П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 62
Текст из файла (страница 62)
У,д I -ДЮ -411 — Рй Ю ~ус Ад Х Рис. 263. -аа 1Ю -р,Р Р ДР 1У Х Рис. 264. На рис. 263 и 264 построены графики 1' н У' в зависимости от Х для нескольких значений а 1Басович !974, !). й 3. Одномерные движения по вертикали при постоянном действующем напоре. Будем рассматривать просачивание воды В грунт по вертикали, считая коэффициент фильтрации я и по.
Ристость т постоянными величинами. ИНЕРЦИОННЫЕ ЧЛЕНЫ, НАПОРНЫЕ ПВИЖЕНИЯ [гл. х[ Остальные уравнения отсутствуют, так как движение считается одномерным, происходящим параллельно оси у. При этом уравнение неразрывности принимает вид диу — =О. ду (3.2) Это показывает, что и„зависит только от времени. Поэтому (3.!) можно переписать, вводя вместо ии скорость фильтрации и согласно соотношению ии — — о/ит, следующим ~ образом[ // ! ди ! до У„ Ю ги,' р ду Но мы показали в $ ! (а также в главе П), что членом ()/т)до/д1 можно пренебречь во всех практически интересных случаях.
Поэтому, вводя напор (З.З) мы возвращаемся к закону Дарси дй о= — й —, ду ' (3.4) применимому, следовательно, и в случае неустаиовившихся движений. Предположим теперь, что вода просачивается в грунт под постоянным напором 0 (рис. 26Б), причем в момент времени 1 она просочилась на глубину уи от дна водоема. В начальный момент времени 1 = О пусть ра = О. Так как о = о(1) зависит только от времени и не зависит от у, то согласно (3.4) Ь есть линейная функция от у: й(у, 1) =а(1) у+ Ь(1). (З.Б) При у = О напор равен //: Ь(О, 1) = Ь (1) = //.
При у = дм считая атмосферное давление равным нулю, имеем согласно (3.3) И (уо 1) = — Ь« — уо = ауо + О, (3.6) где через Ьи обозначена высота капиллярного поднятия в грунта. Рес. 265 Возьмем уравнения движения ((2.3) главы (, выписанные для средних истинных скоростей движения жидкости в порах с сохранением инерционных членов. Направляя ось у вертикально вниз, получим дии диу ! др ту — + — и = — — — +к — — и.
д[ ду " р ду з и' (3.!) одномвоныа двнжвния по ввотикллн да Н+Ь,+у, а= — =— ду Ув Скорость фильтрации о связана с производной а!уе/с(! соотношением (т — пористость нли недостаток насыщеиия грунта) Р о = т †"' . (3.8) д! Сопоставление (3.7) и (3.8) с (3.4) приводит к уравне- о 1 нию для уе! ~~ув й т1+ ли+ уо д! Уо (3.9) 1у Отметим, что согласно полученному уравнению о/й капиллярная высота прибавляется к действующе- 1Х му напору так, как будто вместо напора Н мы имеем напор Н+ Ь, Из уравнения (3.9), полагая уе = 0 при 1* О, найдем после интегрирования Вводя безразмерные величины а! О+Ьк ' лз! +Лы! перепишем (3.10) следующим образом: т т! — 1п (1 + т!). График зависимости т! от т изображен на рис. 266.
Здесь же представлена зависимость безразмерной скорости о/й от т. Для малых значений т! можно произвести обращение уравне- ния (3,!2), если разложить !п(1+ т)) в степенной ряд. Получим т!' 1!' ' т!' г 2 1 т — — — — +-9- — .. - — ! 1 — ~-П+ ~ ) + ...), (3 18) откуда найдем, извлекая квадратный корень, 2 ! т Хл ! т 7 'У 2т = т! ~1 — — т! + — т!'+ ...) = т! — — т!'+ — т!'+...
(3.14) 3 2 '''1 3 Зб (3.10) (3.12) Позтому для а можем написать согласно (3.5) и (3.6) такое выражение: (3.7) ннвгционныв члвны нп1огпыв двнжвния )гл. х! 416 Положим (3.15) и будем искать т) в виде ряда по степеням рл 11 = р+ А)з'+ Врз+ (3.16) где А, В, ... — неизвестные пока коэффициенты. Подставив выражение (3.1б) в (3.14) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем т)=в+ — р + — ц +... = ~/2т+ з т+ )з т' + ... (3.17) ф 4.
Вертикальная фильтрация при заданной подаче воды. Рассмотрим сначала такую задачу. Допустим, что некоторое количество воды мгновенно выливается на горизонтальную поверхность грунта и в дальнейшем вода больше не подливается. Обозначим через Я количество воды, поданной на единицу площади поверхности грунта. Тогда к некоторому моменту времени ! величина Я будет складываться из воды, находящейся в слое глубины Н(!) над поверхностью грунта, и воды в смоченном слое грунта глубины уо. Я = Н(!)+ туз.
Если теперь в уравнение (39) подставим вместо Н его значение Н = Я вЂ” туо, то получим уравнение Р+л„ луо й я+ як+(! ~а) уо й(1 ) ! — ~ч (,1 1) У! Уо Уо Решение этого уравнения имеет вид (3.12), если положить ! — ш Ф (! — е)' ')= О+». Ув '= (О+».)' и считать, как и в предыдущем параграфе, что уа — — О при ! = О.
В действительности невозможно осуществить внезапный налив воды на поверхность грунта на заданную конечную высоту Н. А если бы это и было возможно, то имел бы место разрыв давления в начальный момент времени, когда уо = О. В самом деле, при этом столб воды высоты Н оказывает на горизонтальную площадку в плоскости у = О давление, равное весу этого столба. С другой стороны, на границе грунта, т. е, прн у = О, давление равно нулю (нли соответствует капиллярному вакууму при учете капиллярности). Этим разрывом давления и объясняется то, что в рассмотренных выше задачах в начальный момент времени получается бесконечная скорость. В связи с тем, что в действительности вода всегда подливается постепенно (это же имеет место и при наполнении канала), рассмотрим следующую более общую задачу.
Предполо- ФильтРАция пРи 3АдАннОЙ подАчв Воды 4!7 $44 жим, что на поверхность грунта подается постоянный расход у (на единицу площади), так что к моменту времени 1 общее количество поданной воды Я = д1. Это количество воды идет на образование столба воды высоты Н(1) над поверхностью грунта и на смачивание грунта на глубину уо, т. е. д(= Н(1)+ туо. Подставляя выражение Н(1) отсюда в уравнение (3.9), получим (4.2) и Уо Рассмотрим прежде всего частный случай и„= О, т.е. пренебрежем влиянием капиллярности. Уравнение шуани= й(Ф+(! — и) уо) имеет частное решение вида у. = с1. (4.4) Для определения значения постоянной с подставим (4.4) в (4.3), тогда получим квадратное уравнение для с: п4с'= й[4)+ +(1 — т)с). Из двух корней этого уравнения возьмем положительный, так как интересующее нас течение направлено вниз: ч Π— ) 4 /~Г:Йа чч 24и 7 4иаа 4л Так как полученное решение удовлетворяет начальному условию уо(0) = О, то оно является как раз тем решением, которое нам нужно.
Отсюда видно, что если подавать на поверхность постоянный расход д, то вода будет просачиваться в грунт с постоянной скоростью. При этом уровень воды над поверхностью грунта Н(1) будет линейной функцией времени Н (() - (д — шс) (. (4.5) Очевидно, что для возможности движения должно выполняться неравенство д ) тс. В случае знака равенства будем иметь просачивание при отсутствии слоя воды иад поверхностью грунта, это просачивание будет происходить со скоростью с = = д44т. Если обратиться к общему случаю уравнения (4,2), когда Учитывается капиллярность грунта, то решение его имеет более сложный вид.
А именно, подстановка 4+ й,/д = т приводит Уравнение (4.2) к однородному: уп ~'=й ~ ит уа 1Я П. Я, Полубарвиова-Ковала 4)З инвяционныа члены, нлпогныв движения (гл. х! Общий интеграл его можно написать в виде Ст=(А — и) ь '(В+и) ь+', и= ~', (4.6) где ь (! — т) 2т г о — ) )(! — )' В= — =+ тт + —, 2т ~/ ото т а (1 — т) 2 ~)( — ) (4.7) Уравнения(4.6) представляют т и уо в параметрической форме, в функциях параметра и. Исключая и, можно написать общий интеграл (4.6) в виде (Ат — уо)ь+'(Вт+уо)' "=Со (4.8) Условие уо = О при ! = О дает начальное значение т = т, = = )!о)р. Поэтому находим для произвольной постоянной С! следующее выражение: А'а+аВ'л-а "к (4.9) (БА) Положим, что о! = ду~/ду и по = дуо/ду, причем потенциалы в каждом из слоев определяются формулами ор! — й! ( Р' — у), ~рэ= — йо( ~' — у).
(6.2) Так как у, и фо должны удовлетворять уравнению Лапласа по у, то имеем для Чч и уо, как и для Ь в случае однородного грунта, линейные функции от у: р! = и(!)у+ Ь|(!), ~ро = о(!)у+' + ь,(!) 9 Б. Вертикальная фильтрация в двуслойном грунте. Рассмотрим задачу о вертикальной фильтрации воды в двуслойном грунте, когда в поверхностном слое толщины Ы коэффициент фильтрации и пористость имеют соответственно значения й~ и ть в нижнем бесконечном слое — значения Фо и то. Над грунтом находится слой воды глубины О.
Глубину воды, просочившейся в грунт к моменту времени 1, обозначим по-прежнему через уо. Из условия неразрывности потока следует, что скорости фильтрации о! и во обоих слоев равны и зависят только от времени: и! ео = и (1). $61 ВЕРТИКАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ДВУСЛОЙНОМ ГРУНТЕ 419 На границе двух грунтов при у = с( имеем из условия равенства давлений соотношение чн//о~ = ~го/йм которое приводится к виду (ос/ + Ь,)/Ь1 = (ий + Ьо)/й,. Далее, при у = О имеем <Г, = Ь, = — Й1НИ при у = уо — ого= Вуо+ Ьг = йо(до+ до).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
