П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 67
Текст из файла (страница 67)
280. Его можно рассматривать как начальную форму кривой депрессии, 450 нелинейные зАдхчи ВВЗИАпоРных дВижения ггл. хи понижаться согласно (10.7). Эта схвма собесконечном ряде дрен, лежащих на водоупоре, причем начальная поверхность имеет уравнение /го = О((х!т'.). Для расхода каждой из дрен найдем выражение, составляя произведение 2гсгг дл/дх и переходя к пределу при й- 0: которая затем будет ответствует задаче о 1.720гсНс 9 1!.
Теоремы существования и некоторые свойства нелинейных уравнений теории фильтрации. В задаче $ 7 — о фильтрации в грунт с нулевым уровнем воды в нем — обнаруживается особениостьс конечная скорость распросгранення передней границы возмущенной области движения. Это свойство нелинейных уравнений параболического типа было обнаружено в работах Я. Б. Зельдовича и А. С. Компанейца (1950) и Г. И. Барен.
блатта (1952, 1). В дальнейшем Г. И. Баренблатт и М. И. Вишик (1955) доказали, что конечной является также скорость распространения передней границы возмущенной области для пологих безнапорных движений (а также для широкого класса более общих задач) при начальных распределениях напора, равных нулю вне некоторой конечной области. При нестационарной фильтрации газа в одномерной пористой среде движение газа описывается уравнениями (см., например, Баренблатт, Битов и Рыжик 1972) ди д'~р (и) дг дх' (11.1) где функция ф(и) (и — давление газа) определена для и ) О, гр'(и) ) 0 при и ) 0 и гр'(0) = О. Для политропного газа гр(сс) = = ии"; при п = 2 приходим к уравнению Буссинеска (4.1). (10.8) 47 Буссинеск пытался дока- зать устойчивость рассмотсг ренного движения, названр ного им «упорядочеггным ре- жимом». Однако он лишь Рис.
280. обнаружил существование класса возмущений, которые стремятся к нулю при С-э оо быстрее, чем й, что недостаточно. для полного доказательства устойчивости. А 1и ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И СВОИСТВА УРАВНЕНИИ 451 В работах О, А. Олейник, А. С. Калашникова и Чжоу Юйлиня (1958) и А. С. Калашникова (1967) исследованы вопросы существования и единственности решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (11.1) При этом особое место занимает исследование решения при нулевом начальном условии и(х, 0) = О, простейшие случаи которого указаны в $ 6 и 7. Так, линия АВС (рис.
272) не является интегральной кривой (в обычном смысле) дифференциального уравнения (5.2), так как в точке В производная у нее терпит разрыв непрерывности. В таких случаях в указанных работах доказывается, что уравнение (11.1) имеет обобщенное решение в смысле С. Л. Соболева (1966). Так, в случае задачи Коши обобщенным решением называется неотрицательная, непрерывная н ограниченная в полосе 6( — со <х < со, 0 < ! < Т) функция и(х, !), если существует обобщенная в смысле Соболева производная д~р(и)/дх (в рассматриваемой задаче она существует в обычном смысле), ограниченная в 6, и для любой непрерывно дифференцируемой в 0 функции 1(х, !), равной нулю вне конечной области и при 1= Т, выполняется равенство ~ ~ (;~~- и — ~ -з2 ) й с(х + ~ ! (О, х) и (х, 0) с(х О.
(11,2) Показано, что во всех точках, где уравнение (11.1) не вырождается (вырождение имеет место при и = 0), обобщенное решение имеет непрерывные производные, входящие в (11.1), и удовлетворяет этому уравнению. Заметим, что для получения уравнения (11.2) нужно умножить обе части уравнения (11.1) на 7" (х, !) и проинтегрировать по области 6. Интегрирование по частям приведет к (11.2) (Смирнов 1969; Соболев 1966). Глава Х(П ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ БЕЗНАПОРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ф 1. Неустановившиеся движения в безнапорном пласте. Для неустановившегося движения при горизонтальном водоупоре мы имели уравнение (2.5) в главе ХП.
Выведем более общее уравнение Буссинеска, считая, что граница водоупора — некоторая слабо изменяющаяся поверхность з= — Т,(х, у). (1.1) Пусть имеем уравнение свободной поверхности з =!г (х, у, !). (1.2) Тогда область, занятая водой, будет определяться в каждом вертикальном сечении высотой Т(х, у, !) =(г(х, у, !)+ Т,(х, у).
(1.Э) Тол Лу = — ит — Лу. да Изменение этого количества при выходе из рассматриваемого объема через поверхность, соответствующую сечению х+Лх, равно (То, ЛУ)Лх= — — (лТ вЂ” ) ЛхЛу. (1..4) Для сечений, перпендикулярных к осн у, получим изменение количества воды — (Т вЛх) Лу= — — (лт — ) ЛхЛу, д д да (1.6) Складывая (1.4) и (1.5), будем иметь общее количество жидкости, вытекающее (или втекающее) из рассматриваемого Выделим столб воды в грунте высотой Т(х, у, !) с площадью основания ЛхЛу. Через поверхность этого объема, перпендикулярную к оси х, будет проходить в единицу времени количество жидкости столба в единицу времени. Оно компенсируется изменением во времени высоты столба жидкости, умноженной на пористостьс — Лх ау.
д (та) д! (1.6) Складывая (1.4) — (1.6) и сократив на ЛхЛу, можем написать уравнение В это уравнение можно также ввести величину ш, — разность между инфильтрацией и испарением на единицу площади горизонтальной проекции поверхности грунтовых вод. Введем еще одно обозначение йТ= К. (1.8) Величина К называется, как и в случае напорного движения, проводимостью пласта. Здесь эта величина является функцией времени, но обычно ее заменяют осредненным значением, и притом не только по времени, но и по координатам, считая К (йТ),р или К-(пй)рр. Заметим, что если )й(х,у,() ! мало по сравнению с Т,(х, у), то Т(х, у,() Т,(х, у).
Окончательно напишем уравнение безнапорного неустановившегося движения в виде В случае постоянных и и К оно перепишется так: (1.9) (1.10) Величина а — коэффициент уровнепроводности — имеет вид К Г (Ат),„~ а= — (или а= — '"). (1.1 1) т \, т Если имеем горизонтальный водоупор, так что Т,(х, у) = О, то получаем нелинейное уравнение, так как в (1.3) Т(х,у,() = = Ь(х, у,(): Часто рассматривают и! и й как постоянные. Если добавить в правой части (1.12) еще перетоки из нижнего слабо проницаемого прослоя ш.= — — ' (й — О) А, 3 А и неустАноВИВшиеся дВиження В БезнАпорном плАсте 453 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ !Гл.
хн! 454 где й„— коэффициент фильтрации и а( — толщина слабо проницаемого прослоя, а Н вЂ” постоянный напор под слабо проницаемым прослоем, отсчитываемый от основания пласта, то получим уравнение где а = й/т и Ь= е,/(тг(). 9 2. Просачивание из канала при горизонтальном водоупоре и отсутствии инфильтрации. Будем рассматривать линеаризованное уравнение неустановившегося движения. Прежде всего рассмотрим случай фильтрации из канала при изменении в нем уровня — эту задачу мы уже исследовали в 8 4 — 8 главы ХП, как решение нелинейного уравнения. Пусть уровень грунтовых вод в начальный момент времени 1= 0 постоянен и равен Н,.
В дальнейшем в канале поддерживается постоянный уровень Н, = Н, + Н, Тогда, принимая, что ордината свободной поверхности й(х,!) удовлетворяет уравнению (см. (!.!0)) да дга — =а —, д! дк' ' (2.!) й(к, !)= Н + Нег1с ! =). — а (, Е ч/В! (2.2) Здесь ег1с есть дополнение интеграла вероятности: ег1с ~ = 1 — ег1 ~ = 1 — = з! е Р аф = = ~ е Р а(й.
т„— ) В практических задачах обычно представляет особый интерес промежуток времени, за который орднната свободной поверхности достигнет той или иной величины. Обозначим через р заданное значение ординаты кривой депрессии, отсчитываемое от Н„: у = й(х,1) — Йа Тогда из (2.2) получим (2.3) По таблицам функции ег1($) можно найти отсюда значение ее аргумента, а затем и время й С. Ф.
Аверьянов (!956) рассмотрел определение момента времени, когда уровень грунтовых вод достигает высоты, составляющей заданную долю от высоты Н (т. е. добавочной высоты где а = И,р/т, получаем известное из теории теплопроводности решение Таблица !4 Значении коэффициента И достижении величины г/Н 0,01 0,03 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 3190 353 127 31,5 7,69 3,26 1,81 1,!О 3,504 2,548 2,104 1,50 0,886 0,526 0,258 0,041 Н н 16 и к первоначальной высоте Не).
Введем еще одно обозначение: г Н вЂ” у. По формуле (2.3) имеем — =ег1( ). (2.4) При заданном г отсюда получим для 1 выражение вида х' тха 1=И~ р 4а Аа,р ' Коэффициент 1к, зависящий от г)Н, можно назвать козф45иэ4иентом достижения величины г1Н. В таблице 14 приведены значения 1х в функ- 77 ции от в1Н. График этой зависимости представлен на рис.
281. Рассмотренные задачи 4(Ю имеют применение в вопросах засоления почв, которое может иметь место при вы- л4 соком подъеме грунтовых вод. Именно, если грунтовые воды будут находиться на глубине 2 †3 от поверхности земли, то вода при наличин интенсивного испаре- ур 7й 1 гд гд кт~ ния будет подниматься вверх и выносить с собой Рнс. 281. растворенные в ней соли (Ковда 1948). Высокое стояние грунтовых вод может вызвать также заболачивание почвы. Как видно из формулы (2.8), важное значение для определения времени достижения того или иного подъема воды имеет значение величины Ри (2.8) 4 э! ПРОСАЧИВАИИВ ИЗ КАНАЛА БЕЭ ИНФИЛЬТРАЦИИ 455 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ !Гл.
хш 456 5 3. Приток к скважине в безнапорном пласте. Рассмотрим осесимметричный приток к скважине в пласге с первоначально постоянным уровнем грунтовых вод при внезапном понижении уровня воды в скважине. Для осесимметричного движения при пг = 0 уравнение (1.10) имеет тот же вид, что и уравнение (7.1) главы Х! (но при а, определяемом вторым из равенств (1.1!)). Поэтому и формула (7.3) главы Х1 годится (с учетом изменения значения величины а) для определения притока к скважине, причем теперь г = Ь (х, у, !) является уравнением свободной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
