной поверхности.
8 2. Задачи о растекании бугров грунтовых вод в полуплоскости. После дождя, после прекращения полива и т. п. поверхность грунтовых вод принимает бугристую форму, которая затем постепенно выравнивается. Такого рода задача — о деформации депрессионной кривой, уравнение которой в начальный момент времени задано, для области потока, простирающейся вниз на бесконечность, — является простейшей задачей с граничным условием (1.!9).
Здесь функция Жуковского может быть принята просто пропорциональной Ь", а именно, 0 = — йНГ„ где Н вЂ” некоторая постоянная, имеющая размерность длины. В самом деле, вспомним, что 0 пропорциональна комплексному давлению (см. 8 1 главы 1Ч): 0= — — (р+ !р'). РЫ (2. 1) При т! = О имеем р = О и Ке 0 = О. На бесконечности давление ведет себя, как в случае невозмушенной поверхности, т.е. как рот!.
Поэтому (2 2) 0 = а — !лг = — !йНь. При этом мы считаем, что функция, отображающая область движения на полуплоскость Ь, имеет вид г=~Н+бзЯ, !), (2.8) где Ф(Ь, !) голоморфна в нижней полуплоскости. Э г! глствкхниг. вгггов гггнтовых вод в полгплоскостн 551 Подставляя (2.2) во второе нз уравнений (!.19), получим условие на свободной поверхности для г(Ь,1): Г дг дг И дал 'тГ 1пт( — — + — — 1 = — при ~ дГ дй т дЬ ) т (2.4) Условие (2.4) можно переписать несколько иначе; lа дз .дудят аН Ке~ — — +1 — — ) = — при ь ° $. ~ т дЬ дЬ дГ ! т (2.5) Если ввести безразмерную комплексную координату г„=г/Н и безразмерное время т = /г!/(глН), то условие (2.5) несколько упростится: це( д +1 д д ) ! при ь=э.
(2.5') Теперь нетрудно также получить условие для комплексного потенциала гэ на свободной поверхности. На основании (2.2) имеем , (г,)=г,„' (г, т). (2.6) Введем безразмерный комплексный потенциал га, = га/(аН). Тогда дз„. де, дг, . да — "=1 — ( — ' д~ дй ' дГ дт 1(е( дт +1 дй ) Йе (1+ ~~ ) при ь $. (2.7) В левой части имеем линейное выражение относительно производных, в правой стоит произведение производных. Если отбросить правую часть, то условие (2.7) значительно упрощается.
Л. А. Галин (!95!) предложил применять метод последовательных приближений. Опустим далее для простоты звездочки в индексах у г и ы, помня, что они теперь безразмерны. Примем первое приближение он)(Ь, !) удовлетворяющим линейному условию (при этом учтено, что Кейп> = Ке ы) (2.8) и начальному условию (во(ь) — заданная функция) ыю (ь, 0) газ (С). (2.9) Подставляя эти выражения в (2.5'), после простых преобразований получим ГИЛРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (гл. Ечи Найдя гв10(Ь,Т) и подставив его в правую часть (2.7), будем считать, что ганн(Ь, т) удовлетворяет граничному условию Е дота . дв'"' ~ Е.
дао~ дао~ т д +1 дй ) 1(е(,! д д~ ) прн Ь= 8 (2.10) и начальному условию мпв(~,0) = ос(ь). Этот процесс можно продолжить. Рва 308. Был рассмотрен п р и м е р. Пусть при т = 0 грунтовые воды занимают область, отображаемую на полуплоскость посредством функции 2 (ь) = ь + (2.11) так что при ~ = $ имеем уравнения депресснонной кривой (на рис. 308 это кривая т = О) х,= — =5+ —, у = — = х аз а а и $'+1' ' гг $'+1 Л.
А. Галиным (!951) даны первое и второе приближения для этого примера: а 2~о (~, т) = ь + 4 П РЛСТЕКЛНИЕ БУГРОВ ГРУНТОВЫХ ВОД В ПОЛУПЛОСКОСТИ 333 Отсюда, полагая ь = $ н разделяя в выражении для г(»(>.,т) действительную и мнимую части, получим уравнение свободной поверхности первого приближения в виде >о аз и> а(1+ т) хэ = В + !с 1 (1 + т> У* = йс !.(1 1. )с (2 13) На рис. 308 представлены кривые первого приближения, построенные по (2.13) для разных значений т при а = 0,5.
Зависимость от т максимальной ординаты свободной поверхности имеет в первом приближении вид у(п(0, т) =— Для второго приближения а 1 3 >+т + ~40+т> + В(>+ту 4(>+т>з~. На рис. 309 представлены графики зависимостей у~»(0, т) н у('>(О, т) от т при а=0,5, г 3 4,Х Рис. 309. Э. Г. Кучеренко (1955) нашла точное решение как этой задачи, так и несколько более общей. А именно, она обнаружила существование функции г(Ь, т>), удовлетворяющей условию (2.5') и имеющей вид л 2> В+Ьь+~~> л-> (2,14) где с, (>, ал и Ад являются некоторыми функциями т> = т'+ С, а С вЂ” постоянная, которую определим дальше.
Аналогичные решения рассматриваются в задаче о перемещении контура нефтеносности (Куфарев и др. 1947, 1950, 1, 2, 1963; Виноградов н Куфарев 1948). [гл, хщ~ ГИДРОДИИАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Частным случаем (2.!4) является выражение г=('[т, [1 — ) + е'т (~+ )]. (2.16) При этом у является постоянной, А = 2Л (Л вЂ” т1) — 10Т0 а = — — — 1(Л вЂ” т,) + — е'т, 02 гт1 2Л 005 т где Л вЂ” положительный корень уравнения рз ЗЛ вЂ” 4т Л + (т — 0 ) Л + — — О. Если постоянные О, и 02 удовлетворяют неравенствам 0~ ) О, О] ) ЗРт„то такой корень существует.
Уравнение (2.14) дает решение задачи о растекании некоторой волнообразной поверхности грунтовых вод, уравнение (2.15) — одного бугра над наклонной плоскостью с углом наклона у. При у = О, Рз = О, 0~ = 0 выражение (2.15) упрощается: (2.16) причем А = 2Л(Л вЂ” т1), а = 1Л, Л есть положительный корень уравнения ЗЛЯ вЂ” 4т, Л + т', — 0 = О.
Пример Л. А. Галина получается отсюда, если положить О=а]1+ 4 а), т1=т+! — 0 (С=1 — 0). Решение представляется уравнением (2.16), в котором а = 1Л = — [2 (т + 1) — а + В], з А = — [2 (т + 1) — а + В] [ — 2 (т + 1) + а + 2В], В=„Ут + (2 — а)+(а+1)з. Нетрудно видеть, что при т = 0 получается В = и+ 1, А=а и а = 1, что соответствует уравнению (2.11). Наибольшая орди ната растекающегося бугра получается из (2.16) при ь = 0: А г(0, т,) = — — =21(Л вЂ” т,), или д.(0 т) и з [ ' 1+ Ха+'Л~т +т(2 а)+(а+1)1' (2.17) При а = 0,6 кривая зависимости у„(0, т), выражаемой точным решением (2.17), практически совпадает со вторым приближением Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
