П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно, если построить график зависимости 5 от 1п 1, то угловой коэффициент получающейся при этом прямой будет равен В, а начальная ордината (при 1= 1) будет равна А. Отсюда, если известны Т, Я и г„можно найти И н а, а если известно а, то можно найти г,. Однако при этом получается, вообще говоря, не действительный радиус скважины, а так называемый приведенный радиус г,'. это радиус такой скважины, которая давала бы тот же дебит Я при тех же параметрах пласта, но не имела бы сопротивлений (фильтра, труб и т.
п.) действительной скважины. По величине отношения г',/г, можно судить о сопротивлениях фильтра и труб. Наблюдения за остановленной скважиной дают другой способ определения одного из параметров пласта. Предположим, что происходила откачка из скважины в течение промежутка времени 1и а затем откачка была прекращена. Тогда восстановление напора в точке г пласта будет происходить согласно формуле ИНЕРЦИОННЫЕ ЧЛЕНЫ. НАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. Х! 426 Для достаточно больших значений 1, пользуясь формулой (7.7), найдем Я= Н вЂ” Ь= — !ив с+8 — о 4ПК (7.12) Откладывая по оси абсцисс значения 1п(1+ !1/г), а по оси ординат значения 5, получим уравнение прямой с угловым 7д коэффициентом В = Я/(4пК).
Зси и Изложенная теория пользуется в настоящее время большой известностью (см., напрндд мер, Де Уист 1969) и широко ь применяется для определения параметров пластов как в случаях водяных, так и нефтяных 7д скважин. В. Н. Щелкачев (1946) одним из первых стал применять ее к различным задачам. В частности, он сопо- 4Г ставил результаты наблюдений авиа над уровнем в одной остановленной нефтяной скважине с Рис. 269. результатами расчета и получил хорошее совпадение (рис.
269) В случае группы скважин можно складывать решения, соответствующие отдельным скважинам. дд Ю $8. Скважина в пласте с перетоками. Будем рассматривать линейное уравнение вида (6.18) для осесимметричного случая: да а д ( да) (8.1) (7(г, р) = ~ й(г, !) е-Р'й. о где а — коэффициент пьезопроводности (7.2), 5 — коэффициент, характеризующий перетоки (6.17) через слабо проницаемые пласты.
Для уравнения (8.1) существует решение, полученное Ч. Э. Джейкобом и М. С. Хантушем (см, Хантуш 1964, 1, 2). Чтобы его получить, применим преобразование Лапласа, полагая (Снеддон !955) СКВАЖИНА В ПЛАСТЕ С ПЕРЕТОКАМИ 4 о| Для У(г, р) получим обыкновенное дифференциальное уравнение дои 1 ди Р+Ь вЂ” + — — — — и=О, аг г аг а (8.2) решение которого, соответствующее начальному и граничному условиям для Ь(г, г); Ь(г, О)= Нь 2ПЬтг — ) ф дь г ио имеет такой вид Функции Ко(ч/ар) соответствует оригинал и ~ е "=1(~).
йг По теореме смещения преобразованию Р(р+ и) соответствует оригинал е ог~(г). В рассматриваемом случае Ко(Г ~/ Р ) =: — Е еи Ко(,д 4Р+ ")= ~ ехр( — Ы вЂ” — ) —. о Замена переменной г'/(4аг) =и приводит к интегралу ! о Г ггь х аи ехр( — Ы вЂ” — ) й= аь ехр( — и — — )— 4аО ) 4аи) и л (= ) и, наконец, для Ь(г, 4) получаем о Г Ьг' ь а'и Ь (г г') = Н вЂ” — ~ ехр ( — и — — ) †. 4ЛЬТ 3 4аи ) и (8.3) Наконец, множитель !/р в выражении для изображения функции даст интеграл инеяцноиныя члены.
нзпогиыг движения ~гл. х! Введем величину В =зуа(Ь, называемуго нозгугйициентоя связи, и функцию 'йт (и, — ) = ~ ехр ( — у —, ) —. Ч (8.4) Функция Яг протабулирована (Хантуш 1964, 2) и для нее 17 1г7 Ю ~ 1г7 1г7 ст 1гУ гт Рис. 270. построены графики (Бочевер и Веригин 1961). На рис. 270 дана зависимость (т от и для различных т/В. Формулу (8.3) можно переписать теперь так: Заметим, что интеграл т'(а, Р)= ~ ехр( — и — — )— аь аи и1 и подстановкой а/и = у приводится к виду з 1(а, р)= — ~ ехр( — у — — )— аь ау ага Э ОВ аь в'у — ~ ехр( — у — — ) — „+ ~ ехр( — у — — ) —.
ага у! у ) ~ у> у ' СКВАЖИНА В ПЛАСТЕ С ПЕРЕТОКАМИ Последний интеграл представляет цилиндрическую функцию второго рода мнимого аргумента 2 Ко(2 т~а), так как 1( г ау Ко(х) = — ~ ехр( — у — — ) —. 24 ~ 4у) у о (8.6) Таким образом, можем написать 7(а, р) =2Ко(2 у'а) — 7(а, Я. (8.7) Положим го 4Н 4В' ' о 4а1 ' а а1 ,зо Тогда Г аи Ь(г 4) = Н вЂ” — ~ ехр( — и — — ) — = 4ЛАТ 4Вои Г и л ОО Н вЂ” 2 т Ко(л ) + 4иьг ~ ехр( и 4в' ) . (8.8) аив Чтобы найти выражение расхода Я(г, 4) через цилиндрическую поверхность радиуса г, воспользуемся вторым из равенств (8.8); получим Я(~, () =2го'агТ а аа а о[тк (а) — д, ( Р( — — д,,) — „,"~. (89) а на' Здесь использовано соотношение Ко(х) = — К~ (х). При г-+О имеем в в К'(в) При ~) О интеграл в правой части (8.9) остается ограниченным и его произведение на г' стремится к нулю при г- О.
Поэтому !1ш, Я(г, ~) =Я; следовательно, скважина бесконечно тонкого радиуса имеет постоянный расход Я. Для скважины конечного радиуса может служить формула (8.9), если положить в ней г го. нл. х! ИНЕРЦИОННЫЕ ЧЛЕНЫ. НАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ Введем обозначения (Р'(' В)=2КВ(В) ~ ехр( — и — 4В,и) ( ' В) В !(В) 4В' ~ Р( 4В~ ) Тогда формулы (8.8) и (8.9) можно переписать в виде 4 Т '(В'' В)' Ю('1)-а '(В' —.") (8.10) В главе Х111 для безнапориых движений рассмотрены и задачи о скважине конечного радиуса.
Все полученные там результаты нетрудно перенести также на случай напорного пласта. Гласа хт! НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ причем ~р = — й( ~ +г)+ с. (1.Э) Здесь и, о и ш — проекции скорости фильтрации, так что и ги —, о=т —, э=т —, их ду дх Ж' ~й' Ж' (1.4) где Нх/л(1, Иу/х(1, Ж/Ж вЂ” проекции скорости частицы жидкости, т — пористость грунта, й — коэффициент фильтрации, р — давление, р — плотносгь, д — ускорение силы тяжести.
Ось г направлена вверх. Пусть уравнение свободной поверхности имеет вид Р(х, у, г, 1) = О. Дифференцируя его по времени н пользуясь равенствами (1.4), получим т — + — и+ — о+ — ш О. ду ду ду дР д~ дх ду дс (1.5) Если уравнение свободной поверхности написать в виде х = 6(х, у, 1), или 6(х, у, 1) — г = О, то вместо (1.5) будем иметь т — + — и+ — о — ш О.
дЬ д6 дЬ д1 дх ду (1.6) На свободной поверхности, где давление р постоянно, из (1.3) следует уравнение <р(х, у, г, 1)+ йс соней (!.7) 6 1. Вывод основных соотношений. В общем случае, если не учитывать инерционные члены в уравнениях движения, движе- ние грунтовых вод при постоянном коэффициенте фильтрации й определяется уравнениями (см. $12 главы 1) и= —, о= —, в= —, да да да дх ' ду ' дс ' (1.1) — + — + — =О, да да дм дх ду дс (1.2) 432 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАЛАЧИ ЕСЗНАНОРНЫХ ЛЕИЖЕНИЛ [ГЛ ХН Ограничимся здесь для простоты случаем, когда массив однородного грунта подстилается горизонтальным основанием.
П е р в о е д о п у щ е н и е. Будем считать, что свободная поверхность слабо изогнута и колеблется около средней высоты йо. Тогда, разлагая функцию ф в ряд по степеням г — но и пренебрегая членами высшего порядка, будем иметь на свободной поверхности !р(х, у, г, !)=<р(х, у, Ьо, !)+ р ~ (г — йо)+ ... !р(х,у, Ьо,!), дф дх .=М и уравнение (1.7) можно переписать так: г=б(х, у, !) =— ф(х. у, Ао, В (!.8) Постоянную, входящую в уравнение (!.7), можно считать включенной в функцию !р. Таким образом, если бы мы нашли потенциал скорости, то уравнение (!.8) было бы уравнением свободной поверхности.
Второе допущение, Будем считать, что горизонтальные скорости не зависят от высозы г. Тогда уравнение неразрывности (!.2) можно проинтегрировать по г. Получим х Гдо доХ ш — шо — ~ 1,— + — ) о(г, 'Адх ду) о или га(х, у, г, !) = — ( д + д ) +шо(х, у, !). (!.9) Здесь шо — вертикальная скорость на нижнем основании пласта при г = О. Но так как мы, в сущности, осреднили на!пе движение по высоте, то можем включить в выражение !во и другие факторы, создающие вертикальную скорость, например, выражения, учитывающие инфильтрацию или испарение со свободной поверхности.
Уравнение (1,9) дает линейную зависимость вертикальной скорости ш от г. й 2. Вывод нелинейного уравнения. Покажем, что из уравнения (1.6) при сделанных двух допущениях можно получить нелинейное уравнение Буссинеска (Вонзя!пезй !904). Введем в рассмотрение функцию Й(х,у,!), связанную с потенциалом скорости !р(х, у, Ьо,!) соотношением МЕТОЛ МАЛОГО ПАРАМЕТРА АЗЗ Тогда уравнение свободной поверхности примет вид г=Ь(х, у, 1), а для горизонтальных скоростей будем иметь выражения дз дз и= — Ь вЂ”, о= — Ь вЂ”. дх ' ду ' Уравнение (1.6) с учетом (2.3) даст Ф вЂ” Ь~(щ) +У) 1 — =О. Для ю возьмем (1.9), положив Е=Ь. Тогда (2.4) примет вид - — „- ~( —.)+( —.)1- ( — '+ — ')---' что можно также переписать в виде (2.2) (2.4) в котором Л будем считать некоторым малым параметром; 1(х,1) — функция, учитывающая внешние воздействия на поток: инфильтрацию, испарение и т.
д. Если положить Ь (х, 1) = Нз + Л Ню (х, 1) + Л НП1 (х, 1) + ..., (3.2) где Не — некоторая постоянная, то, подставляя ряд (3.2) в уравнение (3.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим для определения Ноь На> и т. д. систему урав- нений д~Н дН~и д'НП~ а д ~ дН~д'А — = а + — — ~Н~в — ), д1 дх' Но дх ~ дх )' (3.3) (а = — '). При рассмотрении движения на отрезке (О, 1) сюда надо присоединить начальные и граничные условия Ь(х, 0) = ф(х), Ь(0 1) х1(1) Ь(1 1) Рз(1) (3.4) (3.5) 5 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
