П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Метод малого параметра. Рассмотрим уравнение одно. мерного движения дГ = — д (Ь д )+Л)(х 434 НЕЛИНЕННЫЕ ЗАДАЧИ ВЕЗНАПОРНЫХ ДВИЖЕНИИ 1ГЛ. Х11 Практически вычисление большого числа членов ряда (3.2) невозможно, но второе приближение иногда удается получитьбез труда, Примером является случай фильтрации из водохранилища, рассматриваемый ниже, когда вычислены члены до третьего порядка включительно.
Сходимость ряда при этом не исследована. 3 4. Фильтрация при изменении уровня воды в водохранилище. Рассмотрим подробно простейшую задачу, а именно, задачу об интегрировании нелинейного уравнения (4.1) на полупрямой х~)0 при начальном и граничном условиях Ь (к, О) Нм Ь (О, 1) = Н„ (4.2) где Н, и НЗ вЂ” постоянные, что соответствует случаям внезапного подъема (Н, ) НЗ) или опускания (Н1 ( Нс) уровня воды в водоеме (рис. 271).
Подробный разбор этой задачи интересен потому, что он дает возможность сравнения решений, получаемых после линеаризации уравнения (4.1), с точным его решением. При этом существуют два простейших способа линеаризации этого Уг уравнения, которые мы будем — называть соответственно первым и вторым. Первый способ состоит в том, что множитель Ь в кругРас. 271, лой скобке уравнения (4.1) заменяется некоторым постоянным значением Ь,р. Тогда получается линейное уравнение да дса д1 дкс ' (4.3) где постоянная величина а = ЬЬ,Р/т называется коэффицаентом уровнспроводности (Шестаков 1973) .
При втором способе (см., например, Веригин 1949, 2) в качестве неизвестной функции принимается не Ь, а Ь'. Полагая Ь2 (4.4) получим такое уравнение: ди А' г- дси — = — уи — г. д1 т дк Фи ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ ВОДЪ| В ВОДОХРАНИЛИЩЕ 435 Теперь заменим в нем ~/и постоянным значением й,р. Тогда будем иметь линейное уравнение ди д'и (4.5) х Ч= а З/Т (4.6) где и — постоянная, которую мы выберем в дальнейшем, При этом уравнение (4.!) перейдет в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение д'Ь~ та' йй — „+ — 9 — „=О.
Ыч~ а дп Введя еще подстановки ~ ~/елср~ получим уравнение (Полубаринова-Кочина 1949, 2) дии ди -у-т- + 4т! — „= О. дч дч Наряду с этим уравнением будем ~ассматривать уравнение, получаемое из (4.8) подстановкой и = В (Полубаринова-Кочина 1948), т. е. уравнение — + = — О. д~р 2Ч др (4.9) дЧР Ч/Й ИЧ (4.7) где а=ЙЛ„/ль Доводом в пользу введения второго способа линеаризации является то обстоятельство, что при переходе от неустановившегося движения к установившемуся при первом способе линеаризации получаем для Ь уравнение дзл/дх' = О, дающее в качестве решения линейную функцию й = С,х+ Сь При втором же способе линеаризации имеем уравнение дРйз/дх' = О, общее решение которого дает Ьз = С~х+ Сь Другими словами, при первом способе линеаризации для установившегося движения уравнение свободной поверхности дает прямую, что не соответствует действительности, в то время как при втором способе для свободной поверхности получаем параболу Дюпюи.
Далее мы увидим, что в некоторых случаях более близкие к точному решению результаты будут получаться при первом способе линеарнзации, в других случаях — прн втором. В рассматриваемой задаче х изменяется в пределах от нуля до бесконечности, и граничное и начальное условия таковы, что им удовлетворяет автомодельное решение, получаемое подста- новкой 4ЗЕ нелинеЙные зАЛАчи везнАлорных движении [Гл. хн Будем искать решение каждого из уравнений (4.8) и (4.9) в виде рядов по степеням параметров ! и А соответственно ! + (и! + 1 и2 + 1 из + (4.10) О= 1 + ЛО1+А 02+1 Оз+ (4.1 1) При этом можно за й,р принять по произволу как Н,, так и Нз.
Если хотим получить пучок кривых, проходящих через на- чальную точку, то положим йрр — — Нн если же хотим получить кривые, сходящиеся на бесконечности, то примем 1[,р — — Н,. В том и другом случаях для определения коэффициентов ряда (4,10) получаем такую систему уравнений: и" ,+ 2Чи,' = О, й'+ 22[и', = — — (из)", и," + 22[из' = — (и,и,)", откуда для параметров ! и Х н — и[ [[, получаем значения [~2 — Нз, ф Х (4.14) (ниже мы увидим, что и,(оо) = о, (оо, '= 1). Первое приближение дает как для ин так и для о, функцию и[ (2[) = о[ (Ч) = Ф (2[) = = )е А' сй = ег1 т[. [4.15) 2 =,lя Для коэффициентов ряда (4.!!) получаются уоавнения с более простыми правыми частями: о",+ 22[о', = О, оз +22)оз=т[(о|о.) 4 2[О~ОН Обратимся к первому случаю, когда й,„= Нн Подчиним функции и, и о, условиям и,(0)=и,(0)= ...
=О, о,(0)= = оз (0) =... = О, из (рр) = из (рр) =... = О, оз (со) = оз (со) = ° ... =О. Чтобы удовлетворить условиям на бесконечности и (оо) = Н~НИ о (оо) = (Н4Н[)2, нужно принять соответственно 1+!и,( )= ~', !+!~о( )=(~'), $4! изменения тговня воды в водохглнилища 437 Для вторых приближений получаем соответственно -ты и (т!)= — (1 — е ' ) — =т!е чи — — и, +~ — — — )и, (4,16) ! т, ! о, (т!) = — (1 — е-'ч') — т!е-мо, — — оо 2л 2 1/л 2л Наконец, для третьих приближений находим такие выражения: и (т!) = — и" + ~ — =(е "'ит+ эч Ч 2 ' т4Л7л 2т7л/ /3 ъ/3 ! 3, Чт +~ — — — + — е-ч' — — е тч')и + 4л 2 л л -1- (! — — 1 и, — —" е-"' — —" е-'ч' — — Ф (т! 1/3), (4.13) г 5т! „т о (т!) =~= — )е-я*от+ т,!63/тт 8Ч/л ) +( — + Г ! 3Л7З 1, т + е-тч' е-тч' о т,2лт !6л 2л 4л — — от — " е ч' — —" е 'ч' — Ф(т! ~/3).
(4.!9) л 4л З/л 8л т/л !6л Если обратимся ко второму случаю, т. е. примем Ьтр = Нт, то удобнее будет ввести другие обозначения, отыскивая решение уравнения (4.9) в виде ряда 1 + !тто! + !т тот + (4.20) где функции тот по-прежнему удовлетворяют уравнениям (4.13), но при других граничных условиях. Последние выберем таким образом: ит!(оо) = ита(со) = ... =О, тот(0)= тот(0) = ... = О.
Тогда получим то! (т!) 1 — !о (т)), (4.21) ! 1, ! ! итз (т!) = — (1 — е '"') — = т)е-ч*о! — — о, + = т!е "*. (4.22) 2л 2 т/л 2л 2 1/л Значение параметра !т определяется из условия 1 + !тто!(0) = =Н1!!Нт, так что !т=(Н~1 — Нт)~Нт С помощью полученных формул были произведены вычисления. Прн этом оказалось, что для крайних случаев — фильтрации в грунт при нулевом уровне грунтовых вод (Нт — — 0) и фильтрации в пустой водоем (Н! = 0) — принятая степень приближения, при которой мы ограничились членами до третьего порядка включительно, недостаточна. Эти случаи были исследованы отдельно с помощью численного интегрирования. 488 нелинеяные 3АдАчи везнАпоеных движения [гл, хп $ 5.
Численное интегрирование. Введя подстановку (5.1) приведем уравнение (4.8) к следующему: 1иии' Еи — +25 — 0 Е1и 1 в нли в развернутом виде к такому: ии" + и' + ~и' = О. (5.2) Будем искать решение уравнения (5.2) для малых значений $ (при Ь,р — — Н1) в виде ряда и =1+йод+ —,"', $'+ ... (5.3) Положим и'=а, где а будет выбираться произвольно.
Тогда найдем и," ,= — а'-, и,'н =Заз — а, иш = — 15а4+ ба-', и~ = 1Обаз— — 49аз+ За, ие' = — 945ав+ 504а4 — 52аз, иш~ = 10395а'— — 6237аз + 882аз — 15а. Давая сс ряд значений, можно построить семейство интегральных кривых уравнения (5.2). Начиная с некоторых значений $, ряд (5.3) становится непригодным для вычислений, и приходится обращаться к численному интегрированию уравнения (5.2). Таким способом было построено семейство интегральных кривых уравнения (5.2) для а = ~0,1, ~0,2, ..., ~0,6.
Все эти кривые имеют асимптотами прямые, параллельные оси $. С помощью интерполирования кривые были пересчитаны так, чтобы асимптотами оказались равноотстоящие по и прямые. Результаты расчетов представлены на рис. 272, где принято й,р — — Нь Кривой, доходящей до оси абсцисс, соответствует значение а = = — 0,628. Таблицы зависимости и(т!) приведены в книге Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова и В. М. Рыжика (!972). Там же рассмотрены более общие случаи автомодельных решений для уравнений движения жидкостей и газов в пористой среде (см, также Баренблатт 1952, 2).
Можно перестроить графики рис. 272 несколько иначе. Обозначим через бН превышение уровня воды в канале над первоначальным уровнем грунтовых вод (ЬН = Н, — Нз) и введем отношение 5 = ЬН7Н,. Теперь построим для различных значений р графики зависимости от т! величины и~ =(й — Н,)7ЬН, где й — глубина потока (рнс. 273). Если бы мы лннеаризовали уравнение (4.1), то получили бы одну кривую для всех р (см. $2 главы ХП1). 440 НЕЛИНГИНЫЕ ЗАЛАЧИ БЕЗНАПОРНЫХ ЛВИ1КЕНИЙ !ГЛ.
ХН 8 6. Фильтрация из грунта в пустой бассейн. Этот частный случай уравнения (4.8) можно свести к такой системе двух уравнений, которые позволяют использовать частично результаты вычислений, проведенных в теории пограничного слоя пластинки, и получить затем в явной форме решение рассматриваемой задачи для малых значений независимой переменной Ч.
Перепишем уравнение (4.8) в виде (6.1) где штрих обозначает производную по Ч. Теперь введем новую вспомогательную переменную ~ и будем считать и и Ч функциями от 1„ причем переменную ь определим равенством з)Ч/е(Ь = и. Следовательно, если бы мы нашли и как функцию от Ь, то получили бы Ч в виде 21 = ~ и дЬ. о (6.2) Теперь имеем лч и= —, дй ' откуда и~2 з!и 1 1!и лч и л~ и, наконец, з!2Ч 42П вЂ” + 2Ч вЂ” =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
