П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Исключая из последних уравнений Ь1 и Ьм получим для просачивания в нижнем слое грунта 0 Гло Ууо И+А +уо о1 Л у,— Д вЂ” +— А~ Ао (5.3) Интегрирование последнего уравнения дает у у +И+А,+о' и+А (! А) !" и+А,+и — л,(и+А„) ' Здесь введены обозначения Г й, р1 = уо — о(, А = ~ — — ()— ХА, ) И+И„ Ао1 ВИ(И+ Ао) у| и+А, Тогда, отбрасывая д под знаком логарифма (но сохраняя его в выражении для А), получим уравнение т=ц — (! — А) !п(! +4)). (5.5) Давая здесь А различные значения, можно построить графики зависимости и от т.
На рис. 267 приведены такие кривые для с(/(и+до)= О,! и различных значений а = йо/йь Видно„что кольматаж может в значительной степени уменьшить скорость просачивания воды в грунт. Следует отметить, что если бы вода, пройдя через слой малопроннцаемого грунта, попадала в достаточно сухой грунт, то просачивание в этом последнем происходило бы отдельными и за начальный момент времени ! = О принят момент начала просачивания в нижний слой. Очевидно, что просачивание в верхнем слое грунта при сделанных предположениях рассчитывается по формулам предыдущих параграфов.
Выделим случай, когда верхний слой грунта тонок. Это имеет место, в частности, в случае кольматажа. Так, часто создают искусственные условия для уплотнения грунта на дне канала, вводя в канал мутную воду, содержащую мелкие глинистые частицы. Закольматированный слой может иметь толшину порядка 10 — 20 см. Предположим, что и' мало по сравнению с величиной Н+ Ь„, н введем обозначения инегпионные члены. нлпооные движения ~гл.
х~ струйками, не образующими сплошного потока, и изложенная теория была бы неприменимой. Она применима лишь в случае достаточно влажного грунта, н в этом случае под т нужно по- нимать «эффективную» пористость или дефицит влажности. Рес. 267. Отметим также, что в изложенной в 5 3 — 6 теории не учитывается переменность насыщенности грунта водой, (6.1) где о= — й игад6, Ь= р +е. (6.2) РЕ Вода и пласт являются слабо сжимаемыми телами, поэтому обычно принимают р и т зависящими от давления линейно: р ро (1+ 6 (р — ро)] т = то+ 6- (р — ро) (6 3) где ро и то — плотность и порнстость при давлении ро. Величины Д и б„„называются соответственно коэффициентами сэкимаемости или объемной упругости воды и пласта (Щелкачев 1946).
9 6. Уравнения неустановившнхся движений в случае слабо сжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности сжимаемой жидкости в пористой среде выводится совершенно так же, как в гидродинамике сжимаемой жидкости (Кочин, Кнбель и Розе 1963, 1), с той только разницей, что вместо плотности р нужно взять произведение рт (т — пористость). Получим д~ + о(ч(ро) =6, А о1 уРАВненИЯ ДВИЖЕНИЯ слАБО сжимАемОИ жидкости 4о1 Они заключаются в таких пределах для воды и грунта: Р = (2,7 †: 5) 1О ' ат , бгг = (О,Э вЂ : 2) 1О ' ат '. (6.4) и тогда изменение массы по времени будет д~ Ро' дГ Ро~РК ~~~ Р 0й дГ (6.5) Здесь можно Р, заменить на р ввиду малости 6 . Развернем выражение с1!ч (Ри): Г дог дог дог'т др др др б(ч (Ри) = Р ( — + — + — )+ о„— + о — + о —.
дх ду дг ! " дх г ду * дг ' (6.6) Из (6.3) получаем дх гжРо дх Ржр дх Рг()жж дх ' (6.7) Таким же образом найдем д Р~кд ' д =РРЬ'1,~ 1). (66) Подстановка в (6.1) дает, по сокращении на р, Обычно членом, содержащим прямые скобки, пренебрегают и полагают Ь = сопз1. Тогда остается линейное уравнение дЬ l д'Ь доЬ д'Ь ь РФ вЂ” =Ь ' — + — + — ' д~ ~ дх' дуг дго 3' или — =а ЛЬ дЬ 1 (6,10) где а„= —, 6=то~ +р„. Ь ир' Величина а, носит название коэффициента пьезопроводности. Это уравнение выведено В. Н.
Щелкачевым (!946), РассмотРенный вид движения называется упругим режимом. Его рассматривают, в частности, для слабо проницаемой прослойки Перемножая р и т н отбрасывая члены второго порядка малости, получаем Рт = Рсто+ РВР(Р— Ро) Р=тоРж+ Роге нневционные члены н»поеные движения (гл. х~ 422 между водоносными пластами, где происходят перетоки по вер- тикали ()асоЬ 1950) и где оно принимает вид д» дс» — =а дг " дгг (6.11) Рассмотрим движение жидкости в напорном пласте.
Обычно мощность пласта Т мала по сравнению с горизонтальными размерами. Поэтому проинтегрируем (6.10) по а в пределах (О, Т). Полагая ~ Ь(х, у, а) де — Тй, о получаем для Ь' уравнение При этом Н, (а, 1) и Нз(», 1) должны удовлетворять уравнениям вида (6.11). Если не учитывать сжимаемости при пере- токах, то можно написать (Н, — Ь)(Т~ вместо (дН1/де)т и (Ь вЂ” Й,)~Т, вместо (дН,/да)в. При сделанных допущениях уравнение (6.13) примет вид РКРТ д, =ЬТ(д '+ д~) г (Ь вЂ” Н,) т (Ь вЂ” Н,), (6.14) д» дгЬ дг» Ь~ »2 ! или дг — — а„( д, + й-т) — Ь, (Ь вЂ” Н,) — Ь,(й — Н,).
(6.15) д» Г д'Ь дг» Если рассматриваемый водопроницаемый пласт мощности Т ограничен слабо проницаемыми пластами мощностей Т, и Тз с коэффициентами фильтрации соответственно Ь1 и йг и напорами Н1 и Нг (рис. 268), то в силу условия неразрывности будем иметь Отбрасывая нолик у Ьв, перепишем (6.12) в виде д» д'Ь дс» Рис. 2бб. + Ь, (-3-'-) — Ьг( — ') . (6.13) А и скВАжинА В плАсте с непРОницАемым ВОдОупОРОм 423 Можно записать уравнение (6.!5) иначе, введя обозначения т(ан, + Ан). ( А, + А) Получим, отбрасывая индекс у а,: да / д'Ь дга А — а 1А — + — ) — Ь (Ь вЂ” Н).
д! А дхг дрг ) (6.!8) Уравнение (6.!8) имеет частное решение Ь = Н вЂ” это предельное состояние напорного пласта при г- со. Если жидкость и пласт считаются несжимаемыми, т. е. р = О, то в уравнении (6.14) член с дй/д! отсутствует и получается такое же уравнение, как при установившемся движении, Зависимость от времени может войти при этом в решение лишь через граничные условия.
8 7. Скважина в пласте с непроницаемым водоупором. Рассмотрим осесимметричное движение в пласте мощности Т. Для него уравнение (6.18) запишется так (при Ь 0): -Й-Фй Ф). Величина а — коэффициент пьезопроводности — имеет вид А тг — гт (7.2) (()Вг — коэффициент сжимаемости жидкости, )), — то же для пласта). Будем искать автомодельное решение, зависящее от комбинации независимых переменных $ = гз/(4а!).
При этом уравнение (7.! ) приведется к обыкновенному дифференциальному уравнению дгв да +(!+Ю вЂ” „О, искомое решение которого имеет вид Здесь а, —, Ь! А Аг ркр ' тт,рар ' тт,рар Ь, = †. (6.16) 424 инееционные члены. непоеные движения !гл. х! Произвольные постоянные С, и С, выбираются из условий, что при ! = 0 (т. е, 5 = 0) напор Й(г, 0) имеет постоянное значение Но, а дебит скважины бесконечно малого радиуса, ось которой расположена вдоль оси ординат, есть постоянная величина Я. Тогда й(г, !) запишется в виде г г~ Ь=Н,+ — Е1~ — — ), 4ааг ~ 4а! ) ' (7.3) где Е! — интегральная экспоненциальная функция О Е1( — х) = — (~е !— (7.4) Формулу (7.3) принято называть формулой Тейса (Тпе!з 1935).
Почти одновременно эту формулу получил М. Маскет (1949). Сам Ч. В. Тейс отметил, что эту формулу ему указал Любин (!.иЬ)п). Составим выражение для расхода Яо через цилиндрическую поверхность радиуса г„ пересекающую весь пласт, т, е, расхода совершенной скважины радиуса г,: » да т Яо = — 2и»,ТИ( — ) = Яехр( — — ') . (7.5) ~дг), ~ 4а~)' йс = Но+ 44яаг Е! ( — 4 !.г' (7.6) Для достаточно малых значений аргумента экспоненциального интеграла имеем приближенную формулу (Бейтмен и Эрдейи 1973 — 1974) Е! ( — х) = !и х+ С, где С = !п у = 0,577 — эйлерова постоянная (у = 1,78).
Существует такая оценка этой формулы: для 0 ( х ( 1/у ее ошибка б ( х/!!п (ух) !. Поэтому для достаточно больших значений ! можно написать приближенное выражение Ь(» !) Но 4 аг (!и 1и У) (7.7) Оно тем более годится для г = г,, где г, — радиус скважины. Отсюда видно, что для скважины конечного радиуса дебит Яо меняется со временем, возрастая от нуля при 1 = 0 до Я при ! = оа, Однако при обычных значениях г, (порядка 0,1 м) и обычных значениях а приближение Яо к Я происходит настолько быстро, что можно считать дебит скважины радиуса г, постоянным и равным С/. Напор на поверхности скважины является переменным: э и ГкВАжинА В плАсте Г непРОПИПАемым ВОдОупОРОм 425 Введем обозначение понижения на скважине 5 = На — И,„, и перепишем последнее уравнение, полагая в ием г = г,.
Получим 5= — 1п — ', 2,25аГ 4ВК г~~ Введя обозначения (К = ИТ). (7.8) А= — !п ',, В= —, 2,25а (7.9) 4ЛК г; 4ПК напишем зависимость между 5 и !п! в виде (см. Бузннов и Умрихин 1964; Чернов и др. 1960) 5 = А + В(п Е. (7.10) И=Но+ 4 к [Е!( 4 +г!) — Е1( — 4 ~)~. (7.11) Действительно, (7.11) является решением уравнения (7.1), удовлетворяющим условию, что при ! = 0 (момент остановки) И = и, +,~ Е1 ( — —,', ), 4ай и обращающимся в На при г = аа, Выражению (7.11) дают такую интерпретацию. Предположим, что откачка с дебитом Я продолжается и после 1= 1ь а затем начинает действовать нагнетательная скважина с тем же дебитом Я. В результате получится нулевой дебит, а возле скважины будет происходить восстановление уровня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
