П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Такое распределение объемного засолении почвы близко к случаю, когда кристаллы легкорастворимых солей скапливаются вблизи дневной поверхности почвы. Тогда последовательно имеем Р(0212 Р +(А'' А 1 ( 1А ())) 1 СОВ (аа1 »' 1 ' """=.("+.) 1 — сов (Рг) 2и' зн— 2 о(ь, т) = ~ $(в)[6 (в, в; т)+ — (ь, в; т)) ~Ь= 0 2(( ~ 1()(ч т + ) Р( 4 )+ О + ( 1) ехр ( 4 )~ г(в.
(8.27) Глава ХУ! ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА $1. Об определении коэффициента фильтрации. Обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных привлекают в последнее время внимание специалистов в самых разных областях механики и физики. Это связано с тем, что во многих случаях решение обратной задачи является залогом успешного решения исследуемой прямой задачи и получения более полного и правильного представления о реально происходящих физических процессах.
Современные вычислительные средства — аналоговые и цифровые машины — позволяют с болыпой степенью точности решать дифференциальные уравнения, моделирующие тот или иной физический процесс. Однако удовлетворительный результат может быть достигнут только в том случае, когда есть хорошее соответствие между выбранной моделью (в данном случае речь идет о дифференциальных уравнениях) и реальным объектом. Одним из необходимых условий такого соответствия является правильное задание коэффициентов дифференциального уравнения, которые являются некоторыми физическими н механическими параметрами исследуемого объекта. Примерами таких параметров могут служить коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии, фильтрационные параметры грунтов и т.
д. Весьма актуальна эта проблема в теории фильтрации, которая тесно связана с разработкой нефтяных и газовых месторождений, с мелиорацией земель и с рядом других народнохозяйственных задач. Все это делает задачу определения коллекторских свойств пластов важной с практической и теоретической точек зрения. В литературе имеется большое количество работ, посвященных этой важной проблеме. Методы решения обсуждаемых вопросов весьма разнообразны и зависят от тех конкретных задач, которые ставят перед собой различные авторы.
Однако можно выделить два принципиально различных подхода к задачам определения фильтрационных параметров грунтов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА [гл. х1п 530 У-Фт( Ф) (1.1) Первый подход основан на физико-механическом анализе грунта, например, по исследованию керновых проб. Некоторые из методов такого анализа опираются на статистическую теорию проницаемости. Сущность последней заключается в том, что пористая среда, в которой происходит фильтрация вязкой жидкости, рассматривается как система упорядоченных или случайным образом ориентированных в пространстве капилляров с различными диаметрами.
Коэффициент фильтрации среды в таких моделях зависит от пористости среды и функции распределения капилляров по размерам (одна из таких моделей описана в $3 главы ХЧ). Существенным недостатком физико-механического анализа грунта является небольшое, в сравнении с размерами исследуемых объектов, количество возможных замеров, когда большая часть пласта остается практически неизученной.
Второй подход заключается в решении обратных задач для дифференциальных уравнений, моделирующих процесс фильтрации. Коэффициенты этих уравнений являются искомыми осредненными фильтрационными параметрами и определяются по некоторым известным характеристикам решений исходных дифференциальных уравнений. Необходимая информация для сопоставления с решениями дифференциальных уравнений получается на основе изучения каких-либо гидродинамических характеристик течения в пластах, например, с помощью проведения экспериментальных откачек, наблюдения за изменением уровня грунтовых вод илн изучения карт изобар, составляемых для эксплуатируемых нефтяных месторождений.
Наибольшее количество работ в литературе посвящено задаче определения постоянного осредненного фильтрационного параметра (чаще всего это коэффициент фильтрации) гидродинамическими методами, т.е. по наблюдениям за давлением и расходом в скважинах при различных режимах эксплуатации. Наиболее простая формула для определения коэффициента фильтрации при установившемся режиме откачки — формула Дюпюи (см.
$9 главы УП, а также $1 главы !Х). Большое распространение получили методы определения параметров пласта, основанные на теории неустановившейся фильтрации жидкости. О некоторых из них говорилось, в частности, выше в $ 7 и 8 главы Х1. Рассмотрим здесь лишь один способ, использующий преобразование Лапласа. Он был предложен Г. И. Баренблаттом и др. (1957) применительно к уравнению ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА !гл.
хю 532 Этот способ и границы его применения обсуждаются в ряде книг (Баренблатт, Битов и Рыжик !972; Полубарииова-Кочина, Пряжинская и Эмих (969). В первой нз указанных книг рассмотрены также случаи неоднородного пласта. 9 2. О некоторых обратных задачах уравнений параболического типа. В теории фильтрации представляют интерес обратные задачи для уравнений параболического типа, в которых решение считается известным в некоторой фиксированной точке пространства во все моменты времени, а искомым является какой- нибудь параметр уравнения — функция координат.
Возникает вопрос, возможно ли решение такой задачи: по наблюдениям в одной точке определить распределение в пространстве, например, коэффициента фильтрации. В статье М. М. Лаврентьева и К. Г. Резннцкой ((973) сформулированы теоремы единственности поставленной задачи для четырех случаев уравнений параболического типа, в которых искомый параметр является функцией только одной координаты. Первая задача формулируется следующим образом. Пусть и(х, у, !) есть решение (обобщенное) уравнения ди д'и д'и дГ дх2 + дуг Р(У) (2.!) удовлетворяющее начальным и краевым условиям и!,,=б(х)6(у), — „! =О, и =О, (2.2) где через и обозначено значение функции и на бесконечности (при х'+ уз-Р ио), б(х) — дельта-функция, определяемая соотношениями б(х)=0 при х~О, ~ б(х)г(х=!.
О Здесь р(у) — искомая функция, непрерывная и ограниченная, причем (р(у) )( ри (ри — постоянная). Задача состоит в определении функции р(у), если известна функция и(х, у, !) при всех ! ) 0 в некоторой фиксированной точке (хм 0).
Пусть и(хи, О, !) = ~у(!) — заданная ограниченная бесконечно дифференцируемая функция. Обозначим через А отображение, переводящее р (у) в ~р (!): Ар=~р. (2.3) Теорема утверждает, что решение уравнения (2.3) единствеи. но в классе непрерывных ограниченных функций. од ОВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА $33 Применительно к теории фильтрации эту задачу можно интерпретировать, принимая и равным напору й(х, у, с), следующим образом. Скважина имитируется точечным стоком в начале координат, возмущающим пласт в начальный момент времени, причем ось х является осью симметрии движения. В точке (хо, 0) проводятся замеры й(х, у, с) в разные моменты времени.
Требуется определить параметр р(у), зависящий от координаты у — этот параметр может характеризовать имеющие место перетоки через слабо проницаемые пласты. Во второй задаче рассматривается уравнение ди дои д'и 1 ди — = —,+ —, + — — — р(г)и дС дх' др' р др (2.4) Задача состоит в отыскании р(г) по уравнению типа (2.3). Теорема утверждает, что ее решение также единственно в классе непрерывных функций.
В третьей задаче речь идет об уравнении ди дои д'и (У) дс дх' + ду' (2.6) ( — оо < х < оо, у ) О, с ) 0), решение которого и (х, у, г, с) удовлетворяет условиям и1с-о= 0(х) бЫ ди =О, и =О. (2.7) ду ~о=о Считается заданной функция и(хо, уо, с) = ср(с); задача состоит в определении р(у) по ср(с). Доказано, что решение задачи единственно в классе непрерывных и ограниченных функций, удовлетворяющих условиям м (О) = (, О < и, < и (у) < мн (2.8) Четвертый случай совершенно аналогичен третьему, только вместо декартовых координат в нем фигурируют, как и во втором случае, цилиндрические координаты.
Для доказательства упомянутых теорем используются преобразования Лапласа и Фурье, спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и решение обратной задачи Штурма — Лиувилля. Полное решение задачи, аналогичной указанным, но имеющей непосредственное отношение к теории фильтрации, дано И.
Б. Басовичем (1974, 2, 3). Это решение будет приведено ниже. (р)0, г) О, Г)0) при условиях и 1с-о = б(г) б(р) д О, и = О. (2.5) дх сх-о ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА 1гл. хч! о34 В статье Г. Шавана (С!4ачеп! !9б9) рассматривается уравнение более общего вида дг — — д„ (а (Х, у) д„ ) + д (а (Х, у) д ) . (2.9) Неизвестная функция а(х, у) ищется по известному в некоторой области решению и(х, у, 1) методами теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.
Задача сводится к минимизации функционала 7(а(х, у))= ~ ~ [и(х, у, 1) — ио(х, у, !))одхдуй, о о в котором и(х, у, 1) — решение уравнения (2.9), ио(х, у, 1) — экспериментально полученное решение этого уравнения. Для и(х, у, 1) задаются начальное и краевое условия. В. Я. Булыгин (1974) рассмотрел уравнение вида (2.9) со свободным членом, переписанное в форме — д + д д +аби р д, +1(х, у, г), (2.10) да ди да ди ди где а(х, у) может обозначать коэффициент фильтрации ила гидропроводность пласта, и(х, у, 1) — напор или давление, 7(х, у, 1) характеризует плотность отбора с единицы площади пласта. Спрашивается, можно ли определить а(х, у), зная и(х, у, г) в отдельных точках пласта в разные моменты й Автор делает по этому поводу следующие замечания. Если а(х, у) известно на некотором контуре, то задача Коши для уравнения в частных производных первого порядка относительно а условно корректна в смысле Тихонова (Тихонов и Арсении 1974), однако задача построения производных от и(х,у,1) по равномерным приближениям функции некорректна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
