П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Поэтому для в1 можно еще написать ~ ~~' + б) ( д В + д чи ) + ю (7 7) 9 8. Пример пространственной задачи. Рассмотрим плановую задачу о течении в верхней полуплоскости плоскости (х, у). Пусть ось х представляет собой вертикальный берег доходящего до горизонтального водоупора канала. В начальный момент времени имеется постоянная глубина грунтовых вод Н, н уровень воды в канале внезапно изменяется так, что в одной части его, прн х ( О, устанавливается глубина воды Нь а в другой, при х ) О, — глубина Нм которые затем поддерживаются постоянными. Требуется найти уравнение свободной поверхности грунтовых вод г = й(х, у, 1) в полуплоскостн у ) О, т.
е. по одну сторону канала. Величина ги1А — вертикальная скорость на свободной поверхности, происходящая от действия осадков, испарения и т. п. Подставляя полученные выражения для ш1 и вз в уравнения (7.4), получим систему двух нелинейных уравнений с частными производными относительно функций 1у1 и Е1з (величина б может быть исключена из этих уравнений с помощью уравнения б = с111у1 — ах1уз). Возможна линеаризация этих уравнений, на чем мы не останавливаемся. Для случая перемещения языка нижней жидкости в напорном пласте нелинейная однородная система может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (Полубаринова-Кочина 1949, 2).
Была рассмотрена (Полубаринова-Кочина 1950) задача о перемещении поверхности раздела между пресной и соленой водой под флютбетом с учетом линейных инерционных членов, причем задача была сведена к телеграфному уравнению. На основании изложенного в главе Х1 не имеет смысла учитывать эти члены, а тогда вместо телеграфного уравнения получается более простое уравнение теплопроводности. Задачу о двухжидкостной системе рассматривал также Н.
К. Гиринский (1947). пРимеР пРостРАнствеинои зАдАчи 471 В В1 (8,1) (8.2) Искомая функция й удовлетворяет следующему уравнению: рещение уравнения теплопроводности (8.1) при начальном условии Ь (х, у, 0) 1(х, у) и граничном условии Ь(х, О, с) = г" (х, Г) (8.3) имеет вид (Карслоу и Егер 1964; Соболев 1966) 7С(Х, У, = 4пог ~ С(~ ~ 1($ Ч) (ЕХР( — " )— о екр ( ( о)'+ 07+ Ч) ) ~ с( с о В рассматриваемом случае 1 Н, при х(0, 1(х, у) = Н„г (х, 1) = ( (8.5) Н, при х) О. Так как граничная функция г'(х, с) не зависит от времени, то предварительно преобразуем второй интеграл, выполнив в нем интегрирование по т.
Получим 4ссссс ~ ~ ~ 1(о тс)1 Р( ) о ( 4 )~ 1+ о Подставим теперь в зту формулу выражения (8.5) и при- мем во внимание равенство 0 4~И $ р( 4с ) ~$~ 1( 4с 9 о — ехр ( — — "+ П )~ с7с) = ег( ( — "), ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 472 [ГЛ. ХГИ Подетаиовка е — х=о) дает Ь(х, у, ()=Ноет(( ~ 1+ — '~ 1 ехр( — ~ д ~ " + к к О что можно переписать еще так: Интеграл с постоянными пределами, входящий в последнюю формулу, приводится к функции ошибок, а именно, СΠ— «~ ехр( —" " ), ", =ег(с( — "). (8.9) о Для вывода равенства (8.9) заметим, что ФО О А I — „, = з4 е АзсозЩ)о(Е, ) е-""'соз(иф)о(и= — '"~ ехр( — о 1. о о Поэтому можно произвести такие преобразования интеграла кк О(~ к -«'Ь'-Ао-ОМ (П~) ~ о о о == ~ ехр( — (=+ л Л/лД~Ц.
о Подстановка $('(2 ~Ул )+ л ~/л к Л дает У=ег(с(ля/и ), 473 пРимеР пРОЕТРАнствгннои зАДАчи Использовав (8.9), приведем выражение (8.8) к виду й(х у 1)=Н ег1( т1 )+ ' ' ег!с( ~.— )— х о (8.10) Это — уравнение винтовой поверхности: она образована прямыми лучами, исходящими из различных точек оси г и лежащих в горизонтальных плоскостях, и имеет форму веера, развернутого на !80'. Теперь рассмотрим ту же задачу в предположении, что об. ласть движения подстилается слабо проницаемым грунтом толщины о( с коэффициентом фильтрации й„(ср.
$ ! и 4). Тогда можно принять уравнение дг = а ( д о + д, ) — Ь (й — Но) (Ь = — '1 ) . (8.12) да д'А д'А А, Положим, что начальная высота грунтовых вод совпадает с напором Но, и пусть й = Н, + е-"'и ( 8.13) Требуется определить движение в полуплоскости у) О, если дано, что Н = Но при 1 = О, а при 1 ) 0 и у = 0 Н, при х< 0, Н, при х> О. Для функции и эти условия принимают вид и=О при 1=0, и=(Н, — Но)е ' при х < О, у=О, (8.15) и=(Н,— Но)е ' при х > О, у=О.
Поскольку функция и(х, у, 1) удовлетворяет уравнению (8.!), решение для и можно найти с помощью формулы (8.4), Из (8.10) следует, что напорная функция й состоит из трех слагаемых: первое получается от первоначального уровня грунтовых вод, второе соответствует одномерной задаче с постоянным напором (Н~ + Но)/2, а третье, зависящее от х, определяет асимметрию течения вследствие разности напоров в верхнем и нижнем бьефах. При 1 = оо получаем установившееся движение, для которого уравнение свободной поверхности имеет вид 474 ЛИНЕАРИЗОВА!и!ЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕН(4Я (гл. хи! подставив в нее Я,г)) = 0 и / (Н! — Ню) еь' при $ < 0 4.
(Но — Но),ь. при $ > О. Тогда получим О Введем подстановки ( +$)'+ у' ( — о)'+ у' 4а (! — т) ' 4а (! — т) (8. 11) соответственно для первого н второго из интегралов формулы (8.16). Переставляя пределы, получим окончательно В Н Ь(Н! — Но)у ( ( о „г(оай й=НО+ 4аа 33 а ~~е ' — '+ ОО, В + "" -"'У « " = — "" (8 18) оо, Здесь введены обозначения (х+ Е)' -1- у' (х — г)г ( уг 4а! ' ' 4а! ' ~ (818) а=йо„ 6 = Ь(аг!. Найдем форму свободной поверхности в предельном случае прн ( = оо.
Это будет форма свободной поверхности в установив- шемся движении. Нам нужно вычислить интеграл 1=~ е Аг(Л. о (8.20) Подстановка Л = ~/с е ' приводит этот интеграл к такому: ! —,у!с ~ е — г "Й .ь ! — ! г(! оо (8.21) и=(й — Но) е и у(Н! — Но) Г Г / (х — й)о+угт г(то(1 4аа ~ ехрьч(гт — у! —, + 4а (! — т) ) (! — !)' о— оо + (% — но)у „~ (х — 1)'+у' атгЦ ) 4аа 3 3 1 'т 4а(! — т) / (! — т)г ' о о ПРИМЕР ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ 5 В) Существует следующее представление модифицированной функции Бесселя второго рода: оо 1-р(х) — 1р(х) 1 К (х) 2 В!При 2 = — ~ е-""'-Р'г11. (8,22) Ф Таким образом, У=2 )/с К, (2 ~/с ). Подставив полученное выражение в формулу (8.18) и заменив в первом из интегралов $+ х на Ь, а во втором $ — х на ь, получим СЮ й (х, у, ) = Н + 1'~' О ) и 1 Р (ь) о(ь + Р + '"' "'" ~ ГД 1~+ '"' """ ~ Ь а Ц, (8.28) о о где В частном случае Н, = Н, получаем одномерную задачу о вытекании воды из канала.
Решение будет зависеть лишь от координаты у, и вместо (8.12) будем иметь дИ д'И вЂ” = а — — Ь (л — Но). д1 ду' Подстановка (8.!3) приводит это уравнение к обычному уравнению теплопроводности, решение которого, удовлетворяющее условиям и(у, О) = 1(у), и(0, 1) = Е(1), имеет вид (см. Соболев 1966) и(у,1)= — ~ )(п)~ехр( — 1" " ) — ехр( — 1У ") )~о(т)+ о + — ~ Р(1 — У )е ч' г(г) ()А = У вЂ” ). (8 24) 476 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ !ГЛ.
ХГИ В рассматриваемом случае г(у) =Не, Р(!)=е" (Н! — Нс) и (8.24) дает )г(у, !) = Нс+ (Нз — Нс) е-ы ег! р+ +(Н! — Н,) ~сЬ ~/ — „у — — ехр~.у — у)ег(($)+ + ~ ехр( — ~~ — у) ег! (!))~, (8.25) где $ !(У! + Р, Ч 45! Р, !А При выводе формулы (8.25) использовано выражение интеграла с с 1 2 г -м — ! с! 1 зс / С ! ~ е А' с(А = — е "с ег(с ! а — — ! + — е" ег(с ! л + — ! .
с Для установившегося движения при ! = со получаем из (8.25) простую форму свободной поверхности: Ь (у, со) = Нс + +(Н, — Нс) ехр( — ~/б/а у). Она же может быть получена из уравнения (8.23) при Н, = Н,. Гла ва Х17 ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ПРИ ПОЛИВАХ А. ОБРАЗОВАНИЕ И РАСТЕКАНИЕ БУГРОВ ГРУНТОВЫХ ВОД В 1. О поливах и растекании бугров грунтовых вод. При орошении или при прохождении дождя происходят сложные явления в верхних слоях грунта.
Вода впитывается почвой, имеющей определенную сложную структуру, и поглощается корневой системой растений. Затем, поступая в листья растений, вода ипаряется — говорят, что происходит транспирация влаги растениями. Часть поливной воды испаряется с поверхности орошаемого участка. Под зоной поверхностного увлажнения грунта образуется зона капиллярно-подвешенной влаги. Ниже залегает воздухонасьпценная зона, называемая зоной аэрации грунта, еще ниже имеется поток грунтовых вод, с каймой капиллярного подъема над ним. Идеальным представляется случай, когда влага сохраняется в двух верхних зонах, не просачиваясь ниже. Однако, как правило, при обычных способах орошения влага не удерживается полностью во взвешенном состоянии.
Отдельными струйками или каплями она проходит через зону аэрапни и попадает на поверхность грунтового потока или его капиллярной каймы— эта часть поливной или дождевой воды составляет инфильтрацию на поверхность грунтовых вод. С самой поверхности может происходить также испарение. После полива (или выпадения дождя) на поверхности грунтового потока образуется бугор, который в дальнейшем медленно рассасывается, создавая местное повышение уровня.
Часто бывает, что это повышение, достигающее иногда одного метра в год и больше, через несколько лет приводит к засолению (см. главу ХУ) или заболачиванию орошаемого участка. Кроме поливов и выпадения атмосферных осадков потери на фильтрацию из поверхностных вод могут создаваться за счет несовершенства поливных устройств, фильтрации из оросительных каналов и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
