П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Предположим, что основание пласта мало отличается от горизонтальной плоскости. Тогда можно положить Т(х, у,!) =* = й(х, у,!) и получить уравнение вида (1.!2). Применяя к нему второй способ линеаризацни, получим для функции и = гсэ'уравнение того же вида, что и (7.1) главы Х1: (3.1) где Ь,р — мощность водоносного слоя грунта (может быть, иначе, чем раньше, осредненная). Теперь для вычисления дебита скважины радиуса г, нужно положить дА ! ди ~ 44= — 2~~,йй д, ( г, с с дг ° с причем сс и=С, ~ е-ч — ч+С (4)= — ); поэтому е"! 2г, е ° (г=пг ЙС вЂ” ~ — 'ж2пгсС ~С = — — ), Ч !г-гс 4ае ' ~ ' 2на)' и для ЬВ получаем выражение (ср.
формулу (7.3) главы Х1) Ь и Нс 2 А ~Е1( — 4 ~) — Е!( — 4 ~)1г (32) где Н,=й(г„!) — глубина воды в скважине. Для скважины при слабо проницаемом прослое в основании можно взять уравнение (ср. уравнение (!.13)) — = — — ~г — ) — Ь(йс — Н') ~а = — ", Ь= — ).
(3.3) д~ г дг ~ дг ) ~ ис ' М~гг1)' где П вЂ” постоянный напор в нижнем водоносном горизонте. Точно так же, как в $8 главы Х1, можно получить его решение для СКВАЖИНЫ В КРУГОВОЯ ОБЛАСТИ 467 скважин бесконечно малого радиуса: Ь =Н вЂ” р А)(г(4г' и), В= ~/ ~ — ч А, (3.4) где функция Я7(и, г/д) определена равенством (8.4) главы Х1. д» г дга 1 дах — = а ~ — + — — ) — б (Ь вЂ” Н ) + и дГ ~ дге г дг ) о (4.1) где Алгр А„е рг ' ргд ' м й — коэффициент фильтрации водоносного пласта, гп — пористость грунта, /е, — коэффициент фильтрации подстилающего прослоя, Н вЂ” его толщина, Нр — напор в водоносном пласте ниже слабо проницаемого прослоя, й,р — некоторое среднее значение глубины потока, е — интенсивность инфильтрации на поверхности грунтовых вод. Уравнение (4.1) отличается от (1.!О) членом, определяющим перетоки из нижележащего водоносного пласта через слабо проницаемый промежуточный прослой.
Предположим, что интенсивность инфильтрации постоянна и что скважина радиуса г, работает при постоянном уровне Н, воды в ней. Напор Нр считаем постоянным, На границе г = Н области действия скважины, как на твердой стенке цилиндра, дй/дг = О. В начальный момент времени й(г,0) = Не. Тогда относительно функции Я(г, /) = й(г,1) — Н„определяющей й 4. Скважины в круговой области.
Предположим, что на площади, подлежащей орошению, распределено более или менее равномерно большое количество скважин. Тогда каждая скважина будет иметь свою область влияния и будет в основном отсасывать воду из некоторого цилиндра, окружающего скважину. Если область действия скважины достаточно велика, то неправильный (в плане) контур, ограничивающий соответствующую площадь Х, можно заменить окружностью и, таким образом, рассматривать движение в круговом цилиндре — вода как бы откачивается из бочки некоторого радиуса Н.
Случай постоянного уровня воды в скважине к о н е ч н о г о р а д и у с а. В случае неустановившегося осесимметричного движения грунтовых вод в безнапорном пласте с учетом слабой проницаемости нижележащего прослоя н инфильтрации сверху напорная функция й(г,1) удовлетворяет следующему линеаризованному уравнению: ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ (гл, хги 4оз понижение напора в пласте, получаем краевую задачу д.ч г дс.ч ! д.ч А — = а~ — + — — ) — Ь5+ш, д! ( дг! г дг) г, ( г ( й!, 5 (г, 0) = О, 5 (! ос 1) Нс д! ()А' 1) дд Н, (4.2) где Н=Н,— о Дальнейшее изложение ведется по статье Т.
И. Матвеенко (!974). Применив интегральное преобразование Лапласа (см., например, Свешников и Тихонов 1974) относительно переменной 1, получаем для изображения с Т(г, р) = ~ е Р'5(г, 1) г(1 о следующую задачу: Ь+р —, + — — — — Т+-х- =О, 4 го г дг а ор Н дТ (4.3) Т(г„р) = —, — „(й, р)=0. Общим решением задачи (4.3) будет функция м + Ор+ Нд — и 1о (сог) К! (со%+ Ко (оог) 1! (о!)1) Р (Р+ З) Р (Р+ о) 1о(!ого) К! (сок) + Ко(!ого) 1! (сор) где гоо = (р + Ь)1а, 1А(г) и КА(г) — цилиндрические функции мнимого аргумента соответственно первого н второго рода порядка ). По формуле обращения Римана — Меллина 5 (, 1) =. — (1 — е-ы) + с+! С ССС-А С! >С,!.С)СС,!С>С! С! ся( з Р (р+ д) 1с (согс) К! (и)1) + Ко (согс) 1, (сор) где интегрирование проводится по произвольной прямой (У ) 0), параллельной мнимой оси.
Подынтегральная функция относительно р однозначна и обладает простыми полюсами в точках р = О, р — Ь, р = — Ь вЂ” аз$ (й = 1, 2, 3, ...), где УА — корни уравнения То (гсз) «'! (Йз) — 1! (Йз) «'о (гсз) = О (4.б) Здесь 1А(е), УА(г) — цилиндрические функции соответственно первого и второго рода порядка Х.
Как известно (см., например, скВАжины В КРУГОВОи ОБлАсти 4Ь9 Янке, Эмде и Леш 1968), корни уравнения (4.5) действительные и простые. Так как у нас выполнены все условия леммы Жордана (см. Свешников и Тихонов !974), то для вычисления интеграла (4.3) достаточно найти сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах. После вычислений находим искомую функцию 3 (г» !) = Х! (г, Х) — НΠ—— ( ~/ ) ( ~/ ) '( ~/ И ~/-) Х,(,4~ )К,(йл4~ ~+К,(., т~ )Х,(й ~/ ) где Хо (гаь) у! (йзь) — Х! (йзь) Уо (гаь) А» (г)— Х! ( тзь) ХО (г яь) Х~а (г,аь) — Х! (йгь) Из асимптотических разложений цилиндрических функций следует, что , (, Я)К (, (ь)+, ( /ь), ( /ь) 0 «,(„~Я)» (й l~)+ ( (ь)х ( (ь) Хь(г г!(Я К! (й г0(Х ) + К0 (г г~/ — ) Х, (й,~/ Ь ) аь (, /ь)„( )ь) ( /ь) ( Хь) ! й! = — ! п — — — Хг — г01, 20 г, 40 ( сг' а поэтому, если в (4.5) положить Ь О, т. е.
считать основание совершенно непроницаемым, то Х! (г> Х) = Н0 + + — ~1п — —,')+и~~! ~Н+ —,)А„(г)е А . (4.7) 2а г, 2й- 1 аза) А-! Для (4.7) можно получить более простое приближенное выражение, ограничившись первым членом бесконечного ряда (Аверьянов н Усенко !96!). Случай постоянного дебита, В отличие от предыдущего случая будем теперь считать заданным и постоянным СКВАЖИНЫ В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ !4 случае непроницаемого основания после перехода в (4.10) к пределу при Ь-эО находим Для бесконечно тонкой скважины, вместо задания дЯдг при г=г„имеем граничное условие !1пс, о(гдов/дг)=т, где 'У ф(2ЫЬ~Р) Решением операторного уравнения (4.3), удовлетворяющим граничным условиям — (сг, р)=0, 1ип (г — „) = —, будет функция ( Р) р [ г !сосг) ~о ( ) + с(о (~~)~ + р (рх+ ь) Как и ранее, для нахождения оригинала достаточно найти сумму вычетов функции К$ (сон! !о (сог! + Тс !со!(! Ко (шг! РС ЕР рс, (сос!) во всех ее особых точках.
Особыми точками этой функции являются полюсы р = О, р = — Ь, р = — Ь вЂ” аз' (/г = 1, 2, 3,...), где ео (они вещественны) — корни уравнения 7с Яе)=0. После вычислений и преобразований находим О'(Г, !) — Ь(Г, !) — Но= — (1 — е ") + —,е м— оу -и 2та ('И)'( И) ( мЪ'( И) ( (ь) 6(г, с) = Ло+ + асС К вЂ” г о ( ' — ' —,) Уг И'.,о СС М 2аг,! + — ГТГ, — ЯТГ,1п — +,; 1п — ) + 2 гс Ф вЂ” г';' .г, +яр~ — е 'А о-! 2те ~ о(~~А) -(ь+.,)с (4 !!) с! ~ (ь+ ",) со(с!с,) 432 ЛННЕАРНЗОВАННЫЕ УРАВНШ1ПЯ ДВНЖЕННЯ 1гл. Хн! Из асимптотического разложения цилиндрических функций следует, что ~Р(Р ~Я) о о ~ ( ~Ь) о а о а ЬР' и ' — г.( Чгг)-рк,(, г — ') — „';,- ]- г гг 2а 3 — !п — + —,+ — ! — о. 2Ро Рг Следовательно, для совершенно непроницаемого основания й(», !) = Но+ 1е!+ г го 3 2а! 1 2р ~-~ то (гоо) агОА1 +Р (1п — — —,+ — —;-) + — ~ е А . (4.12) Р 2Ро 4 ко ) Р 2а о»2(Р ) Нетрудно проверить выполнение начального условия, воспользовавшись соотношением х то (РАР) 8 2 ~ —,, = — ро — 1пр — —, К; р'о(р,) = 4 если ро — корни уравнения У1 (ро) ° О (у нас ОА=Рзо и р=»!Р).
При достаточно больших значениях ! бесконечным рядом в (4.12) можно пренебречь, и тогда й(г, !) будет линейной функ. цией времени. В частности, на скважине (хотя мы приняли для упрощения формул скважину бесконечно тонкой, теперь в полученные формулы имеем право подставить радиус скважины»,) будем иметь й(» !)жН~+ш! — ~ — !и ' ! ( ') о» 2яьлср ~ 4 Р 2 ~ Р,) тР' (4.13) При н1 = О множитель при 1, т.е. угловой коэффициент прямой й = А + В1, равен (А!Ьег! 1960) О 2АА,Р Яьср Ф~ср О мгг— 2яьаор тР2 тпьгрР' ! где )г — объем жидкости в пласте. Зная две из трех величин т, Р н й,р (в случае напорного пласта вместо й,р будет фигурировать мощность пласта), по объему )г откачиваемой жидкости можно определить третью величину. В безнапорном движении образуется свободная поверхность — воронка депрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
