П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

динАмикА гвунтОВых Вод пРи ПОлиВАх !ГЛ ХП/ 492 Возможны еше картины, аналогичные описанным выше. С луч а й 4: пз(х')< и„< ил < О(х'). При зр(х') < ил решение описывается формулой (6.10) до момента ! = Тз, когда из(х', Т!) = и„затем формулой (6.11), пока не будет ! = Тз, где из(х', Т,) = и„и т. д. Следовательно, решение имеет колебательный характер. Н.

Н. Кочина (1972) выписала это решение н показала, что прн пз(х') < и„< ил < в(х') оио стремится к периодическому (рис. 296, кривая 7), которое мы сейчас рассмотрим. Из сказанного в начале $5 следует, что оптимальным является четвертый режим. Для !р(х') ) и„решение снова имеет колебательный характер, описываясь то формулой (6.1!), то формулой (6.10), и прн безграничном росте времени ! стремится к периодическому (рис. 296, кривая 8). Таким образом, решение начально-краевой задачи асимптотически стремится либо к одному из двух устойчивых стационарных решений, либо к периодическому решению.

Будем искать периодическое решение задачи (6.3) — (6.4) с граничными условиями (6.5). Начальное условие заранее не задаем, оно получится из условия периодичности. Предположим, что имеются два значения Т, и Т, удовлетворяющие условиям и(х', Т,) =и„и(х', Т) =и„. (6.14) Здесь Т, — продолжительность стадии полива, Т вЂ” период коле- бания. Введем обозначения и (х, !) = и! (х, !) при 0 < ! < Т„)( и (х, !) = из (х, !) при Т, ( ! < Т. (6.15) и! (х, !) = ~ 1гСлехр( — Л5) — озал[1 — гхр( — Р4)Д) з!и — "", л-! з из (х, !) = ~~ (!з„ехр ( — Л'„(! — Т!)) + (6.16) л ! + озал [! — ехр ( — Л~ (! — Т!))з') з!и —, где 2!з К-! )л — 11 з лзалз а л злз з !з Лл = ° (6.17) Тогда г' = и! для из(х, !), Т = — оз для и,(х, !).

Запишем выражения для функций из(х, !) и из(х, !) в виде рядов Чтобы решение было периодическим, должны выполняться равенства и,(х„ О) = из (х, Т), и, (х, Т,) ц ( 7,) В силу соотношений (6.16) и (6.!7) из равенств (6.18) вытекают выражения для постоянных С„и Р„; ал [ — о, (ул — Ьл) + о, (! — Ул)! лз! ол [- о! (! — Рл) + оз (Рл — Ьл)1 (6.19) ! — Ьл где Рл =ехр ( — Х'„Т!), ул = ехр( — [з'„(Т вЂ” Т,)), Ьл = ехр( — Х'„Т). Из (6.17) и (6.19) ясно, что ряды (6.16) равномерно сходятся.

Величины Т, и Т найдутся как наименьшие корни уравнений и(х', Т,) = ц„и и(х', Т) = и„. В силу (6.16) и (6.19) ллх' з!и = и„ -з ал[-о, л ! (! — Рл! + оз (Рл — Ьл) ! (6.20) Ю Х ал[ о! л ллх' з[П вЂ” = илс (тл Ьл) + оз (1 тл![ 1 — Ьл Рассмотрим простой случай о! —— оз — — о, Т = 2Т!. Формулы (6.19) н (6.20) примут вид С= — 0=оа— Рл л л л + Рл (6.2!) 1 — Рл .

ллх' — оа + з[п — =и, = — и„. Х л !+Р. л ! Пусть х'=!/2. Тогда в силу (6.!7) из (6.21) найдем 4Р о ! — Рзз СРА ' — алз (ЕА !)з 1+ Р, САА=0, А-! (РВА-! ( — !!"' ! — Р— (6.22) (Е(з !)з !+Р А- = ехр ( — )з,'~,Т,)). 4 Щ ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА С НЕПРОНИЦАЕМЫМ ВОДОУПОРОМ 493 Д|П|АМПКА ГРУИТОВЪ|Х ВОД ПРИ ПОЛИВАХ 1гл х!7 Рассмотрим функцию ( — Ц+' 1 — Ры- (Т) р(~з~ ~ (и — ц' !+р„,(т!) Ясно, что у(0)=0, у'(Т!)) О.

При стремлении Т, к бесконечности у стремится к величине Х ци+! З (за — цз з2 А ! Отсюда получаем следующий результат: единственный корень Т! ) 0 уравнения (6.22) существует, если выполнено неравенство аи, ! и. =. — < —. ' |г|з В Таким образом, при этом условии существует единственное решение рассматриваемой задачи. Оно описывается формулами (6.)6), где С„и зз„даны равенствами (6.2!) — (6.22). При о! = Оз — — о и Т = 2Т! формула (6.21) дает зг и= — = — ~ аи.

4 х г ! ! — ()ги ! . (2)з — Ц лх' )га ззз ~и (РЬ Цз 1 + () А з!и (6.23) А-! Из (6.23) легко видеть, что (з',(О) = О. С ростом т, = аТ|(К как показывают расчеты, (1, растет, причем при стремлении т! к бесконечности И, стремится к и„= —,' — ", (! — ф). Следовательно, и в этом случае при (з', ( (з' существует единственное решение т!. В общем случае из формул (6.20), вводя обозначения (1 = —,", (з' = —,-, т= —,, т, = —,, з= —, (6.24) получаем такие выражения для функций с|,(т|, т) и (з'.„(т„т)! 4 т'з (! — Рзи ! — айги ! (1 — тги !)) . (2Ь вЂ” Ц лх' з!и ' 2, (2Ь-1»(! — р,~,ты,) 1 ) (6.25) 4 Х г (тги ! (1 — ()гз !) — з (1 — тги-!)) . (2)з — ц лх' з!п (гз* з ~ (2з Цз (! Р ..|А,)) А! где ()ХА ! =ехр( — л'(2й — !)'т,), у,и ! — — ехр( — л'(2й — !)'(т — т,)).

9 И| ОДНОМЕРИАЯ ЗАДАЧА С ИВПРОНИЦАИМЫМ ВОДОУПОРОМ 495 Из (6.25) ясно, что при стремлении т1 и т — т~ к бесконечности й, и 0„, стремятся соответственно к у и — зсг, ЮГА и йгх юк 4ю гр Уг Рис. 997. РР 1Р аы юя щ Рис. 298 Рис. 299. На рис. 297 построены графики функции У„определенной формулой (6.23), в зависимости от т~ для различных значений ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ПРИ ПОЛИВАХ !гл. хш 496 й 7. Движения с перетоками.

На практике часто встречаются случаи, когда основание слабо проницаемо. Будем считать его также горизонтальным, имеющим постоянную мощность с( и ко- эффициент фильтрации й„, причем й, « й. Интенсивность испарения будем предполагать равной (Уй+ !А)т. Нужно считать, что здесь либо У = О, !А ) О, либо т ) О, !А (О, причем в последнем случае полученные резуль- таты будут верны для уровней грунтовых вод, не меньших ве- ЛИЧИНЫ вЂ” !А/У. Мы можем также приближенно учесть вертикальную откачку грунтовых вод, «размазывая» скважины вертикального дренажа по всей области 0 < х ( ! между дренами или каналами и пе- ренося граничные условия на скважинах в дифференциальное уравнение добавлением как бы «испарения» с соответствующей интенсивностью (см., например, Чиркин и Шульгин 1964).

Рассматриваемая начально-краевая задача сводится к на- хождению решения неоднородного уравнения теплопроводности (Кочина 1973, 2) ~ = а — „, — Ь (й — Н) + Р (й (х', О), дЬ д'А (7.1) где теперь, в отличие от (5.1), й = й./(Гпг()+ У, а и, при й(х', /) < О, г'(й(х', Г)) = !. — о, при й(х', г) ) 0„ (о, =е/Гп — уо — и, п,=то+ В), с граничными условиями й (О, !) = Нь й (!, !) = и, (7.3) и начальным условием й (х, 0) =- ~р(х).

(7.4) (7.2) параметра х'/1. На рис. 298 для случая з = 0,5, т = Зт1 постровны зависимости (/, и !/,„От ть При этом на рис. 297 и 298 кривым 1 — б соответствуют пары значений х'/! 0,08333 и 0,91667, 0,16667 и 0,83333, 0,25 н 0,75, 0,33333 и 0,66667, 0,4!667 и 0,58333, 0,5. На рис.

299 построены графики функций У„и (/„в зависимости от т| для случая з = 0,5, х'/! = 0,5, т = ут1 (/ — у = 4, 2-.=2,3-У=4/3). Из вида кривых (/„(ть т) и (/„(ть т), аналогичных построенным на рис. 297 — 299, ясно, что каждой паре значений (/, и !/„„ удовлетворяющих неравенствам — з(/ < (/„„< !/, < (/, соответствует единственная пара значений т1 и т.

Используя асимптотическое поведение решений краевых задач для параболических уравнений, можно показать, что рассмотренные выше случаи верны и для более широкого класса задач. движение с пеяетоками ол(х) = Н + †' + С, з)2 ~7~ — х + Сг з)2 ~/ — (х — 1), иго(х) = Н вЂ” ~ + Сгз)т Т)г — х+ С,з)2.у — (х — 1). ог (7.5) Здесь (Н,-и- ь') 1, '"'7 а — '[и, — н — ф)— гн г~~ — 1 (" -"+ — ) гь,~/ — '! т/ а — (и, — и++) гь ~/ — ! С2 (7.6) Сз= С4 = Периодическое решение задачи дается зависимостью Ь (х, 1) = Н, + ' ' + и,(х, 1) (1 = 1, 2), (7.7) где и, (х, 1) = о (х) + ~ С, ехр ( — Л21) з1 п ~~» (О<1(<Т,), л 1 иг(х, 1) = иг (х) + ~ 0„ехр ( — Л'„(1 — Т,)) з!п — ""," (Т, (1 ( Т), л г я г Ь С вЂ” е () — тл) )~) в (! — )) ) л )2 + л ) З г л р„= ехр ( — Л»Т,), у„= ехр ( — Лг (Т вЂ” Т,)), бл = ехр ( — Л'„Т), Е=о — ш= 2 !о~ + ог) л l ) зла 1 л= [! -( — 1)"1( — „- — — ) !2 Лг )' Здесь е — интенсивность инфильтрации, Ь = А„/(аЫ)+ ч, й,(и — Ь)/4( — скорость просачивания через слабо проницаемое основание.

В выражение для Ь включено влияние не только слабо проницаемого основания, но и испарения, если оно происходит по линейному закону. Можно убедиться, что уравнение (7.1) — (7.2) с условиями (7.3) прн этом имеет устойчивые стационарные решения оа(х) И игл(Х): ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ПРИ ПОЛИВАХ !ГЛ. Х!У 4ВВ Здесь о„, ш„и 9„— коэффициенты Фурье функций х о (х) = оз (х) — Не — (Нз — Н!) —, ш (х) = шв (х) — Н, — (Нх — Н,) —, 9(х) = о(х) — ш(х). ф(ТО Тз) =— — ~ 9„з!п — =и, — о(х'), 'Ге р„!1 — т„) .

Характеристики

Список файлов книги