П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Через достаточно большой проме. жуток времени она начнет снижаться, как показывает уравне. $ б! СКВАЖИНЫ ПРИ ВОДОУПОРБ СО СЛАБЫМ УКЛОНОМ 468 ние (4.12), с постоянной скоростью Я/(пл2/22) — 2е. Задавшись допустимым понижением 5 за промежуток времени г, можно найти величину дебита, при которой такое понижение не будет превзойдено: Я ~ + пп~/22п, пг»Л28 ж — „„~ — + !и — —.к- (-ф) 1ж — „„( — +!п — ) . (4.14) й 5. Фильтрация к скважинам при наклонном водоупоре со слабым уклоном. Направим ось х по горизонтали в сторону подъема плоскости водоупора и обозначим через а угол между водоупором и осью х (на рис.
282 дано сечение потока плоскостью у = О). Тогда для водоупора будем иметь уравнение г = 2х, где 2 15и а. Пе реписывая это уравнение в виде (!.1), получим Т» = — !х. (5.1) Введем далее согласно (1.2) глубину потока над водоупором Т (х, у, г) = й (х, у, !) — !х. (5.2) Ркс. 282. При этом уравнение движения (!.7) при постоянных п2 и й примет вид Произведя линеаризацию уравнения (5.3), будем иметь дТ Т д Т д'Т '~ дТ Т АТ»р 22 'т =а~ —., + — х!+Ь вЂ” !а = — ', Ь= — /. (5.4) ВГ ~ дх' ду') дх 2, »2 ' »2,2' (6.3) Здесь Т,» — некоторое среднее значение глубины грунтовых вод. Положим далее Т вЂ” Т, о (х, у, Г) е-"х-м (5.6) где Т» — — Т(х, у, О), а Ь/(2а), !! Ь2/(4а), При достаточно больших значенияк 1 степень заглубления воронки депрессии 5 (или воронки напора) можно определить по формуле 5 й (/с, !) — й (г„ /) ж ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ !ГЛ.
Х111 464 (5.8) Т(г, 0)=То, о(т, 0)=0, 2тйТ,„(т —,) =,2НЯТ„(т д ) Е-а'=от', Т(оо, Т)=То, о(оо,!)=О. Здесь принято во внимание, что ( ), = ( ), дТ! ! до! г — ) = 1г — ) е-а' — (гасозбо(г, !)е "" «!! =о др ! = (г — ) е-В' (гсозб=к). д.), о Б (5.9) нужно принять С,=О, так как о- 0 при С помощью второго из условий (5.!0) находим С,= —, )т(г, )= — К г 0 2ВАТср (Р Р) ' Р 2НАТср (Р— й! О( (5.10) (5.1 !) И) (5.12) Из таблиц перехода от изображений к оригиналу и ремы умножения (Егде!у! и др. 1954) найдем о !Г ! гг ! дх о(г, !) = — ем а! ехр ! — «Л — — ) —. 4ВАТср 4ах т' Л о из тео- (5.13) причем функцию То(х, у) будем считать удовлетворяющей уравнению Лапласа. Будем искать для о решение с осевой симметрией относительно вертикальной оси а, совмещенной с осью скважины.
Для о(г, !) получим уравнение — (д г + — А ) (Г'='ЛIХ'+у). (5.8) Применим к о(г, !) преобразование Лапласа сс )т (т, р) = ~ о (г, !) е р' Й. (5.7) о Для )т(т, р) будем иметь уравнение дггт ! д4г — + — — — — )т =О, дгг общее решение которого имеет вид )т (т р) = С!Ко (т '~ / Р ) + СВТо (т ~/ «), (5 9) где Ко и !о — модифицированные функции Бесселя, С! и Со— постоянные.
Пусть скважина нулевого радиуса действует с постоянным дебитом Я, тогда начальное и граничные условия будут иметь вид линелгизовлнные еелвнення движения ~гл. хги 486 Интеграл, входящий в полученные формулы, табулирован М. С. Хантушем (1964,!). Для случая п скважин, проекции которых на плоскость (х, у) определяются координатами (хь у;), решение для малых т записывается в виде, аналогичном (5.16): А. Вегматовым (1964) проведены вычисления понижений при откачке из одной, двух и трех скважин, а также для цепочек Рис.
283. скважин. На рис. 283 представлен случай трех скважин с одинаковыми дебитами Я = 20 л!сек, для и = 20 м(суг, Т,„= 25 м, т = О, 2, 1= 0,005, при гл = 0,2 м. Время г задается в сутках. 9 6. Неустановившиеся движения при козффициенте фильтрации, слабо меняющемся с высотой. Некоторые задачи об установившихся движениях в неоднородных грунтах были рассмотрены в $ 4 главы Х. Там же введен потенциал Н. К. Гиринского (1947) для безнапорного движения л Ф (х, у) $ (» — Ь) Уг(») с(». л (6.1) и 1 и"л Я = „, ~ Ягехр( — а(х — хг)) ) ехр1 — 5 — ~~) —, (5.18) ср / и~/а ! где р = ~Я 1(х — х )з + (у — у )з).
4 В1 ДВижения В неоднОРОдных по ВеРтикАли ГРю!ТАХ 451 дсФ д'Ф д (та) + дх' ду' дс (6.2) Далее имеем дс ( дс (6.3) Исключая дй/д( из (6.2) н (6.3), получим (6.4) Если считать, что величина Ф'(Ь) мало меняется, т. е. л 1, 1 — — Ф'(Ь) =- — ~ е (г) с(Ежа = сопз1, о (6.5) то получим уравнение теплопроводностн (6.6) Возьмем в качестве примера двухслойный массив грунта, расположенный на горизонтальном водоупоре. В нижнем слое глубины Т пусть коэффициент фильтрации равен йл и активная пористость т„в верхнем соответствующие величины обозначены через й и сп. Свободную поверхность будем считать находящейся в верхнем слое грунта.
Тогда, вводя обозначение 6 йл/й, получим следующее выражение для Ф в верхнем слое: Ф=й,~(~ — И)д +й ~( — й)д = о т — — ( [Ь + (() — 1) Т)с + ~ (6 — 1) Тэ). (6.7) Вдесь й — напор, который можно рассматривать как функцию от х, у и Г, сс — коэффициент фильтрации, зависящий от высоты. При этом считается, что й мало меняется с высотой. Для безнапорного движения й принимается за ординату свободной поверхности. В случае неустановившегося движения можно составить уравнение движения следующим образом.
Обозначим через т пористость грунта, которую будем счи. тать постоянной во времени. Тогда, выражая условие, что изменение расхода по координатам компенсируется изменением по времени величины псй, можем написать 468 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНН1ИЯ ДВИЖЕНИЯ 1гл. хи1 При этом в качестве а можно принять величину А,т + А (А„— т) А„+ (Р— П т ж ГЛ (6.8) где й,р есть средняя глубина потока. Рассмотрим фильтрацию из канала с вертикальным откосом, доходяшнм до водоупора. Принимая й(х, 0) = Н,, й(0, 1) = = Н, ) Н, и считая й ограниченным при х = оо, напишем начальное и граничное условия для Ф: Ф (х, 0) = — — й ((Н„ + (Р— 1) Т)' + (3(р — 1) Т~) = Ф,, (6.9) 1 Ф(0, 1) = — — й ((Н1+(() — 1) Т)'+(1((4 — 1) ТР) =Ф1 (6.10) Для Ф(х, 1) получим известное решение Ф (х, 1) = (Ф, — Ф,) ег1 1 = 1+ Ф,.
~ 2 Зта1 / При этом Фз — Ф, = 2 й ~ 2 (Н, + Н,) + (Р— 1) Т~ (Н, — Н,). (6.12) 1 Г! Выражение расхода в сечении х имеет вид а' ~2- ~~ При х=0 получаем ()(О 1) Фр — Ф а(Н,— Но) ( и~+На 1 (р 1/яаг З/ааг 1 2 1) Т~. Для однородного грунта, полагая йр = й, имеем для расхода выражение А)р(0, 1) = А(Н' — Н~о) (6.14) Составив отношение расходов, получим — =! +(р — 1) 2Г е. Н, + И, (6.15) — =1+ Ф вЂ” 1)— а т ао Вар Заметим, что в уравнение теплопроводиости, а следовательно, и в решение этого уравнения время входит с множителем а.
Обозначим этот множитель для однородного грунта через аа. Составив отношение пОВеРхнОсть РАзделА междх двхмя жидкостями 469 легко видеть, что при Р (! имеет место неравенство а ( ам а при р ) 1 — обратное неравенство а ) ам Это показывает, что в первом случае процесс (при прочих равных условиях) будет для неоднородного грунта более медленным, чем для однородного (такого, как верхний грунт), во втором случае будем иметь обратное явление. Чтобы найти форму свободной поверхности в различные моменты времени, достаточно написать выражение для ф, подставив в него правую часть (6,7). (7.1) (7.2) Условие непрерывности давления на линии раздела (р~=рз) дает Р~( — + е) =Рз~~ +Я), откуда получаем приближенное уравнение линии раздела я=ау, (х, у, й, () — а,~рз(х, у, й, () =6(х, у, г), (7.3) где а,= Р', аз= А~ (Р2 Р~) з2 (Р2 Р~) Дифференцируя это уравнение вдоль поверхности раздела и поДставлЯЯ в него один Раз скоРости иь п~ и гаь дРУгой Раз им пз и щз, получим два уравнения на поверхности раздела: дд дд дд т д, +-х- ~1+-з — О1 — щ1=(), дй дд дд т — + —.
из + — Рз — шз = О. дГ дх ду (7.4) й 7. Перемещение поверхности раздела между двумя жидкостями разной плотности. Мы уже говорили о существующих в природе движениях двух жидкостей различной плотности, в частности пресной и соленой воды (см. главу И11). Рассмотрим здесь уравнения, определяющие положение поверхности раздела таких жидкостей в различные моменты времени, при обычно принимаемом условии слабой изменяемости этой поверхности.
Пусть имеем две жидкости: верхнюю, для которой все величины обозначим индексом 1, и нижнюю, с большей плотностью, которой соответствует индекс 2. Для потенциалов скорости будем иметь соответственно 47О ЛИИЕАРИЗОВАИИЫС УРАВИЕИИЯ ДВИЖЮП1й ~ГЛ, ХРИ Предположим, как н раньше, что горизонтальные скорости не зависят от г. Тогда из уравнения неразрывности получаем для нижнего грунта 1' ди~ ди1 1 ( дх + д )+п1ы б(дх2 + ду2 )+шы, (7.5) где шхз — скорость при г = О, и для верхнего грунта Г ди~ дЧ~ 1 )1дх + ду)+ (7.6) Здесь г — высота свободной поверхности, на которой мы при- нимаем г = — 1р1/й1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
