П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 66
Текст из файла (страница 66)
14З з!~2 (6.3) Будем искать решение (6.3) в виде степенного ряда Ч = а, + азь + азь' + ... при условиях 21(0) = О, т1'(0) = О, т1'(со) = 1 Такое решение мы можем взять непосредственно из теории пограничного слоя. Для Ч как функции от Ь получим ряд (см. Кочин, Кибель и Розе 1963, 2) ч ог (1 1Ао г + ~.~~ ь +,! 1!! ~ + ° ° ° ) (6.4) (а 0,33206). Взяв его производную по ь, найдем и в функции от Ь: и=2аЬ вЂ” — аЬ + — а'Ь! — — а к!2+ ... (б.б) 2 ! 1! з 375 4! 2 ° 7! 4 АЙ!О! Пусть = ~/Ча ' (5!) 1' = 0,4873 ~/Ч, Х = а !'(5!) ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗ ГРУНТА В ЛУСТОН ВАССЕЙН 441 Тогда вместо (6.4) получим у=х(1 — х" + ...)" =х — 2 Х'+ Обращение этого ряда дает Х У» У4+ Ут ум» 1 4 1 т 4 м Подставляя это выражение для Х в ряд (6.5) для и, оконча- тельно найдем и=В (У вЂ” 2У4+ЗУт У~О 477Ум» ) (66) 4»Е 44 4 4Р 141 1Е 14 Рис.
274. Интересно сравнить найденное точное решение с приближенными, получаемыми посредством первого и второго (см. $4) способов линеаризации (см. уравнения (4.3) и (4.5)). В обоих случаях мы принимаем й,р — — Н,. Для первого способа линеаризации решение имеет вид ч и = ио4 = ГР (т)) = = е А* 4(й. О (6.7) где В= 2а'15~'= 2,3652. С помощью ряда (6.4) были произведены вычисления до т»= 0,6; дальнейшие расчеты проводились с помощью численного интегрирования по формуле (6.2).
Результаты расчетов представлены на рис. 274 (где принято й,р — — НО) 442 нвлинвнныв задачи ввзнлпоэиых движении (гл. хп Для второго способа линеаризации получаем и=игл = т/Ф(Ч). (6.8) Из рис. 274 видно, что первый способ линеаризации дает в этом случае очень плохой результат, в то время как второй дает ре- шение, довольно близкое к точному. (7.1) Предполагая, что в рассматриваемом случае интегральная кривая пересекает ось абсцисс, обозначим абсциссу точки пересечения через с.
В этой точке и=О, й= — с. (7.2) Дифференцируя последовательно (5.2) и используя (7.2), най- дем разложение и в ряд по степеням разности $ — с: (1 — с)с 576сг ($ — с)' 230400сг + ' ' ' и = — с (я — с) — — ($ — с)' — — ($ — с)г + г 4 72с 11 ($ — с)г (7.3) Положим в полученном равенстве $ = О. Будем иметь (при йс = И~) ( 4+ 72 ''') Сложив быстро убывающие члены ряда, стоящего в скобках, найдем с', а затем с = 1,14277 ... С помощью ряда (7.3) получена таблица 13 зависимости и от $. 3 7.
Фильтрация в грунте с нулевым уровнем грунтовых вод. Другой крайний случай, для которого принятая в э 4 степень точности — до третьих степеней параметра включительно — недостаточна, есть случай фильтрации нз водоема в грунт, в котором до наполнения водоема ие было грунтовых вод (но который мог, конечно, быть влажным; в этом случае пористость будет заменена недостатком насыщенности нли активной пористостью — см. й 2 главы 1).
Для этого случая интегральная кривая была построена с помощью следующего разложения в ряд (Полубаринова-Кочина !952, 3). Если в уравнении (5.2) положить и = О, то, считая и" Ф ао, будем иметь и'(и'+$) = О. Отсюда, если и' Ф О, получим и'+$=0. ГРУНТ С НУЛЕВЫМ УРОВНЕМ ГРУНТОВЫХ ВОД 443 Таблица 13 $7! Зависимость и от $ 0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 ,936 0,867 0,794 0,716 0,635 0,549 1,143 1,0 1,1 0,8 0,9 0,458 0,363 0,263 0,158 0,0487 0 йУ 4(4 4У Юг (О У~ (4 7Д У Рис. 275. от случая, рассмотренного в $6, здесь второй способ линеаризации, когда за неизвестную функцию принимается Ьт, дает значительно худший результат. Возвращаясь к точному уравнению (7.3) для линии свободной поверхности, заметим, что выше мы взяли лишь часть этой линни для О ( 9 ( с, так как отрицательные значения и не имеют смысла.
Для $ ) с следует принять и = О. При этом и' будет претерпевать разрыв непрерывности при 9 = с, но величина ии', пропорциональная расходу в сечениях потока, остается непрерывной. Нетрудно пересчитать эту таблицу, перейдя от независимой переменной $ к переменной 71 =9/ТГ'2.
Не приводя этого пересчета, мы даем график (рис, 276), где построена зависимость и от 71, а также приведены кривые 1 — Ф(7!) и т/1 — Ф(71), являющиеся соответственно решениями уравнения движения, линеаризованного по первому и по второму способам. В отличие 7,У 444 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ВЕЗНАПОРНЫХ ДВИЖЕНИЙ !ГЛ. ХН Интересно, что в рассматриваемом крайнем случае язык грунтовых вод перемещается с конечной скоростью (прн 1) 0).
Из условия $ = с находим, принимая во внимание соотношения (4,6) и (5.1), абсциссу переднего края языка 12АО!! х=с у— (7.4) и затем скорость распространения переднего края Нх с4АО, (7.5) й! Ч! 2!а! Нужно иметь в виду, что интегрирование нелинейного уравнения дает форму депрессионной кривой более !очно, чем интегрирование линеаризованных уравнений, однако все же при (а а Р,с' Р2 РФ РР Рд АР Рис. 276. этом получается лишь гидравлическое решение, т. е. осреднен. ное по высоте.
Точное решение двумерной задачи нам не известно. Г. К, Михайлов (1953, 2) обратил внимание на то, что уравнение Буссинеска для перемещающегося языка грунтовых вод (случай этого параграфа) точно соответствует анизотропному грунту с йи — — оо (см. 2 9 главы Л11). Для случая й„= 0 все линии тока горизонтальны и поэтому уравнение депрессионной кривой принимает вид !!х А Н! — у (7.6) й ги к ДРУГАЯ ФОРМА НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ 445 Интегрирование его, считая у = сопз1 и полагая х = О при ! = О, дает для депрессионной кривой уравнение (7.7) нли, в предыдущих обозначениях, и = 1 — $У, Опыты (Семчинова 1953) показали, что форма депрессионной кривой в плоской задаче является промежуточной между формами кривых (7.3) и (7.7).
На рис. 276 приведены обе теоретические кривые, нижние концы которых совмещены в одной точке, Точки, полученные в результате ряда экспериментов, укладываются в области, ограниченной кривыми (7.3) и (7.7), 8 8. Другая форма нелинейного уравнения. Для построения интегральных кривых уравнения (5.2) в $5 было применено численное интегрирование при заданных значениях сг.
При этом («" «г Р,8 «4 с(с Ас Аб ГсГ « Рис. 277. От Ч =х тlт/(2 тlяГГЕГ). Для и(Ч) = Л7НЕ выше было получено дифференциальное уравнение (4.8) ипи+ й + 2Чй = О. Для "с(Ч) будем иметь такое уравнение: 16+ (1 — 6) и,1 й' + (1 — 6) и" + 2Чц, '= О. (8.1) были найдены значения у . Интерполированием был сделал расчет для равноотстоящих значений у . Можно избежать интерполирования, если преобразовать уравнение (5.2) соответствующим образом.
На рис. 277 построено в несколько видоизмененной форме семейство кривых (Агопо!з)су и Деп)г!пз 1952), представляющих зависимость величины 44б НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ВЕЗНАПОРНЫХ ДВИЖЕНИЙ 1ГЛ. ХП При Ь = ! (Н1 = Н2), когда движение отсутствует, и = 1, .однако уравнение (8.1) имеет рещение и2 = ег1 2), т. е. И =Н, + (Н2 — Н1) ег1 2). Это решение линеаризованного уравнения. Представленное на рис. 277 пунктирной линией, оно разделяет линии, для которых Н! (Н2, от линий, для которых Н, ) Н,. Интегральная линия при Н2 = 0 остается невыявленной, но другие линии резко отличаются друг от друга. 9 9.
Равномерный подъем уровня воды в канале; решения нелинейного уравнения типа источника. Можно обобщить задачу, рассмотренную в предыдущих параграфах этой главы (Баренблатт 1952, 1). Нелинейное дифференциальное уравнение дй д'йй — =ив д1 дх2 в случае, если ищется его решение, удовлетворяющее условиям И(х, 0) =О, И(0, 1) =а)Р (р))0), (9.2) с помощью подстановок И= а) !($), $= — (а 1 Р' 1 (9.3) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению д + 2 б~ р1=0. д2!й 1+ р (й — 1) д! (9.4) При этом для ! должны выполняться условия 1(0)=1, )( )=О.
(9.6) Если решение уравнения (9.1) должно удовлетворять условиям И(х, 0)=0, — '","„" =- ' (9. =О), (9.8) то подстановка 2:2~+! ~1-й 22 4 П-й) й "= (пт) 24'11 2+' 71(б) б хт '+'а 2411 '+' (9.7) приводит к уравнению ! ~" (24+ 1) (й — 1) ч д!! 24+! 412 21 — +-,1+ й+! 1 д, й+! $ = — — 11= О, (9 8) причем ставится условие а!71~ (0)Щ = — 1. эи РАВНОМЕРНЫИ ПОДЪЕМ УРОВНЯ ВОДЫ В КАНАЛЕ 447 Специальный интерес представляет частный случай р = 1, Ь = 2, соответствующий равномерному подъему воды в канале.
При этом уравнение (9.4) приводится к такому: к — +$ — — /=О, от/а 4 (9.9) Нетрудно обнаружить, что это уравнение имеет решение вида /= 1+ 6$. Подстановка этого выражения в уравнение (9.9) дает для постоянной 6 значения ~ 1/1/2, из которых мы выбираем отрицательное. Функция, заданная соотношениями / 1 — ~ для 0~(~~(тГ2, 1 (9.10) /=0 для т/2 < ~ < оо, ) дает непрерывное решение уравнения (9.9) с непрерывным значением величины //', пропорциональной расходу. Оно соответствует поставленной задаче.
Возвращаясь к функции Ь, получим решение, отвечающее условиям Ь(к, О) = 0 и Ь (О, 1) = а/ для уравнения да А д'Ьк (9.! 1) в следующем виде: / та Ь=а/ — х Ат— 'Ч А при 0(х( т/ — /, /Аа / Аа при 1 т/ — < к. (9.12) ( 9И )'А Его можно рассматривать как частный случай растекания бугра грунтовых вод по поверхности водоупора, которое подробно об- суждается в $1 и 2 главы Х1Ч. Следовательно, депрессионная линия представляет отрезок прямой, перемещающейся параллельно самой себе (рис. 278) с постоянной скоростью распространения переднего края Опыты в щелевом лотке хорошо подтверждают эту картину.
Можно получить также решение типа источника для уравнения (9.11) в случае симметрии относительно оси ординат (Баренблатт 1952, 2): Ь = — (т. — к'), (9.13) 449 нелинвиньш задачи ввзнхпогных движении [гл. хп В случае цилиндрической симметрии вместо (9.1!) имеем уравнение (9. 14) Решение типа мгновенного источника здесь имеет вид (9.15) Оно представляет схему растекания осесимметричного бугра грунтовых вод при сосредо1оченном поливе по поверхности водоупора. В обоих случаях свободная поверхность имеет в сечении вид параболы, расширяющейся со временем (рис. 279).
Рис. 279. Рис. 276. Однако наибольшая абсцисса увеличивается по различным законам: в плоской задаче пропорционально 1'и, в осесимметричной пропорционально 1'ь. Отметим неавтомодельное точное решение уравнения (4.1), найденное Ю. Д. Соколовым (1956): й = + [ — — вт-+ Ьх — 2, + с (1 — а) '~, (9.16) в котором а, й и с — произвольные постоянные. $10. Задача Буссинеска. Буссинеск (Вопзз(пезп 1904) искал решение уравнения в виде произведения двух функций Ь=т(1) А'(х), (10.2) из которых одна зависит от времени, другая от координаты. ЗАДАЧА БУССИНЕСКА 449 Подставляя (!0.2) в (!0,1) и разделяя переменные, получим т' х т А (хх!' (10.3) где А — произвольная постоянная.
Уравнение (!0.3) распадается на два — для Т и для Х. Интегрирование каждого из них дает !" хи А~+С' 3 / 2 Ат + См (10.4) 'а хз з В выражении для х заменим произвольные постоянные новыми, полагая х ,~/нз хз ' о (10.5) Считая Х изменяющимся от нуля до Н, выберем постоянную 0 так, чтобы иметь х = Ь при Х = Н.
Тогда х ЗА (' ХИХ 1,) з (10.6) ),»,он и где В обозначает бета-функцию. Равенство (!0.6) можно получить, преобразуя интеграл с помощью подстановки Хз = Н'т: н хих 4й( А -А = — ~ т '(1 — т) *Нт= -А/Нн-Х З 3 н о = — В ~ —, — ) = 0,862 !/Н. 3 !3' 2) В= з =116=. в(з, !) /и /й В выражении для Т выберем постоянную С равной единице, чтобы иметь Т = 1 при ! = О. Обозначая через /(х/Е) = Х/Н обращение уравнения (!0.6) и учитывая зависимость А от Р, можем переписать (10.2) в виде Н/(х/А! НН Н=тготн~ир о (10.7) !3 П. я, Пон>ннунпонн Ко шнн График функции 1'=/(х/Е) представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
